湘教版八年级下册（新）第1章《1．2　直角三角形的性质和判定(Ⅱ)》教学设计

1．2　直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
第1课时　勾股定理
学习目标
1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)
2．掌握勾股定理，并应用它解决简单的计算题；(重点)
3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)
教学过程
一、情境导入
如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的 ( http: / / www.21cnjy.com )树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？
二、合作探究
探究点一：勾股定理
【类型一】 直接运用勾股定理
　　　　　　　　　　　　　　　
已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：
(1)AC的长；
(2)S△ABC；
(3)CD的长．
解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据CD·AB＝BC·AC即可求出CD.
解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝＝12(cm)；
(2)∵S△ABC＝CB·AC＝×5×12＝30(cm2)；
(3)∵S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，∴CD＝＝(cm)．
方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定 ( http: / / www.21cnjy.com )理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型二】 分类讨论思想在勾股定理中的应用
在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC周长．
解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．
解：此题应分两种情况：
(1)当△ABC为锐角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形时，如图①所示，在Rt△ABD中，BD＝＝＝9，在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；
(2)当△ABC为钝角三角形时，如图② ( http: / / www.21cnjy.com )所示，在Rt△ABD中，BD＝＝＝9.在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周长为：15＋13＋4＝32，∴△ABC的周长为32或42.
方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
【类型三】 勾股定理与等腰三角形的综合
如图所示，已知△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线分别交BC、AB于D、F点，BD＝6，AE⊥BC于E，求AE的长．
解析：欲求AE，需与BD联系，连接AD，由线段垂直平分线的性质可知AD＝BD.可证△ADE是等腰直角三角形，再利用勾股定理求AE的长．
解：如图所示，连接AD.∵DF是线 ( http: / / www.21cnjy.com )段AB的垂直平分线，∴AD＝BD＝6，∴∠BAD＝∠B＝22.5°.∵∠ADE＝∠B＋∠BAD＝45°，AE⊥BC，∴∠DAE＝45°，∴AE＝DE.由勾股定理得AE2＋DE2＝AD2，∴2AE2＝(6)2，∴AE＝＝6.
方法总结：22.5°虽然不是特殊角 ( http: / / www.21cnjy.com )，但它是特殊角45°的一半，所以经常利用等腰三角形和外角进行转换．直角三角形中利用勾股定理求边长是常用的方法．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
探究点二：勾股定理与图形的面积
探索与研究：
方法1：如图：
对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A ( http: / / www.21cnjy.com )旋转90°得直角三角形AED，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；
方法2：如图：
任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？
解析：方法1：根据四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC和Rt△ACD的面积之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之和解答．
解：方法1：S正方形AC ( http: / / www.21cnjy.com )FD＝S四边形ABFE＝S△BAE＋S△BFE，即b2＝c2＋(b＋a)(b－a)，整理得2b2＝c2＋b2－a2，∴a2＋b2＝c2；
方法2：S四边形ABCD＝S△ABC＋ ( http: / / www.21cnjy.com )S△ACD，S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，即S△ABC＋S△ACD＝S△ABD＋S△BCD，即b2＋ab＝c2＋a(b－a)，整理得b2＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2＋ab－a2，∴a2＋b2＝c2.
方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题
三、板书设计
1．勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.
