湘教版八年级下册（新）第2章《2．2.1　平行四边形的性质》教学设计

2．2　平行四边形
2．2.1　平行四边形的性质
第1课时　平行四边形的边、角的性质
1．理解平行四边形的概念；(重点)
2．掌握平行四边形边、角的性质；(重点)
3．利用平行四边形边、角的性质解决问题．(难点)
一、情境导入
平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称图形呢？它又具有哪些基本性质呢？
二、合作探究
探究点一：平行四边形的定义
如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．
解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠ACB，从而可以推出AD∥BC，AB∥CD，再根据平行四边形的定义即可推出结论．
证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC，∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
方法总结：平行四边形的定义是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．
探究点二：平行四边形的边、角的性质
【类型一】 利用平行四边形的性质求边长
如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．
解析：∵四边形ADEF为平行四边形，∴AD＝EF，AD∥EF，DE＝AF＝2，∴∠ACB＝∠FEB，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF，∴AD＝BF，∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.故答案为7.
方法总结：平行四边形对边平行且相等，根据该性质可解决和边有关的问题．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型二】 利用平行四边形的性质求角度
　　　　　　　　　　　　　　　
如图，平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度数为(　　)
A．35° B．55°
C．25° D．30°
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠A＝∠BCD＝125°.又∵CE⊥AB，∴∠BEC＝∠ECD＝90°，∴∠BCE＝125°－90°＝35°.故选A.
方法总结：平行四边形对角相等，对边平行，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型三】 利用平行四边形的性质证明线段相等
如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP.求证：FP＝EP.
解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC＝∠GCB，再由等腰三角形性质求出∠DGC＝∠DCG，即可推出∠DCG＝∠GCB，根据等角的补角相等求出∠DCP＝∠FCP，根据SAS证出△PCF≌△PCE即可得出结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB，∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG，∴∠DCG＝∠GCB，∵∠DCG＋∠ECP＝180°，∠GCB＋∠FCP＝180°，∴∠ECP＝∠FCP，在△PCF和△PCE中，∴△PCF≌△PCE(SAS)，∴PF＝PE.
方法总结：利用平行四边形的性质可得出相应的等量关系，进而通过证明三角形的全等得出结论．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
【类型四】 判断直线的位置关系
如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，如图连接DM、MC，试问直线DM和MC有何位置关系？请证明．
解析：由AB＝2AD，M是AB的中点的位置关系，可得出DM、CM分别是∠ADC与∠BCD的角平分线，又由平行线的性质可得∠ADC＋∠BCD＝180°，进而可得出DM与MC的位置关系．
解：DM与MC互相垂直，∵M是AB的中点，∴AB＝2AM，又∵AB＝2AD，∴AM＝AD，∴∠ADM＝∠AMD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠AMD＝∠MDC，∴∠ADM＝∠MDC，即∠MDC＝∠ADC，同理∠MCD＝∠BCD，∵AD∥BC，∴∠BCD＋∠ADC＝180°，∴∠MDC＋∠MCD＝∠BCD＋∠ADC＝90°，∴∠DMC＝90°，∴DM与MC互相垂直．
方法总结：根据平行四边形对边平行、对角相等，邻角互补等性质再结合三角形全等、等腰三角形的知识可证明线段垂直、平行等问题．
探究点三：两平行线间的距离
如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO面积相等．
解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．
证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h.∴S△EGH＝GH·h，S△FGH＝GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴△EGO的面积等于△FHO的面积．
方法总结：解题的关键是明确两平行线间的距离相等；同底等高的两个三角形的面积相等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
三、板书设计
1．平行四边形的定义
2．平行四边形的边、角的性质
3．两平行线间的距离
　　
从现实生活中抽象出图形，理解和掌握平行四边形边、角的性质，学生能很好的运用，只是在推理过程中不是很完美，在以后的数学中要根据不同的情况加强这方面的训练
第2课时　平行四边形的对角线的性质
1．掌握平行四边形对角线互相平分的性质；(重点)
2．利用平行四边形对角线的性质解决有关问题．(难点)
一、情境导入
如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，你能算出图中阴影部分的面积吗？
二、合作探究
探究点一：平行四边形的对角线的性质
【类型一】 利用平行四边形对角线的性质求线段长
　　　　　　　　　　　　　　　
已知： ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．
解析：平行四边形的周长为60cm，即相邻两边之和为30cm，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，而AO为共用，OB＝OD，所以由题可知AB比AD长5cm，进一步解答即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，∴AB－AD＝5cm，又∵ ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm，则AB＝CD＝cm，AD＝BC＝cm.
方法总结：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型二】 利用平行四边形对角线的性质证明线段或角相等
如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F，求证：OE＝OF.
解析：根据平行四边形的性质得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可得出结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO，在△DFO和△BEO中，∴△DFO≌△BEO(ASA)，∴OE＝OF.
方法总结：利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
【类型三】 判断直线的位置关系
如图平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
解析：根据平行四边形的对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，再证△BOE≌△DOF，从而得出BE＝DF，∠OEB＝∠OFD，∴BE∥DF.
解：BE＝DF，BE∥DF.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，在△OFD和△OEB中，∴△OFD≌△OEB，∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF，∴BE∥DF.
方法总结：在解决平行四边形的问题时，如果条件中有对角线时，可利用三角形全等解决．
探究点二：平行四边形的面积
在 ABCD中：
(1)如图①，O为对角线BD、AC的交点，求证：S△ABO＝S△CBO；
(2)如图②，设P为对角线BD上任一点(点P与点B、D不重合)，S△ABP与S△CBP仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
　　
解析：(1)根据平行四边形的对角线互相平分可得AO＝CO，再根据等底同高的三角形的面积相等解答；
(2)根据平行四边形的性质可得点A、C到BD的距离相等，再根据等底同高的三角形的面积相等解答．
(1)证明：在 ABCD中，AO＝CO，设点B到AC的距离为h，则S△ABO＝AO·h，S△CBO＝CO·h，∴S△ABO＝S△CBO；
(2)解：S△ABP＝S△CBP.在 ABCD中，点A、C到BD的距离相等，设为h，则S△ABP＝BP·h，S△CBP＝BP·h，∴S△ABP＝S△CBP.
方法总结：平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形．另外，等底等高的三角形的面积相等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
三、板书设计
1．平行四边形对角线互相平分
2．平行四边形的面积
通过分组讨论学习和学生自己动手操作和归纳，加强学生在教学过程中的实践活动，也使学生之间的合作意识更强，与同学交流学习心得的气氛更浓厚，从而加深了同学之间的友谊和师生之间的教学和谐，使得教学过程更加流畅，促进教学相长
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