2024-2025学年安徽省六安市高三（上）教学质量检测数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年安徽省六安市高三（上）教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 2, 1,0,1,2}， = { | 2 2 ≤ 0}，则 ∩ ( ) =( )
A. { 2, 1} B. { 2} C. { 1,0} D. {0}
2.已知复数 满足 = 2 + ，则| | =( )
A. √ 5 B. √ 3 C. 2 D. √ 2
3.设 是空间中的一个平面， ， ， 是三条不同的直线，则下列说法正确的是( )
A. 若 ， ⊥ ， ⊥ ，则 //
B. 若 ， ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
C. 若 ⊥ ， ⊥ ， ，则 ⊥
D. 若 ⊥ ， ⊥ ， ，则 //
4.已知数列{ }，{ }分别满足 = 3
2 +1
， = log3 ，则下列说法错误的是( )
A. 数列{ }是公比为9的等比数列 B. 数列{ }是公差为2的等差数列
1 20
C. 数列{ }的前10项和为 D. 数列{
69
+1}是等比数列
+1
5.已知 ， 两地的距离是200 .根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在50 100 / .假设油价是8
2
元/ ，以 / 的速度行驶时，汽车的耗油率为(3 + ) / ，司机每小时的工资是56元，那么最经济的车
360
速是( ) / ．
A. 24√ 5 B. 55 C. 60 D. 80
6.已知向量 = (cos , sin )， = (4, 3)，下列选项正确的为( )
3
A. 若 // ，则tan =
4
4
B. 若 ⊥ ，则sin =
5
C. | |的最小值为6
D. 若 与 垂直，则| | = 2√ 6
2 2
7.已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点为 ， ， 为直线 = 上关于坐标原点对称的两点，
2√ 2
为双曲线的右顶点，若 = 0，且sin∠ = ，则双曲线 的离心率为( )
3
√ 6
A. √ 3 B. C. √ 15 D. √ 33
2
8.已知关于 的方程 ln = ln 有且仅有两个不相等的实根，则实数 的取值范围为( )
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1 1
A. ( √

, 1) B. ( , 1) C. (1, ) D. (1, √ )
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.对于函数 ( ) = cos2 和 ( ) = cos(2 )，下列选项正确的是( )
4
A. ( )与 ( )有相同的最小正周期

B. ( )的图象可由 ( )的图象向右平移 个单位得到
8

C. ( )与 ( )在 ∈ [ , ]上的最大值相等
8 4
D. ( )与 ( )的图象有相同的对称轴
10.已知函数 ( ) = + 与 ( ) = 的图象有两个交点 ， ，其中 ( 1, 1)， ( 2, 2)且 1 < 2，
则下列选项正确的是( )
A. > 0 B. 1 + 2 = 1
C. (2 1 + 1)(2 2 + 1)(2 1 + 2 2) > 8 D. 1 + 2 + 1 > 2
11.已知棱长为2的正四面体 满足 = ， =
1
， = ， ， ∈ [0,1].则下列选项正
2
确的是( )
A. | | ≥ √ 2
1
B. 当 = 时， = 0
2
C. 当|
1
| = √ 3时， + 的最小值为
2
D. 当|
√ 3 √ 11
| = √ 3时，| |的取值范围为[ , ]
2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设 是等比数列{ }的前 项和， 2 1 = 3， 3 2 = 6，则 4 = ．
13.已知圆锥 ′的顶点和底面的圆周都在球 的球面上，圆锥 ′的底面半径为 ，高为 ，当该圆锥的体积

取得最大值时， = ．

14. 为抛物线 : 2 = 4 上一动点，过 作圆 : ( 2)2 + 2 = 4的一条切线， 为切点，点 (5,5)，则| | +
| |的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题13分)

在△ 中， 在 边上，∠ = ， = 2， = 2 ．
3
(1)当 = 1时，求△ 的面积;

