2025年1月葫芦岛市普通高中期末考试
高三数学
时间：120分钟满分：150分
学
校
注意事项：
1.答卷前，考生须任答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名、准考证号，
姓
名
并核对条形码上的信息。确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、
考
号
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题
卡上各题日规定答题区域内，超出答题区域书写或写在本试卷上的答案无效。
第I卷（选择题，共58分）
装
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.)
,h.己知集合A={xy=n(4-x)},B={xy=Vx-2},则A∩B=
A.{x4}
B.{x2<<4}
C.{x2sr<4}
D.{x22}
:
1-i
‘2.复数2=
:
1+2的虚部是
:
c.-3
1
线
A.-
B.
5
5
D.
3.
已知向量a=(2,1),b=(1,1),若(aa+b)1(2a-b),则=
A.7
B.月
c.j
D.5
4.
己知角a的终边经过点P(2,1),则cos2a=
A.
2
8:5
2
C.-
D.-
3
5
5.风筝义称为纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，是
人类最早的风筝起源如图，是某高年级学生制作的一个风
筝模型的多面体ABCEF,D为AB的中点，四边形EFDC为
矩形，且DF⊥AB,AC=BC=6,∠ACB=120°，当
AE⊥BE时，多面体ABCEF的体积为
A.9W6
B.9√3
C.186
D.183
高三数学第1页（共4页）
6.己知函数f(x)=
x+4-2a,x<2
1+al1og,,x≥2，若f(x)的值域为(-o,+o),则实数a的范围是
A.3
B.(
C.(0,3）
D.(0
7.已知函数f(r)=Asin(or+pA>0,m>0,lo<7的图象如图所示，
y↑P1.A0
M号.0
图象与x轴的交点为M(,0),与y轴的交点为N,最高点P(1,A),且
满足NM⊥NP,则f(2)=
A.V10
B.0
D.√10
8.已知函数x)的定义域为R,-2)=0,函数=xx+2)是奇函数，函数=(x+2)x)的图
象关于直线=一2对称，则
A.x)是偶函数
B.x-2)是奇函数
C.f2)=0
D.Ax+8)=fx)
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.)
9.已知某校高三年级在期末考试中，1000名学生的数学成绩服从正态分布N(100,
100),其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确
的有（参考数据：Puro
A.成绩在(70,130]内的人数约为997
B.该校学生成绩的标准差为10
C.及格率超过85%
D.成绩低于80的人数和优秀的人数大致相等
10.已知(2x-5)2025-a0+a1(x-2)+a2(x-2)2++a2025(x-2)2025,则下列结论成立
的是
A.a0+a1+·+a2025=1
B.22024a0+22023a1+…+2a2023+a2024=5×102024
C.00-a1+a2-a3…-a2025=32025
D.a1+2a2+3a3+…+2025a2025-4050
高三数学第2页（共4页)2025 年 1 月葫芦岛市普通高中期末考试
高三数学
参考答案及评分标准
一、单项选择题
1.C 2.B 3.A 4.B 5 C 6.D 7. C 8.B
二、多项选择题
9 .ABD 10.AD 11. ACD
三、填空题
2 1
12.y= 3x (或写成 3ex+ey+2=0) 13. √2 14.
e 10
四、解答题
15.（13 分）
2+ 2 2 1
（1）cos = = ， …………………………………………………………3 分
2 2
2
又因为 ∈ (0,π)，所以 = . …………………………………………………………6 分
3
（2）解法一：
1
如图，由题意可知，∠ = ∠ = ∠ =
2 3
因为 △ = △ + △ ，
1 2 1 1
所以 = +
2 3 2 3 2 3
1
= ( + ) ，………………………………………………………………………8 分
2 3
又 c=3,BD=2，，
所以 a=6，……………………………………………………………………………………10 分
在ΔABC中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ∠ =63 ……………………12 分
，所以 b=3√7， …………………………………………………………………………13 分
解法二：
1
由解法一可知：如图，由题意可知，∠ = ∠ = ∠ =
2 3
因为 △ = △ + △ ，
1 2 1 1 1
所以 = + = ( + ) ，…………………8 分
2 3 2 3 2 3 2 3
又 c=3,BD=2，
所以 a=6，……………………………………………………………………………………10 分
在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos∠ =28，
