湘教版八年级下册（新）第2章《2．1　多边形》教学设计

第2章 四边形
2．1　多边形
第1课时　多边形的内角
1．了解多边形及其相关概念；
2．熟练运用多边形内角和公式进行简单计算．(重点)
一、情境导入
小学时我们学习过多边形，对它有了初步的了 ( http: / / www.21cnjy.com )解．什么是多边形的内角，外角，对角线，如何计算对角线的条数，如何用字母表示它；三角形的内角和是180°，你想知道任意一个多边形的内角和是多少度吗？今天，我们就来探究一下多边形的内角和如何计算．
二、合作探究
探究点一：多边形及其有关概念
【类型一】 多边形的定义及概念
下列说法中，正确的有(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
(1)三角形是边数最少的多边形；
(2)由n条线段连接起来组成的图形叫多边形；
(3)n边形有n条边、n个顶点、2n个内角；
(4)多边形分为凹多边形和凸多边形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：(2)的说法不严密，应点明三点：其一 ( http: / / www.21cnjy.com )，“不在同一直线上”的线段；其二，是“平面图形”；其三，“线段首尾顺次相接”；(3)n边形的边数和顶点数、内角的个数都是一样的，即有n条边(或n个顶点或n个内角)就叫n边形．故(2)和(3)的说法不正确．因此，只有(1)、(4)的说法正确，故选B.
方法总结：理解多边形的概念需注意：(1)线 ( http: / / www.21cnjy.com )段必须“不在同一直线上”且首尾顺次相连；(2)必须是“平面图形”；(3)n为边数，为不小于3的正整数．
【类型二】 多边形的对角线
若一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍，则此多边形的边数为________．　　解析：可以设这个多边形有n个顶点，则就有n条边，过一个顶点可以引出(n－3)条对角线．故n＝2(n－3)，即n＝6.故答案为6.
方法总结：①n边形中，过一个顶点可引(n－3)条对角线；②一个n边形总共有条对角线．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
探究点二：多边形的内角和
【类型一】 已知边数或对角线条数求内角和
一个多边形共有的对角线条数是它的边数的3倍，这个多边形的内角和是多少度？
解析：先求出多边形的边数，再根据边数来求内角和．
解：设这个多边形的边数为n ( http: / / www.21cnjy.com )，由题意得＝3n，所以n－3＝2×3，所以n＝9，所以(n－2)·180°＝(9－2)×180°＝1260°，所以这个多边形的内角和为1260°.
方法总结：n边形的对角线条数为，利用对角线条数的计算方法，知道多边形的边数或对角线条数其中一个，即可求出另一个数．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型二】 已知内角和求边数
已知两个多边形的内角和为1080°，且这两个多边形的边数之比为2∶3，求这两个多边形的边数．
解析：利用内角和公式，根据已知条件建立等量关系即可求解．
解：设这两个多边形的边数分别为2x和3 ( http: / / www.21cnjy.com )x.由题意，得(2x－2)·180°＋(3x－2)·180°＝1080°.解得x＝2.故这两个多边形的边数分别是4和6.
方法总结：运用多边形的内角和公式，建立方程模型来求多边形的边数是比较常用的方法．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
【类型三】 少加的内角
如图所示，回答下列问题：
(1)小华是在求几边形的内角和？
(2)少加的那个内角为多少度？
解析：由多边形内角和公式(n－2) ( http: / / www.21cnjy.com )·180°知，多边形的内角和是180°的整数倍，而1125÷180的余数为45，这说明小华少加了一个135°的角．
解：(1)因为1125÷180＝6，∴n－2≥6，n为整数，∴n－2＝7，n＝9，故小华求的是九边形的内角和；
(2)因为1125÷180的余数为45，故小华少加的那个内角度数为180°－45°＝135°.