(2)当 = √ 2时，求线段 的长度．

16.(本小题15分)
如图，直线 ⊥平面 ， // // ，点 为线段 的中点，点 在线段 上， ∩ = ， = 2，
= 1．
(1)证明： // ;
(2)若 ⊥ ， = 3， = = 2，求直线 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
法国著名数学家加斯帕尔 蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以
椭圆的中心为圆心，√ 2 + 2为半径的圆( 为椭圆的长半轴长， 为椭圆的短半轴长)，这个圆被称为蒙日
2 2
圆.已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的蒙日圆的面积为5 ，短轴长为2，作直线 与椭圆 交于 ， 两点，
与椭圆 的蒙日圆交于 ， 两点．
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(1)已知 (4,0)，直线 斜率为1，若直线 ， 的斜率满足 + = 0，求直线 的方程;
(2)若椭圆 的左右焦点分别为 1， 2，直线 过坐标原点.求证：| || | = | 1|| 2|.
18.(本小题17分)
已知函数 ( ) = ln .
(1)求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程;
(2)若存在 ≥ 1，使得不等式 ( ) < ( 1)成立，求实数 的取值范围;
(3)若 ( 1) = ( 2)， 1 ≠ 2，求证： 1 + 2 < 1．
19.(本小题17分)
已知max{ 1, 2, 3, , , }表示数列 1， 2， 3， ， ， 中最大的项，按照以下方法： 1 =
max{ 1, 2, 3, , , }， 2 = max{ 2, 3, , , }， 3 = max{ 3, , , }， ，得到数列{ }，则称数
列{ }为数列{ }的“max数列”．
(1)若 = | 2|，写出 1， 2， 3， 4;
1 19
(2)若数列{ }满足9 +2 + 6 +1 + = 0，且 1 = ， 3 10 = 10． 3
(ⅰ)求 2025;
(ⅱ)求{ }的前 项和 ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】45
√ 2
13.【答案】
2
14.【答案】√ 41 1
15.【答案】解：(1)当 = 1时， = 2， = 3，
由题易得△ 为等边三角形，
∴ ∠ = 60°， = 2，
1 1 √ 3 3√ 3
∴ △ = sin∠ = × 2 × 3 × = ; 2 2 2 2
(2)设 = ( > 0)，则 = 2 ，
在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 + 4，
在△ 中，由余弦定理得 2 = 4 2 4 + 4，
2 4 2 4 +4
∴ 2 = 2 = 2， +2 +4
∴ 2 4 2 = 0，解得 = 2 ± √ 6，
∵ > 0，∴ = 2 + √ 6，∴ = 2 + √ 6．
16.【答案】解：(1)证明：∵ // ，∴ ， ， ， 四点共面，
∵ // ，且 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ，
因为 ∩ = ，所以， ， ， ， 四点共面，
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又∵ 平面 ，平面 ∩平面 = ，
∴ // ；
(2)由 ⊥平面 ，且 ⊥ ，
所以 ， ， 两两垂直，如图所示，以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立
空间直角坐标系，．
∵ = 3， = = 2， = 2， = 1，
∴ (2,0,0)， (0,0,0)， (0,2,0)， (2,0,1)， (0,0,2)， (0,2,3)，
∵点 为线段 的中点，且 // // // ，
∴点 为线段 的中点，
∴ = 2，且 为线段 的中点，
1 1 1 3
∴ (1,1,0)， ( , , 1)，则 = ( , , 1)，
2 2 2 2
设平面 的法向量为 = ( , , )，
∵ = ( 2,0,1)， = (0,2,1)，
由{
= 0 2 + = 0, ∴ { ,
= 0 2 + = 0
取 = 2，得 = 1， = 1，即 = (1, 1,2)．
设直线 与平面 所成角为 ，
| | 4√ 21
∵ sin = |cos < ， > | = = ，
| || | 21
∴直线 与平面 所成角的正弦值为4√ 21．
21
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2 2
17.【答案】解：(1)由椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的蒙日圆的面积为5 ，短轴长为2，
( 2 + 2) = 5 ，2 = 2，解得 = 2， = 1，
2
故椭圆 的方程为 + 2 = 1．
4
设直线 方程为 = + ，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= +
联立方程{ 2 ,
+ 2 = 1
4
消去 整理得5 2 + 8 + 4 2 4 = 0，
其中 = 64 2 4 × 5(4 2 4) = 16(5 2) > 0，
8 4 2 4
1 + 2 = ， 1 5 2 = ， 5
因为 (4,0)，且 + = 0，