所以 CD=2√7，………………………………………………………………………………11 分
在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ∠ =7，
{#{QQABBYSkwgAYkAaACZ7qAUn0CUiQsIMhLQgMwUASqAZKSBNIBAA=}#}
所以 AD=√7，………………………………………………………………………………12 分
所以 AC=2√7+√7=3√7，，即 b=3√7， …………………………………………………13 分
16.（15 分）
(1)由题意抛物线 C 经过点 M(1, 2 ),代入方程可得 p=1………………………………2 分
于是抛物线 C 的标准方程为 y2=2x …………………………………………………………4 分
(2)依题意，直线与抛物线有 2 个交点 A(x1,y1)B(x2,y2)
所以直线存在斜率且不为 0 ，
设直线 l:x=ty+4
2 = 2
联立{ ，整理得 y2-2ty-8=0,△>0,t∈R……………………………………………6 分
= + 4
y1+y2=2t, y1y2=-8………………………………………………………………………………8 分
1
整理得： = × 4| 1 2| = 2√( 1 +
2
2) 4 = 2√4
2
1 2 + 32≥8√2 2
故 S 的取值范围是[8√2,+∞])…………………………………………………………………9 分
1
(3)由题意得抛物线的焦点 F( ,0),
2
又由 = 2 ，可知 直线 l 过焦点 F 且斜率不为 0
1
于是可设直线的方程为：x=ty+ , ……………………………………………………11 分
2
设 A(x1,y1),B(x2,y2)
2 = 2
联立方程组{ 1 得 y2-2ty-1=0,△=4t2+1>0
= + 2
于是 y1+y2=2t, y1y2=-1 ………………………………………………………………………13 分
由 = 2 可知，-y1=2y2，代入上式 y1=4t,y2=-2t
2
y1y2=-8t2=-1,t=± 4
所以直线的方程 4x- 2 y-2=0 或 4x+ 2 y-2=0……………………………………………15 分
17.（15 分）
（1）设 , 交于点 ，连接 1 ，如图，
因为BC =CD, AB = AD，则点 , 在线段 的垂直平分线上，
即有 ⊥ , 为 的中点，………………………………………………………………2 分
又因为 1 = 1 ，则 1 ⊥ ， …………………………………………………………3 分
又 1 ∩ = , 1 , 平面 1 1，因此 ⊥平面 1 1， ……………………5 分
而 1 平面 1 1，
所以 ⊥ 1 .…………………………………………………………………………………7 分
{#{QQABBYSkwgAYkAaACZ7qAUn0CUiQsIMhLQgMwUASqAZKSBNIBAA=}#}
（2）由（1）知， ⊥平面 1 1，而 平面 ，则平面 ⊥平面 1 1，
在平面 1 1 内过 作 ⊥ ，又平面 ∩ 平面
ACC1A1 = AC ，因此 ⊥平面 ，……………………8 分
射线 , , 两两垂直，以 为原点，射线 , , 的方向
为 , , 轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为 为棱 的中点，则点 是正△ 的重心，
又 = = = √2 = √2 = 2， 1 ⊥平面 ，且 1 = 2，
√3 √3 √3
则 (0, , 0), (1,0,0), (0,√3, 0), (0, , 0), 1(0, , 2)，…………………………9 分 3 3 3
√3 √3所以 = (1, , 0), 1 = ( 1, , 2), = ( 1,√3, 0)， 3 3
1 = (1,√3, 2) …………………………………………………………………………11 分
设平面 1的法向量为 = ( 2, 2, 2)，
= 2 + √3 2 = 0
则{ √3 ，令 2 = 3，得 = (3, √3, 1)，………………13 分
1 = 2 + 2 + 2 2 = 03
设直线 1 与平面 1的夹角为 ，则
| D 1
F | 4 √26
si θ = |cos , D1F |= = = …………………………………………15 分
| ||D F | 2√2×√13 13 1
18．（17 分）
（1）当 a=4 时， ′(x)= 2e2x + 6ex 4= (ex 1)(ex 2),
当ex (1,2)时，即 x (0,ln2)时， ′( ) > 0，………………………………………………2 分
故 ( )单调递增区间为(0,ln2)； …………………………………………………………4 分
（2） ′(x)= 2e2 + 6e a，令 = ，即 ′(t)= 2 2 + 6
令 1 =
1， = 22 ，则 t
2
1 ， t2 是方程 2 + 6 =0 的两个正根，
9
则 = 36 8 > 0，即 a< ，………………………………………………………………6 分
2
9
有 1 + 2 = 3， 1 2 = 即 0（ii） ( 1) + ( 2) + 1 + 2
= 2 1 + 6 1 1 2+(
2 2 + 6 2 2 2)+ 1 + 2
= (t 21 + t
2
2 )+6( 1 + 2)+(1-a)(ln 1 + 2) 4
= [( 1 + )
