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山东名校联盟 2024-2025 学年度期末教学质量检测
高三数学
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1+ i
1．复数 （ i为虚数单位）的共轭复数是
1 i
A． i B． i C．2i D． 2i
2．函数 f (x) = ln (x2 +1)的图象在点 (1, f (1))处的切线的倾斜角为
A．0 B． C． D．
2 3 4
3 ． 定 义 区 间 (m,n) (m n) 的 长 度 为 n m ， 设 k 0 ， 若 对 于 任 意 a b ， 不 等 式
1 2
+ k的解集所包含区间长度之和恒为 3，则 k的值为
x a x b
1
A．1 B． C．2 D．3
2
x2 y2
4．已知双曲线C : =1(a 0, b 0)的左、右焦点分别为 F1,F2 ，过点 F1的直线交C的左
a2 b2
3
支于 A, B两点，若 AF1 , AF2 , BF2 成等差数列，且cos AF2B = ，则C的离心率是
5
10 3 5 5
A． B． C． D．
2 2 2 2
5．某汽车集团从 2023 年开始大力发展新能源汽车，2023 年全年生产新能源汽车 2000 辆，
每辆车的利润为 1 万元.如果在后续的几年中，经过技术不断创新，后一年新能源汽车的产量都
是前一年的120% ，每辆车的利润都比前一年增加 1000 元，则生产新能源汽车 6 年的时间内，
该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为（假设每年生产的新能源汽车都能销售出去，参考数
据：1.26 2.99）
A．2.291 亿 B．2.59 亿 C．22.91 亿 D．25.9 亿
x 1 2
6．函数 f (x) = e x ln x (a 1)x + (1 ln a)x在定义域内是增函数，则实数 a的最大值为
2
1 1
A． B． e C． D． 2e
e 2e
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{#{QQABCYYAogggAAAAARgCEQEACkEQkBGAAYgGQBAUsAIACRFABAA=}#}
π
cos x 1, x 0
7．已知函数 f (x) = 2 (a 0且 a 1），若函数图象上关于原点对称的点至少有
loga ( x) , x 0
3 对，则实数a的取值范围是
6 6 5 5
A． 0, B． ,1 C． 0, D． ,1
6 6 5 5
8．在 VABC 中，已知 AB AC = 9, sinB = cosAsinC, S ABC = 6, P 为线段 AB 上的一点，且
CA CB 1 2
CP = x + y ，则 + 的最小值为
CA CB x y
7 3 5+ 6 5 3 5+ 2 6
A． + B． C． + D．
12 3 6 12 4 6
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．下列说法正确的是
A．命题“ x R, 2x 1 0 ”的否定是“ x R, 2x 1 0 ”
B．若不等式ax2 + 2x + c 0的解集为{x∣ 1 x 2}，则 a + c = 2
4
C．当 x 3时， x + 的最小值是 5
x 1
D．“ x 2 ”是“ x 1”的充分不必要条件
uuur uuur uuur
10．在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AB = 2， AP = xAD + yAA1 (x, y 0,1 )，则
A．若 x + y =1，则点 P的轨迹为线段DA1
1
B．若 x = ，则点 P的轨迹为连接棱 AD的中点和棱 A1D1中点的线段
2
C．若 x = y，则三棱锥P A1BC1的体积为定值
1 2
D．若 y = ，则BP与平面 ABCD所成角的余弦值的最大值为
2 3
11．在平面直角坐标系中，定义 d (A,B) = max x1 x2 , y1 y2 为两点 ( 1, 1), ( 2, 2)的
“切比雪夫距离”，又设点 P及直线 l上任意一点Q，称 d (P,Q)的最小值为点 P到直线 l的“切比
雪夫距离”，记作d (P, l )，则下列命题中正确的是
1 4 7
A．M 2, ,N , 1 ，则d (M ,N ) =
6 3 6
B．O为坐标原点，动点 R满足 d (O,R) =1，则 R的轨迹为圆
4
C．已知点P (3,1)，直线 l : 2x y 1= 0，则d (P, l ) =
3
D．定点 F1 ( c,0) ,F2 (c,0)，动点 P满足 d (P,F1 ) d (P,F2 ) = 2a (2c 2a 0)，则点 P的轨迹与
直线 y = k（ k为常数）有且仅有 2 个公共点
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{#{QQABCYYAogggAAAAARgCEQEACkEQkBGAAYgGQBAUsAIACRFABAA=}#}
