2024－2025 学年第一学期期末检测
高 二 数 学 2025.1
注意事项：
1. 答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字
笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.
2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦
擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超
出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只
有一项是符合题目要求的．
1． 已知直线 l 经过 (1,2)和 (2,1)两点，则 l 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
4 4 4 4
2． 双曲线 2x2 y2 1的渐近线方程为（ ）
2 1
A． y 2x B． y x C． y 2x D． y x
2 2
3． 设等差数列 a nn 的前 项和为 Sn ，已知 a1 a9 10 ， a5a6 35，则 S10 （ ）
A．50 B．60 C．70 D．80
4. 设m,n 为实数，若直线mx ny 2 0 与圆 x2 y2 4相切，则点 P(m,n)与圆的位置
关系是（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定
x2 y2
5． 设椭圆 1(a b 0) 的半焦距为 c ，直线 l 过 F(c,0) ， B(0,b)两点，坐标原点
a2 b2
1
到直线 l 的距离等于 FB，则椭圆的离心率为（ ）
2
2 3
A．1 B． C． D． 2 1
2 3
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AF
6． 过抛物线 y2 4x 的焦点 F 作斜率为1的弦 AB ，点 A在第一象限，则 （ ）
FB
A． 2 B． 2 1 C． 2 2 D. 3 2 2
7． 已知直线 l : x ay a 1 0， a R 与圆C : (x 2)2 y2 4交于 A, B 两点，则 AB 长
的最小值为（ ）
A． 2 B．2 C． 2 2 D． 4
8． 已知m,n, p,q均为实数，则 (m p)2 (n p 1)2 (m q)2 (n q 3)2 的最小
值为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中， 有多项
符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9． 已知直线 l1 : ax y 1 0 ， l2 : x a
2 y 1 0 ，下列选项正确的有（ ）
A．若 a 0，则 l1 斜率不存在 B．若 l1 不经过第三象限，则 a 0
C．若 l1 l2 ，则 a 0或 1 D．若 a 1，则 l1 l2
10．已知圆O1 : (x 3)
2 (y 4)2 16与圆O2 : x
2 y2 r2 (r 0)，下列选项正确的有（ ）
A．若 r 1，则两圆外切
B．若 r 1，则直线 x= 1为两圆的一条公切线
C．若 r 3，则两圆公共弦所在直线的方程为3x 4y 9 0
24
D．若 r 3，则两圆公共弦的长度为
5
11．平面直角坐标系 xOy 中， A(1,0)，B( 1,0)，动点P 满足 PA PB 1，记点P 的轨迹
为曲线C ，在第一象限内任取曲线C 上点Q(x OQ 0 , y0 ) ，记直线 的倾斜角为 ，斜率
为 k ，下列选项正确的有（ ）
A．曲线 C 经过点 ( 2,0) B．曲线 C 是中心对称图形
OQ2
C． k 的最大值为 1 D． 为定值
cos 2
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三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．点 A(0,2)关于直线 l : x y 1 0 的对称点坐标为 ▲ ．
13．某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度 AB 是 10m，拱高OP 是 1m，每隔 1m 需
要一根支柱支撑，则支柱M3N3 的长度为 ▲ m．（精确到 0.01m）
参考数据： 10 3.162
n, n为奇数；
14．设数列 a nn 的前 项和为 Sn ，已知 an a , n为偶数. 则 S22025 S 1 22024 1 ▲ ． n
2
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分）
已知菱形 ABCD中， A( 4,3)，C(2, 3)， BC 边所在直线过点P(3,1) ，求：