2．勾股定理的应用
3．勾股定理与图形的面积
教学反思
课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让 ( http: / / www.21cnjy.com )学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，可设计拼图活动，并自制精巧的课件让学生从图形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点
第2课时　勾股定理的实际应用
1．熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点)
2．勾股定理的正确使用．(难点)
一、情境导入
如图，在一个圆柱形石凳上，若小明在 ( http: / / www.21cnjy.com )吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
二、合作探究
探究点一：勾股定理在实际生活中的应用
【类型一】 勾股定理在实际问题中的简单应用
如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子是直的，结果保留根号)
解析：开始时，AC＝5米，BC＝13米，即可求得AB的值，6秒后根据BC、AC长度即可求得AB的值，然后解答即可．
　　　　　　　　　　　　　　　
解：在Rt△ABC中，BC＝13米，AC ( http: / / www.21cnjy.com )＝5米，则AB＝＝12米，6秒后，BC＝13－0.5×6＝10米，则AB＝＝5米，则船向岸边移动距离为(12－5)米．
方法总结：在实际生产生活中有很多图形是直角三角形或可构成直角三角形，在计算中常应用勾股定理．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
【类型二】 含30°或45°等特殊角的三角形与勾股定理的综合应用
由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，今日A市测得沙尘暴中心在A市的正西方向300km的B处，以10km/h的速度向南偏东60°的BF方向移动，距沙尘暴中心200km的范围是受沙尘暴影响的区域，问：A市是否会受到沙尘暴的影响？若不会，说明理由；若会，求出A市受沙尘暴影响的时间．
解析：过点A作AC⊥BF于C，然后求 ( http: / / www.21cnjy.com )出∠ABC＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC＝AB，从而判断出A市受沙尘暴影响，设从D点开始受影响，此时AD＝200km，利用勾股定理列式求出CD的长，再求出受影响的距离，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解．
解：如图，过点A作AC⊥BF于C，由题 ( http: / / www.21cnjy.com )意得，∠ABC＝90°－60°＝30°，∴AC＝AB＝×300＝150(km)，∵150＜200，∴A市受沙尘暴影响，设从D点开始受影响，则AD＝200km.由勾股定理得，CD＝＝＝50(km)，∴受影响的距离为2CD＝100km，受影响的时间位100÷10＝10(h)．
方法总结：熟记“直角三角形30 ( http: / / www.21cnjy.com )°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，知道方向角如何在图上表示，作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理是解这类题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
探究点二：勾股定理在几何图形中的应用
【类型一】 利用勾股定理解决最短距离问题
如图，长方体的长BE＝15cm，宽AB＝10cm，高AD＝20cm，点M在CH上，且CM＝5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？
解：分三种情况比较最短距离：
如图①(将正面与上面展开)所示，AM＝ ( http: / / www.21cnjy.com )＝5，如图②(将正面与右侧面展开)所示，AM＝＝25(cm)．∵5＞25，∴第二种短些，此时最短距离为25cm；如图③(将正面与左侧面展开)所示，AM＝＝5(cm).5＞25，∴最短距离为25cm.
答：需要爬行的最短距离是25cm.
　　　　
方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况， ( http: / / www.21cnjy.com )故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
【类型二】 运用勾股定理与方程解决有关计算问题
如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是(　　)
A．1.5 B．2
C．2.25 D．2.5
　　　
解析：设AM＝x，连接BM， ( http: / / www.21cnjy.com )MB′，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2，在Rt△MDB′中，B′M2＝MD2＋DB′2，∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故选B.
方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
【类型三】 勾股定理与数轴
如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是(　　)
A.＋1 B．－＋1
C.－1 D.
解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长 ( http: / / www.21cnjy.com )，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为＝，∴－1到A的距离是，那么点A所表示的数为－1.故选C.
方法总结：本题考查的是勾股定理和数轴的知识，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．
三、板书设计
1．勾股定理在实际生活中的应用
2．勾股定理在几何图形中的应用
就练习的情况来看，一方面学生简单机械地 ( http: / / www.21cnjy.com )套用了“a2＋b2＝c2”，没有分析问题的本质所在；另一方面对于立体图形转化为平面问题在实际问题中抽象出数学模型还存在较大的困难，在今后的教学中要通过实例不断训练提高
第3课时　勾股定理的逆定理
1．能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；(重点)
2．灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题．(难点)
一、情境导入
古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．
你知道这是什么道理吗？
二、合作探究
探究点一：勾股定理的逆定理
【类型一】 勾股数
判断下列几组数中，一定是勾股数的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．1，， B．8，15，17
C．7，14，15 D.，，1
解析：选项A不是，因为和不是正整数； ( http: / / www.21cnjy.com )选项B是，因为82＋152＝172，且8、15、17是正整数；选项C不是，因为72＋142≠152；选项D不是，因为与不是正整数．故选B.
