临沂市2024级普通高中学科素养水平监测试卷
数学
2025.1
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自已的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.sinl20°=
、骨
c
0③
2
2.已知集合A=x|-1A.(-1,4)
B(32)
c(分)
D.(0.2)
3.函数f八x)=nr+2x-6的零点所在的区间是
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,e)
D.(e.3)
4.已知函数f(x)=
0
则八g)1
(10g3x,x>0
B.g
C.9
D.27
5.若函数八x)满足x+1)=x-1).且当xe[0,2]时fx)=(x-1),则)
1
A.
B
G.1
D.2
6.设a=lg2,b=202,c=c0s2,则
A.a>b>c
B.b>a>c
C.a>c>b
D.c>a>b
数学试题第1页（共4页）
h“
7.“m<2"是“x2-mr+1≥0在x∈[2，+o)上恒成立”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8莱洛三角形是以机械学家菜洛的名字命名、在建筑、商品的外包装设计、工业生产中有广
泛的应用，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径、在另两个顶点之间
画一段圆弧，由这三段圆孤国成的曲边三角形，如图，若莱洛三角形的C长为则读菜
洛三角形的面积为
A.2m-3√3
B.2(T-√5)
C.2π-/3
D.T-3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.若a>b>0,则
11
6b+1
A.ac>bc
B.
C.
b a
D.-
aa+l
10.已知函数x)=1m(2牙)，则
A)关于（否0）对称
Bx)的最小正周期为
Cx)的定义域为xx≠m,西
28,ez
D)在(0.)上单调道增
|4-11.x≤1
11.已知函数f(x)=
,若关于x的方程/(x)-m=0有四个不同的实数根
1log(x-1)1.a>1
x1x2,x3x,且x1A.m的取值范围是(0,2)
B.41+4=2
C.x,+4x,的最小值是9
D.1+=1
x1「4
数学试题第2页（共4页）临沂市 ２０２４ 级普通高中学科素养水平监测试卷
数学试题参考答案及评分标准 ２０２５．１
说明：
一、本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要
考查内容参照评分标准酌情赋分．
二、当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可
视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半；如
果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题共 ８ 小题，每小题 ５ 分，共 ４０ 分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
１．Ｄ ２．Ｂ ３．Ｃ ４．Ｃ ５．Ａ ６．Ｂ ７．Ａ ８．Ｂ
二、选择题：本题共 ３ 小题，每小题 ６ 分，共 １８ 分。 在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。 全部选对的得 ６ 分，部分选对的得部分分，有选错的得 ０ 分。
９．ＢＣ １０．ＡＢＤ １１．ＢＤ
三、填空题：本题共 ３ 小题，每小题 ５ 分，共 １５ 分。
１２．２ １３． １ １４．７５
４
四、解答题：本题共 ５ 小题，共 ７７ 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
１５．（１３ 分）
解：（１） ｃｏｓα＝ － ５由 ，α 为第三象限角，
１３
２
得 ｓｉｎα＝ － １－（－ ５ ） ＝ －１２， ……………………………………………………… ３ 分
１３ １３