（1） AD 边所在直线的方程；
（2）点 D 的坐标．
16．（本小题满分 15 分）
1
设等差数列 an 的前 n项和为 S b 1n ，已知 a13 S5 25， n ，求： anan 1
（1）数列 an 的通项公式；
（2）数列{bn}的前 n项和Tn ．
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17．（本小题满分 15 分）
已知圆心在直线 y x 上的圆 C经过点 A( 3,1) ，且与直线 x y 2 2 0相切．
（1）求圆 C的标准方程；
（2）设 P 为直线m : x 2y 4 0上的点，满足：过点 P 引圆C 的切线，切点分别为
M 和 N ， MPN 60 ，试求所有满足条件的点P 的坐标．
18．（本小题满分 17 分）
x2 y2 4 1
已知椭圆 E : 1(a b 0) 经过点M ( , ) ，且右焦点为 F(1,0)．
a2 b2 3 3
（1）求椭圆 E 的标准方程；
（2）已知直线 l 过椭圆 E 的上顶点 P ，过椭圆E 的右顶点 A作 AB l ，垂足为B ，
作 AC l 交椭圆 E 于点C ，当△ABC面积最大时，求直线 l 的方程．
19．（本小题满分 17 分）
已知有穷数列 an 满足0 a1 a2 an 且 n 3，
集合 An ai a j |1 i j n,i, j N * , 记 An 中元素个数为 | An | ．
（1）若数列 an 满足 an n，求 | A4 | 和 | An | 的值；
（2）若数列 an 满足 an 2
n ，求 An 中所有元素之和；
（3）若数列 an 满足 2a2 a1 a3 ，| An | 2n 3，则数列 an 是等差数列吗？如果是，
请说明理由；如果不是，请举反例．
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高二数学参考答案 2025.1
1．D 2．A 3．B 4．C
5．B 6．D 7．C 8．B
9．BC 10．ABD 11．ABD
12． (1,1) 13．0.65 14．24048
1 ( 3)
15．解：（1）因为 BC 边所在直线过点 P(3,1) ，C(2, 3)，所以 kBC 4． ……2 分
3 2
因为 ABCD为菱形，所以 AD BC ，所以 kAD kBC 4 ． ……4 分
又 A( 4,3)，所以 l : y 3 4[x ( 4)]，整理得 y 4x 19AD ． ……6 分
3 ( 3)
（2）因为 A( 4,3)，C(2, 3)，所以 kAC 1．
4 2
1
因为 ABCD为菱形，所以 BD AC ，所以 kBD 1． ……8 分
kAC
因为 A( 4,3)，C(2, 3)，所以 AC 中点坐标为 ( 1,0) ，
所以 lBD : y x 1． ……10 分
y x 1
联列方程组 ，
y 4x 19
x 6
解得 ，所以 D( 6, 5) ． ……13 分
y 5
16．解：（1）等差数列 an 中，由 a13 25得 a1 12d 25 ……2 分
由 S5 25 得5a1 10d 25， ……4 分
a1 12d 25 a1 1
联列方程组 ，解得 ……6 分
5a1 10d 25 d 2
所以 an a1 (n 1)d 2n 1． ……8 分
1 1 1 1 1
（2）因为bn 1 1 ( ) 1， ……11 分
anan 1 (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1 1 1 1 1 1
所以Tn (1 ) n ，
2 3 3 5 2n 1 2n 1
n 2n2 2n
整理得Tn n ． ……15 分
2n 1 2n 1
17．解：（1）设圆 C的标准方程为 (x a)2 (y b)2 r2 (r 0) ，
因为圆心在直线 y x 上，所以 a b， ……1分
因为圆C经过点 A( 3,1) ，所以 ( 3 a)2 (1 b)2 r2 (r 0)， ……2分
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a b 2 2
因为圆C与直线 x y 2 2 0相切，所以 r ， ……4分
2
a b
a 0
a b 2 2
联列方程组 r ，解得 b 0 ，
2 r 2
( 3 a)2 (1 b)2 r2
所以圆C的标准方程为 x2 y2 4． ……7分
（2）因为 MPN 60 ，由对称性可知 MPO 30 ，所以 PO 2OM 4，
所以点 P 的轨迹是以O为圆心，4 为半径的圆，其轨迹方程为 x2 y2 16， ……11 分
又因为 P 在直线m : x 2y 4 0上，
x2 y2 16
联列方程组 ，
x 2y 4 0
12
x x 4 5
解得 或 ，
y 0 16y
5
12 16
所以点 P 的坐标为 ( 4,0) 或 ( , ) ． ……15 分