【类型四】 求不规则多边形的内角和
如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数．
解析：已知图形为不规则的图形，我们 ( http: / / www.21cnjy.com )可尝试将这7个角的和转化为一个多边形的内角和求解，如果连接BF，则可得到一个五边形，借助五边形的内角和可解决问题．
解：如图所示，连接BF，则∠A＋∠G＋∠1＝ ( http: / / www.21cnjy.com )∠2＋∠3＋∠4.∵∠1＝∠2，∴∠A＋∠G＝∠3＋∠4，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝∠D＋∠C＋∠CBF＋∠BFE＋∠E＝(5－2)×180°＝540°.
方法总结：求不规则多边形的内角和时，通过添加辅助线将其转化为规则图形，是解答此类题目最常用的方法．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
三、板书设计
1．多边形的定义及相关概念
2．多边形的对角线总条数的计算公式(n为边数)
3．多边形的内角和公式：(n－2)·180°
教学过程中，要让学生学会由 ( http: / / www.21cnjy.com )特殊的图形推导出一般图形的相关性质，这是我们数学学习中经常会运用的基本能力，所以我们平时就应该有意识的培养学生这方面的能力
第2课时　多边形的外角
1．理解和掌握多边形外角和定理的推导过程；(重点)
2．了解四边形的不稳定性及在生活和生产中的利与弊；
3．多边形内角和、外角和定理的综合运用．(难点)
一、情境导入
　　　　　　　　　　　　　　　
清晨，小明沿一个五边形广场的周围小跑，按逆时针方向跑步．
(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们．
(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
二、合作探究
探究点一：多边形的外角和定理
【类型一】 利用多边形的外角和定理求不规则图形的角度
如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的度数为(　　)
A．90° B．180° C．270° D．360°
解析：根据三角形的一个外 ( http: / / www.21cnjy.com )角等于与它不相邻的两个内角的和，以及多边形的外角和即可求解．∵∠1＝∠A＋∠B，∠2＝∠C＋∠D，∠3＝∠E＋∠F，∠4＝∠G＋∠H，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4，又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°.故选D.
方法总结：本题考查了三角形的外角以及多边形的外角和定理，正确地将所求结论转化为多边形的外角和是解题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
【类型二】 利用四边形的外角和定理解决实际问题
如图，小陈从点O出发，前进5m后向右转20°，再前进5m后又向右转20°，……这样一直走下去，他第一次回到出发点O时，一共走了(　　)
A．60m B．100m C．90m D．120m
解析：小陈的行走路线围成的图形是一个正 ( http: / / www.21cnjy.com )多边形，它的每条边长都是5m，每个外角都是20°，所以围成的正多边形的边数是360°÷20°＝18，故小陈行走的总路程为5×18＝90(m)．故选C.
方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用正多边形的外角和定理解题．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
【类型三】 多边形内角和与外角和定理的综合运用
下列多边形中，内角和与外角和相等的是(　　)
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．八边形
解析：根据多边形的内角和为(n－2)·180°，多边形外角和为360°，∴(n－2)·180°＝360°，n＝4.故选A.
方法总结：内角和为(n－2)×180°，而外角和为定值360°，根据两者等量关系求出n值．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
探究点二：四边形的不稳定性
如图，有一个四边形钢架，由4条钢管连接而成．为了使这一钢架稳固，应怎么做？
解析：钢架为四边形形状，因为四边形具有 ( http: / / www.21cnjy.com )不稳定性，因此不能稳固．若用1条或2条钢管连接对角线，则把这个四边形完全转化为三角形了．而三角形具有稳定性，故钢架可以稳固，因此可以用1条或2条钢管连接对角线，从而使之保持稳固．
解：可以用1条钢管连接AC或BD，或者用2条钢管将AC、BD均连接．
方法总结：利用转化思想，把四边形转化为了三角形，随之四边形的不稳定性也转化成了三角形的稳定性．这种方法在生活、生产中经常使用．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
三、板书设计
1．任意多边形的外角和是360°
2．多边形具有不稳定性
通过学生反馈的情况，知道多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°，因而在求解多边形的角的计算题，有时直接应用外角和计算会比较简单