方法总结：勾股数必须满足：①三个数必须是正整 ( http: / / www.21cnjy.com )数，例如：2.5、6、6.5满足a2＋b2＝c2，但是2.5、6.5不是正整数，所以它们不是勾股数；②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
【类型二】 判断三角形的形状
已知a，b，c为△ABC的三边，且满足(a－7)2＋(b－24)2＋(c－25)2＝0.试判断△ABC的形状．
解析：可先确定a，b，c的值，然后再结合勾股定理的逆定理进行判断．
解：由平方数的非负性，得a－7＝0， ( http: / / www.21cnjy.com )b－24＝0，c－25＝0.∴a＝7，b＝24，c＝25.又∵a2＝72＝49，b2＝242＝576，c2＝252＝625，∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形．
方法总结：此题主要依据“若几个非负数的 ( http: / / www.21cnjy.com )和为0，则这几个非负数同时为0”这一性质来确定a，b，c的值．该知识点在解题时会经常用到，应注意掌握．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型三】 利用勾股定理逆定理解决与角有关的问题
在如图的方格中，△ABC的顶点A、B、C都是方格线的交点，则三角形ABC的外角∠ACD的度数等于(　　)
A．130° B．135°
C．140° D．145°
解析：∵AB2＝12＋22＝5，BC2＝ ( http: / / www.21cnjy.com )12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，∴AC2＝AB2＋BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B＝45°＋90°＝135°.故选B.
方法总结：在网格图中求三角形的角度 ( http: / / www.21cnjy.com )时可以运用勾股定理和一些特殊角的边角关系来解答，比如在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，45°的直角三角形中两直角边相等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
【类型四】 运用勾股定理的逆定理解决面积问题
如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四边形ABCD的面积．
　　　
解析：连接AC，根据已知条件运用勾股 ( http: / / www.21cnjy.com )定理的逆定理可证△ABC和△ACD为直角三角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来，两者面积相加即为四边形ABCD的面积．
解：连接AC，∵∠B＝90°，∴△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C为直角三角形，∴AC2＝AB2＋BC2＝82＋62＝102，∴AC＝10，在△ACD中，∵AC2＋CD2＝100＋576＝676，AD2＝262＝676，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×6×8＋×10×24＝144.
方法总结：将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度，三边长度等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
探究点二：勾股定理逆定理的实际应用
如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海．
解析：已知走私艇的速度，求出 ( http: / / www.21cnjy.com )走私艇的距离即可得出走私艇所用的时间，即可得出走私艇何时能进入我国领海．所以现在的问题是得出走私艇的距离，根据题意，CE即为走私艇所走的路程，可知，△ABE和△EBC均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出．
解：设MN与AC相交于E， ( http: / / www.21cnjy.com )则∠BEC＝90°，∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，由于MN⊥CE，所以走私艇C进入我国领海的最短距离是CE，由S△ABC＝AB·BC＝AC·BE，得BE＝(海里)，由CE2＋BE2＝BC2，即CE2＋()2＝122，得CE＝(海里)，∴÷13＝≈0.85(h)＝51(min)，9时50分＋51分＝10时41分．
答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海．
方法总结：本题考查了对题意的准确把握和使用勾股定理解直角三角形，解题的关键是从实际问题中整理出几何图形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
三、板书设计
1．勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
2．利用勾股定理逆定理求角和线段的长
3．利用勾股定理逆定理解决实际问题
学生在练习的过程中很容易受到固定思维模式的 ( http: / / www.21cnjy.com )限制，往往不找最长边而总是按照先后顺序来解题，这样很容易发生错误，再就是利用勾股定理的逆定理进行有关的证明不是很得法，需在以后的学习中逐步训练提高