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15分。
2
12．已知命题 p：“ x R ， x 2(a +1) x + 4 0 ”为真命题，则实数 a 的取值范围是
__________.
13．在三角形OAB中，点 P为边 AB上的一点，且 AP = 2PB，点 Q为直线OP上的任意一点
1
（与点 O和点 P不重合），且满足OQ = =1OA+ 2OB，则 __________． 2
1 1
14．已知函数 f (x) = x (x 0)；在数列 cn 中， c =1， = f (n)(n N,n 2)1 ，记数列
x cn
cn 的前n项积为Tn，数列 Tn 的前 n项和为 Sn，则 Sn的取值范围为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
4
在三角形 ABC中，内角 A,B,C的对边分别为a,b,c，且ccosB + b = a .
5
(1)求cosC；
2 2 1 1 2
(2)若a = 2，且b +c 4，求 b + c 的取值范围.
5 9
16．（15 分）
x
已知函数 f (x) = xlnx + 2x, g (x) = xe +1.
(1)求 f ( x)的单调区间；
(2)证明：当 x (0,+ )时， f ( x) g (x) .
17．（15 分）
如图，在四棱锥 P ABCD中， PD ⊥ AB，且 PB = PD，底面 ABCD是边长为 2 3 的菱形，
π
BAD = .
3
(1)证明：平面PAC ⊥平面 ABCD；
3
(2)若直线CP与平面 ABCD所成角的正弦值为 ，点Q为棱 PC上的动点(不包括端点)，求
5
二面角 A BQ C的正弦值的最小值.
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{#{QQABCYYAogggAAAAARgCEQEACkEQkBGAAYgGQBAUsAIACRFABAA=}#}
18．（17 分）
设数列 an 的前 n项和为 Sn，若对任意的 n N* ，都有 S2n = kSn （ k为非零常数），则称数列
an 为“和等比数列”，其中 k为和公比.若 bn 是首项为 1，公差不为 0 的等差数列，且 bn 是
n
“和等比数列”，令c = ，数列 c 的前nn 项和为Tn n . b
2 n
(1)求 bn 的和公比;
(2)求Tn ;
3n + 4 n
(3)若不等式T ( 1) m 2 对任意的n N*恒成立，求mn 2n 1 的取值范围. 2
19．（17 分）
由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆C1
的“特征三角形”为 C C1，椭圆 2 的“特征三角形”为 2 ，若△1∽△2 ，则称椭圆C1与 2 “相似”，并
x2
将 1 与 2 的相似比称为椭圆 C 与 C1 2 的相似比．已知椭圆 C ： + y
2 =1 与椭圆 C1 2 ：
2
x2 y2
+ =1(a b 0 相似．
a2 2
)
b
(1)求椭圆C2 的离心率；
(2)若椭圆C1与椭圆C2 的相似比为 ( 0)，设 P为C2 上异于其左、右顶点 A1， A2的一点．
2
①当 = 时，过 P分别作椭圆C1 的两条切线 PB1 ， PB B2 ，切点分别为 1 ， B2 ，设直线 PB1 ，
2
PB k k k k2的斜率为 1， 2 ，证明： 1 2为定值；
②当 = 2 时，若直线 PA1 与 C1 交于 D， E两点，直线 PA2 与 C1 交于 M ， N 两点，求
DE + MN 的值．
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高三数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B D A A B B A D ABD ABC ACD
1 5
12． a | 3 a 1 13． 14． , 2 2 3
15. （1）根据正弦定理可知：
4 4 4
sinC cosB + sin B = sin A sinC cosB + sin B = sin (B +C ) sin B = sin B cosC，
5 5 5
4
因为B (0,π)，所以sin B 0，所以cosC = .