所以 ｔａｎα＝ ｓｉｎα ＝ １２． ………………………………………………………………… ６ 分
ｃｏｓα ５
（２） ｓｉｎ（α
＋π）＋２ｃｏｓ（α－π） ＝ －ｓｉｎα－２ｃｏｓα………………………………………… １０ 分
ｓｉｎ（α＋ π ）＋
＋
ｃｏｓ（α＋３π） ｃｏｓα ｓｉｎα
２ ２
数学试题答案 第 １ 页（共 ４ 页）
{#{QQABYYKpwgo4gAbACB5qAQHyCUqQsJIiLcgEgVCcqAQCCRNIFIA=}#}
－１２－
＝ －
２
ｔａｎα－２＝ ５ ＝ －２２
＋ ． …………………………………………………………… １３ 分１ ｔａｎα １＋１２ １７
５
（注：诱导公式使用一次得 １ 分）
１６．（１５ 分）
解：（１）∵ ａ＞０，∴ ｆ（ｘ）的定义域为（－３，ａ） ． ………………………………………… ２ 分
∵ ｆ（ｘ）为偶函数，∴ ｆ（ｘ）的定义域一定关于原点对称，即 ａ＝ ３．…………………… ４ 分
此时 ｆ（ｘ）＝ ｌｏｇ２（３＋ｘ）＋ｌｏｇ２（３－ｘ），
ｆ（－ｘ）＝ ｌｏｇ２（３－ｘ）＋ｌｏｇ２（３＋ｘ）满足 ｆ（－ｘ）＝ ｆ（ｘ），
∴ ａ＝ ３． ………………………………………………………………………………… ７ 分
（２）由（１）知 ｆ（ｘ）＝ ｌｏｇ２（３＋ｘ）＋ｌｏｇ２（３－ｘ），
则 ｆ（ｍ－１）＝ ｌｏｇ２（２＋ｍ）＋ｌｏｇ２（４－ｍ），………………………………………………… ９ 分
ì ２＋ｍ＞０，
故 ｆ（ｍ－１）＜ｌｏｇ２５ 可转化为í４－ｍ＞０， …………………………………… １２ 分
（２＋ｍ）（４－ｍ）＜５，
解得－２＜ｍ＜－１ 或 ３＜ｍ＜４， ………………………………………………………… １４ 分
故实数 ｍ 的取值范围为（－２，－１）∪（３，４） ． ……………………………………… １５ 分
１７．（１５ 分）
解：（１）由题意得 ｆ（－１）＝ １＋ａ＋ｂ＝ ２，得 ａ＋ｂ＝ １， …………………………………… ２ 分
又 ａ＞０，ｂ＞０，
１ ＋ １ ＝（ａ＋ｂ）×（ １ ＋ １所以 ）＝ ２＋ ｂ ＋ ａ ≥４， ……………………………………… ４ 分
ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ
ｂ ａ １
当且仅当 ＝ ，即 ａ＝ ｂ＝ 时取等号， …………………………………………… ５ 分
ａ ｂ ２
１ ＋ １所以 的最小值为 ４． …………………………………………………………… ６ 分
ａ ｂ
（２）当 ｂ＝ａ 时，不等式 ｆ（ｘ）－ｘ≤０，即 ｘ２－（ａ＋１）ｘ＋ａ≤０，即（ｘ－ａ）（ｘ－１）≤０，…… ８ 分
当 ａ＝ １ 时，不等式即为（ｘ－１） ２≤０，解得 ｘ＝ １， …………………………………… １０ 分
当 ａ＞１ 时，解得 １≤ｘ≤ａ，…………………………………………………………… １２ 分
当 ａ＜１ 时，解得 ａ≤ｘ≤１，…………………………………………………………… １４ 分
综上可得：当 ａ＝ １ 时，不等式的解集为｛１｝；
当 ａ＞１ 时，不等式的解集为［１，ａ］；
数学试题答案 第 ２ 页（共 ４ 页）
{#{QQABYYKpwgo4gAbACB5qAQHyCUqQsJIiLcgEgVCcqAQCCRNIFIA=}#}
当 ａ＜１ 时，不等式的解集为［ａ，１］ ． ………………………………………………… １５ 分
１８．（１７ 分）
解：（１） ２π由 Ｔ＝ ＝π，得 ω＝ ２． ……………………………………………………… ２ 分
ω
（２）由（１）知 ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ（２ｘ－ π ）＋１，………………………………………………… ３ 分
４
π
由－ ＋２ｋπ≤２ｘ－ π≤２ｋπ＋π ，ｋ∈Ｚ， π ３π解得－ ＋ｋπ≤ｘ≤ ＋ｋπ，ｋ∈Ｚ， ………… ６ 分
２ ４ ２ ８ ８
所以当 ｋ＝ ０ 时，－ π≤ｘ≤３π，又 ｘ∈［０，π］，所以 ０≤ｘ≤３π， …………………… ７ 分
８ ８ ８
７π １１π ７π
当 ｋ＝ １ 时， ≤ｘ≤ ，又 ｘ∈［０，π］，所以 ≤ｘ≤π， ………………………… ８ 分
８ ８ ８
