6.1.5 向量的线性运算 课件（共18张PPT） 2024-2025学年人教B版高中数学必修第二册

(共18张PPT)
第六章
6.1.5 向量的线性运算
1.掌握向量加法与数乘向量混合运算的运算律.
2.理解向量线性运算的定义及运算法则.
3.能利用向量的线性运算解决简单问题.
知识点一　数乘向量的运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb
特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)
λ(a－b)＝λa－λb
知识点二　向量的线性运算
向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算．
点拨：向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项．[－(2)]＋(6)可以简单地写成－2＋6.
题型1　向量的线性运算[经典例题]
例1　(1)计算：
①4(a＋b)－3(a－b)－8a；②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c).
(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求＋(2b－a).
【解析】　(1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b．
②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c．
(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝（）a＋（）b＝－a＋b＝－ (3i＋2j)＋ (2i－j)＝（）i＋（）j＝－i－5j．
点拨：(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)对于向量的线性运算，关键是把握运算顺序，即先根据运算律去括号，再进行数乘运算，最后进行向量的加减．
方法归纳
向量线性运算的基本方法
(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
题型2　向量线性运算的应用[教材P149例3]
例2　如图所示，已知＝，＝，求证：＝.
【解析】　由已知得
＝－＝－＝ (－)＝.
教材反思
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)A，P，B三点共线 ＝(1－t)＋t (O为平面内任一点，t∈R).
(5)＝λ＋μ (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
变式：(1)设m，n是两个不共线的向量，若＝m＋5n，＝－2m＋8n，＝4m＋2n，则(　　)
A．A，B，D三点共线　　B．A，B，C三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
解析：(1)因为＝＋＝2m＋10n＝2，且与有公共点B，故A，B，D三点共线．
A
(2)若a，b是两个不共线的向量，＝2a＋kb，＝a＋b，＝2a－b，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于________.
解析：因为A，B，D三点共线，所以向量与向量共线，所以＝λ，由＝a＋b，＝2a－b，得＝＋＝3a，所以2a＋kb＝λ(3a)，所以k＝0.
0
归纳：　
(1)若一个向量可以由另一个非零向量线性表示，则可以判断两个向量共线；
(2)若两个向量共线，则一个向量可以由另一个非零向量线性表示．
1.化简：＝(　　)
A．2a－b B．2b－a
C．b－a D．a－b
解析：原式＝ [(a＋4b)－(4a－2b)]＝ (－3a＋6b)＝2b－a，选B.
B
2．下列式子不能化简为的是(　　)
A．＋－ B．(＋)＋(＋)
C．(＋)＋ D．－＋
解析：(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)＝，(＋)＋＝＋＋＝，－＋＝＋＝，故B、C、D中的式子都能化简为，只有A项，＋－＝2＋，化简结果不是.
A
3．化简：－＋－＋＝________．
解析：原式＝＋＋＝.
4.如图所示，在 ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，若
试以 表示 和 .
5.化简：
(1)－；
(2).
先由运算律去括号，再进行数乘运算.
解析：(1)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
(2)原式＝＝ [(4－)a＋(－3＋＋)b]＝＝a－b．
1.向量的线性运算，要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项.