5
b2 + c2 a2 b2 + c2 4
（2）由余弦定理可知：cos A = = ，因为b2 + c2 4，所以cos A 0，
2bc 2bc
π
A ， tan A 0，
2
4 2 3 3 π π
因为cosC = , sinC = C
5
，所以 ， ，
2 2 5 6 4
由正弦定理得：
a b c a sin B 2sin (A+C ) 2sin AcosC + 2sinC cos A 8 6
= = b = = = = +
sin A sin B sinC sin A sin A sin A 5 5 tan A
a sinC 6
c = = ，
sin A 5sin A
所以
2 2
1 1 8 6 4 2 3 2(sin A+ cos A) 2 8 2 2 3 8b + c = + + = + + = + + 22 2 2 +5 9 25 25 tan A 25sin A 25 tan A sin A 25 25 tan A tan A 25
2
2 1 3 8 4 1 3 39
= + + 2 + = + +
25 tan A tan A 25 25 tan A 4 100
π π 3π 1
因为 C ，所以 A ，所以 tan A 1,0 1，
6 4 4 tan A
2
1 3 4 1 3 39 39
所以 = 时， + + 取得最小值 ， tan A 4 25 tan A 4 100 100
2
4 1 3 39 4 9 39 12
并且 + + + = ，
25 tan A 4 100 25 16 100 25
1 1 2 39 12
所以 b + c 的范围是 , . 5 9 100 25
16. （1）函数 f (x) = xlnx + 2x, x 0，
f (x) = lnx + 3，令 lnx + 3 = 0，解得 x = e 3，
{#{QQABCYYAogggAAAAARgCEQEACkEQkBGAAYgGQBAUsAIACRFABAA=}#}
当 x e 3 时， ′( ) > 0；当0 x e 3时， ′( ) < 0，
故 f ( x) 3 3的单调递增区间为 (e ,+ )，单调递减区间为 (0,e ) .
（2）因为 f (x) = xlnx + 2x, g (x) = xex +1， x 0 ，
要证 f (x) g (x)，
1
即证 xlnx + 2x xex +1，即证 lnx + 2 e
x
.
x
1
令函数h (x) = lnx + 2 2x, x 0，
x
1 1 2x2 + x +1
则 h (x) = + 2 = ，
x x2 x2
2x2 + x +1 1
令 = 0，解得 x = 或 x =1，
x2 2
当 x 1时， ′( ) < 0；当0 x 1时， ′( ) > 0，
所以 ( )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1, +∞)，
1
则 h (x) h (1) = 1 0，所以 lnx + 2 2x .
x
x x
令函数u (x) = e 2x, x 0，则u (x) = e 2，
当 x ln2时，u (x) 0；当0 x ln2时，u (x) 0，
所以u ( x)的单调递增区间为 (ln2,+ )，单调递减区间为 (0, ln2)，
则u (x) u (ln2) = 2 2ln2 0，所以ex 2x，
1 x
故 lnx + 2 e ，
x
即当 ∈ (0,+∞)时， f (x) g (x)得证.
17. （1）连接BD交 AC于点O，连接 PO，
因为 ABCD是菱形，所以BD ⊥ AC，
O为 BD的中点，PD = PB，所以PO ⊥ BD．
又 AC，PO 面 APC，且 AC PO =O，
所以BD ⊥平面 APC，又BD 平面 ABCD，
所以平面 APC ⊥平面 ABCD .
（2）过 P做 PH ⊥ AC交 AC于点H，平面 APC ⊥平面 ABCD，PH ⊥ AC，
面 APC 面 ABCD = AC，PH 面 APC，所以PH ⊥面 ABCD，
则 PCH即为直线CP与平面 ABCD所成角， AB ⊥ PD， AB ⊥ PH，
{#{QQABCYYAogggAAAAARgCEQEACkEQkBGAAYgGQBAUsAIACRFABAA=}#}
PH ， PD 面PHD，PH PD = P， AB ⊥面PHD，DH 面PHD，则 AB ⊥ DH，
H为DH， AO的交点，△ABD为等边三角形，所以H为△ABD的重心，
1 1 3
OH = OA= 2 3 =1，则CH =OH +OC =1+ 3 = 4，
3 3 2
PH 3
在△PCH 中sin PCH = = ，解得PH = 3，
PH 2 +16 5
以O为原点，OB，OC所在直线为 x， y轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 A(0, 3,0)，B ( 3,0,0)，C (0,3,0)， P (0, 1,3)，则BP = ( 3, 1,3)，
BC = ( 3,3,0)， AP = (0,2,3)，PC = (0,4, 3)， AB = ( 3,3,0)，
BP n1 = 3x1 y1 + 3z1 = 0
设平面BQC的一个法向量为n1 = (x1, y1, z1)，则 ，
BC n1 = 3x1 + 3y1 = 0
令 y = 3，故n1 = (3 3,3,4)．设PQ = PC = (0,4 , 3 )， (0,1)1 ，
则 AQ = AP + PQ = (0,4 + 2,3 3 )，
AB n2 = 3x2 + 3y2 = 0
设平面 ABQ的一个法向量为n2 = (x2 , y2 , z2 ) ，则 ，
AQ n2 = (4 + 2) y2 + (3 3 ) z2 = 0
4 + 2
令 x n2 = 3 ，故 2 = 3, 1, .