所以 1

+ 2 = 0，
1 4 2 4
化简得2 1 2 + ( 4)( 1 + 2) 8 = 0，
4 2 4 8
即2 × + ( 4)( ) 8 = 0，解得 = 1，且满足△> 0，
5 5
所以直线 方程为 = 1．
(2)证明：因为直线 与椭圆 交于 ， 两点，
与椭圆 的蒙日圆交于 ， 两点，
设 ( 20, 0)， 0 ∈ [ 2,2]，且| | = | |
2 = 5，
因为| || | = (√ 5 | |)(√ 5 + | |)
3
= 5 | |2 = 5 ( 20 +
2
0 ) = 4
2
0， 4
| 2 21|| 2| = √ ( 0 √ 3) + 0 √ ( 0 + √ 3)
2 + 20
= √ ( 2 + 2 + 3)20 0 12
2
0
3
= √ ( 20 + 4)
2 12 2
4 0
3 3
= √ (4 2)2 = 4 2，
4 0 4 0
所以| || | = | 1|| 2|，证毕．
18.【答案】解：解：(1)由题得， (1) = 0， ′( ) = ln + 1， ′(1) = 1，
所以，曲线过点(1, (1))的切线方程为 = 1．
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(2)设 ( ) = ln ( 1)， (1) = 0， ′( ) = ln + 1 ，
①当1 ≥ 0，即 ≤ 1时， ′( ) ≥ 0， ( )在[1,+∞)单调递增．
因为 (1) = 0，所以 ( ) ≥ 0恒成立，不满足．
②当1 < 0，即 > 1时，由 ′( ) = 0得 = 1，
当 ∈ [1, 1)， ′( ) < 0， ( )单调递减，
因为 (1) = 0，所以 ∈ (1, 1)， ( ) < 0，
即 ( ) < ( 1)，所以 > 1满足．
综上所述，实数 的取值范围为(1,+∞).
(3)证明：由 ′( ) = ln + 1 = 0，
1 1 1
∴ = 得 ( )在(0, )单调递减，在( , +∞)单调递增，

1 1
设 = ( 1) = ( 2)，0 < 1 < < 2 < 1，且 < < 0，
1
先证当 ∈ (0, )， ( ) < ，

设 ( ) = ( ) + = ln + = (ln + 1)，
1
∵ ∈ (0, )，∴ ln + 1 < 0，所以 ( ) < 0，即 ( ) < ，

∴ = ( 1) < 1 ①式，
1
再证 ∈ ( , 1)， ( ) > 1，

设 ( ) = ( ) + 1 = ln + 1， ′( ) = ln ，
1
所以 ∈ ( , 1)， ′( ) < 0， ( )单调递减，

1
又因为 (1) = 0，所以 ∈ ( , 1)， ( ) > 0，∴ ( ) > 1，

∴ = ( 2) > 2 1 ②式.
由 ① ②式得 1 > > 2 1，所以 1 + 2 < 1．
19.【答案】解：解：(1)由题得： 1 = 1， 2 = 0， 3 = 1， 4 = 2，
且当 ≥ 2时，数列{ }单调递减，
所以 1 = 0， 2 = 0， 3 = 1， 4 = 2．
(2) ( )由9 +2 + 6 +1 + = 0，两边同时乘以( 3)
整理得：2( 3) +1 +2 +1 = ( 3) + ( 3) +2，
所以数列{( 3) }为等差数列．
又因为 3 1 = 1，( 3)
10 10 = 19，可得数列{( 3)
}的公差为2，
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2 1
所以，( 3) = 1 + ( 1) 2 = 2 1，即 = ． ( 3)
2 1
当 为奇数时， = < 0， ( 3)
2 1
当 为偶数时， = > 0． ( 3)
2 +3 2 1 12 16
当 ≥ 2且 为偶数时， +2 = +2 = +2 < 0， 3 3 3
所以，数列{ 2 }单调递减，
4051
由“max数列”定义得： 2025 = 2026 = 2026． 3
3 7 2 1
( )由( )可知，当 为偶数时， 1 = 2 = 2， 3 = 4 = 4， ， 1 = = ． 3 3 3
3 7 11 2 1
= 2( 2 + 4 + 6 + + )， ① 3 3 3 3
1 3 7 11 2 1

9
= 2( 4 + 6 + 8 + + +2 )， ②， 3 3 3 3
8 3 4 4 4 2 1
由 ①， ②式得： = 2( 2 + 4 + 6 + + +2 )， 9 3 3 3 3 3
7 4 +7
整理得： = 8 8 3
．
7 20 +19
当 为奇数时， + 1为偶数， = +1 +1 = +1 ， 8 8 3
7 20 +19
+1 , 为奇数,8
所以 = {
8·3
7 4 +7
, 为偶数.
8 8 3
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