所以函数 ｆ（ｘ）在［０，π］ ３π ７π上的单调递增区间为［０， ］和［ ，π］ ． ………………… ９ 分
８ ８
（３）因为不等式 ｍ－ｆ（ｘ）≥－４ 在 ｘ∈［０，π ］内恒成立，
２
所以 ｍ≥２ｓｉｎ（２ｘ－ π ）－３ ｘ∈［０，π在 ］内恒成立， ……………………………… １１ 分
４ ２
ｇ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ（２ｘ－ π令 ）－３，ｘ∈［０，π ］， …………………………………………… １２ 分
４ ２
则 ｍ≥ｇ （ｘ）ｍａｘ，……………………………………………………………………… １３ 分
０≤ｘ≤π当 时，－ π≤２ｘ－ π≤３π， ………………………………………………… １４ 分
２ ４ ４ ４
－ ２则 ≤ｓｉｎ（２ｘ－ π ）≤１， …………………………………………………………… １５ 分
２ ４
－ ２ －３≤ｇ（ｘ）≤－１，………………………………………………………………… １６ 分
故 ｍ 的取值范围为［－１，＋ ） ． ……………………………………………………… １７ 分
１９．（１７ 分）
解：（１）对于函数 ｆ１（ｘ）＝ ｘ２－１，
当 ｍ＝ １ ＞０ ，ｆ １时 １（ ）＝ －
３ ＜０ 不符合 ｆ（ｍ）＞０，…………………………………… １ 分
２ ２ ４
故 ｆ１（ｘ）＝ ｘ２－１ 不是“速增函数” ． …………………………………………………… ２ 分
对于函数 ｆ２（ｘ）＝ ｌｏｇ３（ｘ＋１），
当 ｍ＝ｎ＝ ２ 时，
数学试题答案 第 ３ 页（共 ４ 页）
{#{QQABYYKpwgo4gAbACB5qAQHyCUqQsJIiLcgEgVCcqAQCCRNIFIA=}#}
ｆ２（２）＋ｆ２（２）＝ ２＞ｌｏｇ３５＝ ｆ２（４）， ……………………………………………………… ３ 分
故 ｆ２（ｘ）＝ ｌｏｇ３（ｘ＋１）不是“速增函数” ． ……………………………………………… ４ 分
（２）∵ ｇ（ｘ）＝ ３ｘ－ａ 为“速增函数”，
∴ ｘ＞０ 有 ｇ（ｘ）＞０，即 ３ｘ－ａ＞０ 在（０，＋∞ ）恒成立， ……………………………… ５ 分
∴ １－ａ≥０，∴ ａ≤１， …………………………………………………………………… ６ 分
ｍ＞０，ｎ＞０ 时有 ｇ（ｍ＋ｎ）＞ｇ（ｍ）＋ｇ（ｎ），
∴ ３ｍ＋ｎ－ａ＞３ｍ－ａ＋３ｎ－ａ，
∴ ３ｍ＋ｎ－３ｍ－３ｎ＞－ａ，
∴ ３ｍ＋ｎ＋１－３ｍ－３ｎ＞１－ａ，
即 ３ｍ（３ｎ－１）＋（１－３ｎ）＞１－ａ， ………………………………………………………… ８ 分
∴ （３ｍ－１）（３ｎ－１）＞１－ａ 对一切正数 ｍ，ｎ 恒成立，∴ １－ａ≤０，
∴ ａ≥１， ……………………………………………………………………………… ９ 分
∴ ａ 的取值范围是｛１｝ ． ……………………………………………………………… １０ 分
（３）由（２）知 ｇ（ｘ）＝ ３ｘ－１， ５又由题意得 ３ｘ１＋３ｘ１ ＝ ５，即 ｘ１＋３ｘ１
－１ ＝ ，
３
５
由 ３ｘ２＋３ｌｏｇ３（ｘ２－１）＝ ５ 得 ｘ２＋ｌｏｇ３（ｘ２－１）＝ ，３
令 ｈ（ｘ）＝ ３ｘ＋ｘ，ｘ∈Ｒ， ……………………………………………………………… １１ 分
则 ｈ（ｘ１－１）＝ ３ｘ１
－１＋ｘ１－１＝
５ －１＝ ２ ， ……………………………………………… １２ 分
３ ３
ｈ［ｌｏｇ３（ｘ －１）］ ＝ ３ｌｏｇ３（ｘ２
－１）
２ ＋ｌｏｇ３（ｘ
５ ２
２－１）＝ ｘ２－１＋ｌｏｇ３（ｘ２－１）＝ －１＝ ， ………… １３ 分３ ３
∴ ｈ（ｘ１－１）＝ ｈ［ｌｏｇ３（ｘ２－１）］， ……………………………………………………… １４ 分
∵ ｈ（ｘ）＝ ３ｘ＋ｘ 在 Ｒ 上单调递增，
∴ ｘ１－１＝ ｌｏｇ３（ｘ２－１），………………………………………………………………… １５ 分
∴ ｘ１ ＝ １＋ｌｏｇ３（ｘ２－１），
∴ ｘ１＋ｘ２ ＝ １＋ｘ２＋ｌｏｇ３（ｘ２－１）＝ １＋
５ ＝ ８ ． …………………………………………… １７ 分
３ ３
数学试题答案 第 ４ 页（共 ４ 页）
{#{QQABYYKpwgo4gAbACB5qAQHyCUqQsJIiLcgEgVCcqAQCCRNIFIA=}#}