3 3
设平面 ABQ与平面BQC夹角为 ，
4 + 2 2(4 + 2)
6+ 4 3+
n n
cos = cos n ,n = 1 2 = 3 3 3 3 1 2 = ，
n n 2 21 2 4 + 2 4 + 2
2 13 4+ 13 4+
3 3 3 3
8
2(4 + 2)
令3+ = t， 2(4 + 2)
3 3 +12
8 ( )+ 4 3 1 4 ，
3 3 3+ = 3+ = 3+ = +
3 3 3 3 3 3 3 1
13
因为 (0,1)，所以 t ，
3
2t 2
则 cos = = ，
13 t 2 6t + 25 2 1 3 16
13 25 +
t 25 25
{#{QQABCYYAogggAAAAARgCEQEACkEQkBGAAYgGQBAUsAIACRFABAA=}#}
1 3 25 1 5 13
当 = 时，即 t = ， = 时， cos = ，
t 25 3 2 max 26
3 39
此时 (sin ) = ，
min 26
3 39
二面角 A BQ C的正弦值的最小值为 .
26
n(n 1) d 2 d
18. （1）设等差数列{bn}的公差为d，前 n项和为 An，则 An = nb1 + d = n + (1 )n，
2 2 2
所以 A2n = 2dn
2 + (2 d )n，
2 kd kd
因为{bn}是“和等比数列”，所以 A2n = kAn，即2dn + (2 d )n = n
2 + (k )n，对任意
2 2
n N*恒成立，
kd
2d = 2 k = 4
所以 ，解得 ，
kd d = 22 d = k
2
所以{bn}的和公比为 4；
n
（2）由（1）知bn =1+ 2(n 1) = 2n 1，cn =
22n 1
，
1 2 3 n
所以Tn = + + + + ，
2 23 25 22n 1
1 1 2 n 1 n
所以 Tn = + + + + ，
22 23 25 22n 1 22n+1
1 1
[1 ( )n ]
3 1 1 1 1 n 2 22 n 2 3n + 4相减得 Tn = + + + + = = 3 5 2n 1 2n+1 2n+1 2n+1 ， 4 2 2 2 2 2 1 2 3 3 2
1
22
8 3n + 4
所以Tn = ；
9 9 22n 1
3n + 4 8 3n + 4 3n + 4 8 10 3n + 4
（3）设Pn =Tn = =
22n 1 9 9 22n 1 2n 1
，
2 9 9 22n 1
10 3n + 7 10 3n + 4 5(n +1)
Pn+1 Pn = + = 0，
9 22n+1 9 22n 1 4n
P P，{Pn}n+1 n 是递增数列，
3n + 4 n n
不等式Tn ( 1) m 22n 1 对任意的n N
*恒成立，即不等式Pn ( 1) m 2对任意的
2
n N*恒成立，
当 n为奇数时， m 2 (Pn )min = P1 = 3，则m 1，
1 3
当 n为偶数时，m 2 (P m n )min = P2 = ，则 ，
2 2
3
综上，m的取值范围是 (1, )．
2
{#{QQABCYYAogggAAAAARgCEQEACkEQkBGAAYgGQBAUsAIACRFABAA=}#}
x2
19. （1）对于椭圆C 21： + y =1，则长轴长为2 2 ，短轴长为2，焦距为2，
2
x2 y2
椭圆C2 ： + =1(a b 0)的长轴长为2a，短轴长为 2b，焦距为2 a2 b2 ，
a2 b2
2 2 b 2
依题意可得 = ，所以 = ，
a 2 a2 b2 a 2
2
a2 b2 b2 2 2
则椭圆C2 的离心率e = = 1 = 1 = .