5 5
x2 y2
18．解：（1）法 1：设椭圆 E : 1(a b 0) 的半焦距为 c ，
a2 b2
4 1 16 1
因为椭圆 E 经过点M ( , ) ，所以 1，
3 3 9a2 9b2
因为右焦点为 F(1,0)，所以 c 1，
a2 b2 c2
16 1 a
2 2
联列方程组 1， 解得 ，
9a
2 9b2 2 b 1
c 1
x2
所以椭圆 E 的标准方程为 y2 1． ……5 分
2
x2 y2
法 2：设椭圆 E : 1(a b 0) 的半焦距为 c ，
a2 b2
因为右焦点为 F(1,0)，所以 c 1，左焦点为 ( 1,0) ，
4 1
因为椭圆 E 经过点M ( , ) ，
3 3
4 1 4 1
所以 2a ( 1)2 ( )2 ( 1)2 ( )2 2 2 ，
3 3 3 3
所以 a 2 ，b a2 c2 1，
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x2
所以椭圆 E 的标准方程为 y2 1． ……5 分
2
（2）椭圆 E 的右顶点 A( 2,0)，
显然直线 l 的斜率存在，设斜率为 k ，则 l : y kx 1， lAC : y k(x 2)，
| 2k 1|
点 A到直线 l 的距离 d ，
k 2 1
| 2k 1|
所以 AB d ，
k 2 1
x2
y
2 1 2
联列方程组 2 ，消去 y 整理得 (1 2k2 )x 4 2k2x 4k2 2 0，
y k(x 2)
4k 2 2 2 2k 2 2
所以 2xc ，所以 x ， c
1 2k 2 1 2k 2
2 2 k 2 1
所以 AC 1 k 2 | xc 2 | ，
1 2k 2
1 2 |1 2k |
所以 S△ABC AB AC ，
2 1 2k 2
若 k 0 ,则斜率取 k 时面积显然更大，
2(1 2k)
故 S△ABC 最大时 k 0， S△ ， ABC
1 2k 2
2t 2
S
令 △ABC1 2k t ，则 t 2 2t 2 2
t 2
t
2
由基本不等式得 S△ABC 最大时， t 2,k 1 ，
2
2
所以当 S△ABC 最大时，直线 l 的方程为 y (1 )x 1． ……17 分
2
19．解：（1） A4 3,4,5,6,7 ， | A4 | 5 ， ……2 分
一方面，由 0 a a a 可得 a1 a2 ai a j an 1 a1 2 n n ，
即3 1 2 i j n 1 n 2n 1, i j N * ，所以 | An | 2n 3；
另一方面，由 0 a1 a2 an 可得 a1 a2 a1 a3 a1 an a2 an an 1 an ，
所以 | An | 2n 3 .
综上， | An | 2n 3． ……5 分
（2）首先证明：从数列中取出的两项不同，则得到的两项之和不同．
若 i、j、i '、j '满足 i j,i ' j '，
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使得 2i 2 j 2i ' 2 j ' 即 2
i (1 2 j i ) 2i ' (1 2 j ' i ' ) ，
不妨设 i i '，则1 2 j i 2i ' i (1 2 j ' i ' )（*）
若 i i ',（*）式左边是奇数，右边是偶数，不可能成立，
若 i i '，则 j j '，此时取出的两项为相同的两项，
所以，从数列中取出的两项不同，则得到的两项之和不同．
又不论 i 为何值， ai 均与其他 n 1项各相加一次，
所以 An 中所有元素之和为 (n 1)(2
1 22 … 2n )．
又 (n 1)(21 22 … 2n ) (n 1)(2n 1 2) ，
所以 An 中所有元素之和为 (n 1)(2
n 1 2) ……12 分
（3） an 是等差数列．证明如下：
由 0 a1 a2 an 可得 a1 a2 a1 a3 a1 an 1 a1 an a2 an an 1 an，
所以 | An | 2n 3，
又因为 | A | 2n 3， a an i j 就不能再取其它的值．
一方面，有 a1 a3 a2 a3 a2 a4 a2 an 1 a2 an ①
另一方面， a1 a3 a1 a4 a1 a5 a1 an a2 an ②
由①，在 a1 a3 和 a2 an 之间，有 n 1 2 n 3个从小到大不等的项，
由②，在 a1 a3 和 a2 an 之间，有 n 4 1 n 3个从小到大不等的项，
且①中的项均应在②中, 故只能一一对应，
即 a2 ai a1 ai 1 i 3,4, ,n 1 ，即 a2 a1 ai 1 ai i 3,4, ,n 1 ，
又 2a2 a1 a3 得 a2 a1 ai 1 ai 1 i n 1 均成立，
所以， an 是等差数列． ……17 分
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