2
2 2 1 2]+6( 1 + 2)+(1-a)(ln 1 2) 4
2 = [3 2 × ]+6×3+(1-a)(ln ) 4
2 2
{#{QQABBYSkwgAYkAaACZ7qAUn0CUiQsIMhLQgMwUASqAZKSBNIBAA=}#}
=a+5+(1-a)ln ……………………………………………………………………10 分
2
9
令 g(x)=x+5+(1-x)ln (02 2
1 1
则 g′(x)=1-ln +(1-x) = ln ………………………………………………………………11 分
2 2
1 1 1
令 h(x)= ，则 ′ ( ) = 2 < 0， 2
9
则 ′( )在(0, )上单调递减，………………………………………………………………12 分
2
1 1 3
又 g′(2)= >0,g′(3)= <0
2 3 2
1
故存在 0 ∈(2,3)，使
′( )=0，即 = l 0，……………………………………………13 分
0 2
9
则当 ∈ (0， 0)时，
′( ) > 0，当 x∈ ( , )时， ′0 ( ) < 0， 2
9
故 ( )在(0, 0)上单调递增， ( )在( 0, )上单调递减， 2
1 1
则 g(x)≤ 00+5+(1- 0)ln = 0+5+(1- 0) = 0+ +4, ……………………………………15 分 2 0 0
1 1 22
又 0 ∈(2,3)，故 g( 0)= 0+ +4<3+ + 4= 0 3 3
22
即 f( 1)+f( 2)+ 1+ 2< ……………………………………………………………………17 分 3
19.（17 分）
（1）x 的所有可能取值为：12,13,14,16,17,18 ……………………………………2 分
（2）若项数为 4，不妨令 a 为 1,q,q2,q3 n
1+q3=q+q2,q2-q+1=q,(q-1)2=0,q=1(舍)
若项数为 5，不妨令 an为 1,q,q2,q3,q4为从小到大或从大到小排列，
① q+q4= q2+q3, 1+q3=q+q2, q2-q+1=q,(q-1)2=0,q=1(舍) ………………………………3 分
② 1+q4= q2+q3, q3(q-1)= (q-1) (q+1),因为 q≠1，所以 q3-q+1=0
3 3
令 f(x)=x3-x-1(x>0)，f′(x)=3x2-1,f(x)在(0, )递减，在( ,+∞)递增
3 3
f(1)=-1<0,f(2)=5>0,f(0)=-1<0
所以，存在 p∈（1,2），使得 f(p)=0 ………………………………………………5 分
③ 1+q4= q+q3, q3(q-1)= (q-1), q3=1, q=1.(舍)……………………………………………6 分
④ 1+q4= q+ q2，q2(q2-1)= (q-1)，q2(q+1)= 1， q3 + q2-1=0
{#{QQABBYSkwgAYkAaACZ7qAUn0CUiQsIMhLQgMwUASqAZKSBNIBAA=}#}
令 g(x)= x3+x2-1(x>0)，g′(x)=3x2+2x,
由 x>0 可得 g′(x)>0,g(x)在（0,+∞）上为增函数，g(0)=-1<0,g(1)=1>0
所以，存在 q∈（0,1），使得 g(q)=0………………………………………………8 分
⑤ 1+q3=q+q2 ,q2-q+1=q,(q-1)2=0,q=1(舍)
综上，满足条件的公式 q 一共有 2 个。 …………………………………………9 分
(3)由题意，n 为偶数，设 n=2m, 不妨取数列{an} 为 1,2,3…,2m.取出 4 个数从小到大依
次为 aa=1,d=2m,b,c 共有 m-1 种情况;a=1,d=2m-1, b,c 共有 m-2 种情况;a=1,d=2m-2, b,c 共有
m-2 种情况，………………………………………………………………………………11 分
依次类推，a=1 的情况共有：(m-1)+2(m-2)+2(m-3)+…2×2+2×1=(m-1)2
同理:
a=2 的情况共有：2(m-2)+2(m-3)+ …2×2+2×1=(m-1)2-(m-1)
a=3 的情况共有：(m-2)+2(m-3)+ …2×2+2×1=(m-2)2
a=4 的情况共有： 2(m-3)+ …2×2+2×1=(m-2)2-(m-2)
……
a=2m-5 的情况共有：(m-(m-2))2=22
a=2m-4 的情况共有：(m-(m-2))2-(m-(m-2))=22-2=2
a=2m-3 的情况共有：(m-(m-1))2=12
a=2m-2 的情况共有：(m-m)2=12-1 …………………………………………………………13 分
所以，总共有 2[12+22+32+…+ (m-1)2]2 -[1+2+3+…+ (m-1)]
1 m(m-1)
=2× (m-1)m(2m-1)-
6 2
(m-1)m(4m-5)
=
6
(m-1)m(4m-5)
6 1
所以该数列伟友好数列的概率为 P= 4 > ……………………………………15 分 C2m 8
整理得：4m2-40m+43<0
57 57
5- 2 2
57
又 8.5<5+ <9,所以 m 的最大整数值为 8
2
故 n 的最大值为 16 …………………………………………………………………………17 分
{#{QQABBYSkwgAYkAaACZ7qAUn0CUiQsIMhLQgMwUASqAZKSBNIBAA=}#}