a2 a2 2 2
2 2 2 a = 2 x2 y2
（2）①由相似比可知， = = ，解得 ，所以椭圆C2 ： + =1，
a 2 a2 b2 2 b = 2 4 2
设 P (x0 , y0 )，则直线PB 的方程为 y y0 = k1 ( x x0 )，即 y = k1x + y k x1 0 1 0，
记 t = y0 k1x0 ，则PB1的方程为 y = k1x + t，
2 2 2
将其代入椭圆C 的方程，消去 y，得 (2k1 +1) x + 4k1tx + 2t 2 = 01 ，
因为直线PB1与椭圆C有且只有一个公共点，
2
所以 = (4k1t ) 4(2k 21 +1)(2t 2 2) = 0 2 2，即 2k1 t +1= 0，
将 t = y k x
2 2 2
0 1 0 代入上式，整理得 (x0 2)k1 2x0 y0k1 + y0 1= 0，
(x2 2)k 2 2同理可得 0 2 2x0 y0k2 + y0 1= 0，
2 2
所以 k ,k 为关于 k的方程 (x0 2)k 2x0 y0k + y2 1= 01 2 0 的两根，
y2
所以 k k 0
1
1 2 = 2 ． x0 2
2 2
又点P (
x y
x0 , y0 )在椭圆C2 : + =1上，
4 2
1
y2 = 2 x2所以 0 0 ，
2
1
2 x2
所以 0
1
k k = 2
1
= ，为定值． 1 2
x20 2 2
{#{QQABCYYAogggAAAAARgCEQEACkEQkBGAAYgGQBAUsAIACRFABAA=}#}
a =1
2 2
②由相似比可知， = = 2 ，解得 2 ，所以椭圆C2 ： x
2 + 2y2 =1，
a 2 a2 b2 b =
2
其左、右顶点分别为 A1 ( 1,0)， A2 (1,0)，恰好为椭圆C1的左、右焦点，
设 P ( x3 , y3 )，易知直线PA1、 PA2 的斜率均存在且不为0 ，
y y 2
所以 k k = 3 3
y
PA PA =
3 ，
1 2 x3 +1 x3 1 x
2
3 1
P ( x , y 2 2 2因为 C3 3 )在椭圆 2 上，所以 x + 2y =1，即 x3 1= 2y
2
3 3 3 ，
y23 1所以 kPA k1 PA = = ． 2 x23 1 2
1
设直线PA1的斜率为 k，则直线PA2 的斜率为 ，
2k
所以直线PA1的方程为 y = k (x +1)．
y = k (x +1)
(1+ 2k 2 ) x2 + 4k 2x + 2k 2由 x2 ，得 2 = 0，
+ y
2 =1
2
( ) ( 4k
2 2k 2 2
设D x , y ，E x4 4 5 , y5 )，则 x + x = ， ， 4 5 x4x5 =
1+ 2k 2 1+ 2k 2
所以 DE = 1+ k 2
2
x x = (1+ k 2 ) (x + x ) 4x x 4 5 4 5 4 5
2 4k 2 2
2
2 2k 2
2 2 (1+ k )
= (1+ k ) 4 = ，
1+ 2k 2 1+ 2k 2 1+ 2k
2
{#{QQABCYYAogggAAAAARgCEQEACkEQkBGAAYgGQBAUsAIACRFABAA=}#}
2 1
2 2 1+ 2
2k 2 (1+ 4k )同理可得 MN = = ，
2
1 1+ 2k
2
1+ 2
2k
2 2 (1+ k 2 ) 2 (1+ 4k 2 )
所以 DE + MN = + = 3 2 ．
1+ 2k 2 1+ 2k 2
{#{QQABCYYAogggAAAAARgCEQEACkEQkBGAAYgGQBAUsAIACRFABAA=}#}
