湘教版八年级下册（新）第2章《2．2.2　平行四边形的判定》教学设计(2课时)

2．2.2　平行四边形的判定
第1课时　平行四边形的判定定理1、2
1．掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法；(重点)
2．掌握“对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定方法；(重点)
3．平行四边形判定定理的综合应用．(难点)
一、情境导入
我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就具有如下的一些性质：
1．两组对边分别平行且相等；
2．两组对角分别相等；
3．两条对角线互相平分．
那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法呢？
二、合作探究
探究点一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
已知，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
解析：首先根据条件证明△AFD≌△CEB， ( http: / / www.21cnjy.com )可得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，可证出AD∥CB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出结论．
解：四边形ABCD是平行四边形，证明：∵D ( http: / / www.21cnjy.com )F∥BE，∴∠AFD＝∠CEB，又∵AF＝CE、DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．
方法总结：此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出三角形全等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
探究点二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：四边形PONM是平行四边形．
解析：在Rt△MON中，由勾股定理建立方程，求出x的值，进而得出四边形PONM各边的长，然后再根据平行四边形的判定定理即可得证．
证明：Rt△MON中，由勾 ( http: / / www.21cnjy.com )股定理，得(x－5)2＋42＝(x－3)2，解得x＝8.∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.∴PM＝ON，OP＝MN.∴四边形PONM是平行四边形．
方法总结：要依据图形的特点及已知条件选择适当的方法来证明一个四边形是平行四边形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题
探究点三：平行四边形的判定定理与性质的综合应用
【类型一】 利用性质与判定证明
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接BF、DE，试判断四边形BFDE是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．
解析：(1)根据“AAS”可证出△AB ( http: / / www.21cnjy.com )E≌△CDF；(2)首先根据△ABE≌△CDF得出AE＝FC，BE＝DF，再利用已知得出△ADE≌△BCF，进而得出DE＝BF，即可得出四边形BFDE是平行四边形．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAC＝∠DCA.∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB＝∠DFC＝90°.在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(AAS)；
(2)解：四边形BFDE是平行四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形，理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴AE＝FC，BE＝DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB.∴∠DAC＝∠BCA.在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形．
方法总结：平行四边形对边相等，对角相等，对角 ( http: / / www.21cnjy.com )线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
【类型二】 利用性质与判定计算
如图，已知六边形ABCDEF的六个内角均为120°，且CD＝2cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF＝5cm.试求此六边形的周长．
解析：由∠A＝∠B＝∠C＝ ( http: / / www.21cnjy.com )∠D＝∠E＝∠F＝120°，联想到它们的邻补角(即外角)均为60°，如果能够组成三角形的话，则必为等边三角形．事实上，设BC、ED的延长线交于点N，则△DCN为等边三角形．由∠E＝120°，∠N＝60°，可知EF∥BN.同理可知ED∥AB，于是从平行四边形入手，找出解题思路．
解：延长ED、BC交于点 ( http: / / www.21cnjy.com )N，延长 EF、BA交于点M.∵∠EDC＝∠BCD＝120°，∴∠NDC＝∠NCD＝60°.∴∠N＝60°.同理，∠M＝60°.∴△DCN、△FMA均为等边三角形．∴∠E＋∠N＝180°.同理∠E＋∠M＝180°.∴EM∥BN，EN∥MB.∴四边形EMBN是平行四边形．∴BN＝EM，MB＝EN.∵CD＝2cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF＝5cm，∴CN＝DN＝2cm，AM＝FM＝5cm.∴BN＝EM＝8＋2＝10(cm)，MB＝EN＝8＋5＝13(cm)．∴EF＋FA＋AB＋BC＋CD＋DE＝EF＋FM＋AB＋BC＋DN＋DE＝EM＋AB＋BC＋EN＝10＋8＋8＋13＝39(cm)，∴此六边形的周长为39cm.
方法总结：解此题的关键是作辅助线，将“不规则”的六边形变成“规则”的平行四边形，从而利用平行四边形的知识来解决．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
三、板书设计
1．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
本节课，学行四边形的两种判定方法 ( http: / / www.21cnjy.com )，对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环
第2课时　平行四边形的判定定理3
1．掌握平行四边形的判定定理3；(重点)
2．综合运用平行四边形的性质与判定解决问题．(难点)
一、情境导入
我们已经学习了哪些平行四边形的判定方法？
平行四边形的对角线互相平分的逆命题是什么？是否是真命题．
是否存在其他的判定方法？
二、合作探究
探究点一：对角线互相平分的四边形是平行四边形
已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；
(2)此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，只需证OE＝OF就可以了．
证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D，在△AOC和△BOD中.∴△AOC≌△BOD(AAS)；
(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝D ( http: / / www.21cnjy.com )O.∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OF＝OD，OE＝OC，∴EO＝FO，又∵AO＝BO.∴四边形AFBE是平行四边形．
方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
探究点二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
解析：(1)可根据三角形的内角和为180°得出∠D的大小；(2)根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形证明即可．
(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°；
(2)证明：∵AB∥DC，∴∠2＝ ( http: / / www.21cnjy.com )∠CAB，∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，∴∠DCB＝∠DAB＝125°.又∵∠D＝∠B＝55°，∴四边形ABCD是平行四边形．
方法总结：根据已知条件判定角相等，从而判断四边形是平行四边形，是解题的常用思路．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
探究点三：平行四边形性质和判定的综合应用
如图，在 ABCD中，点E、F在AC上，且AE＝CF，点G、H分别在AB、CD上，且AG＝CH，AC与GH相交于点O.求证：
(1)EG∥FH；
(2)EF与GH互相平分．
解析：(1)欲证EG∥FH，需证∠OEG ( http: / / www.21cnjy.com )＝∠OFH.欲证∠OEG＝∠OFH，需证∠AEG＝∠CFH，故可先证△AGE≌△CFH；(2)要证EF与GH互相平分，只需证四边形GFHE是平行四边形即可由其性质得证．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形，∴AB∥CD，∴∠GAE＝∠HCF.又∵AE＝CF，AG＝CH，∴△AGE≌△CHF.∴∠AEG＝∠CFH.∴180°－∠AEG＝180°－∠CFH，即∠OEG＝∠OFH.∴EG∥FH；
(2)连接FG、EH.∵△AGE≌△CHF，∴EG＝FH.又∵EG∥FH，∴四边形GFHE是平行四边形．∴EF与GH互相平分．
方法总结：综合运用平行四边形的性质和判 ( http: / / www.21cnjy.com )定定理时，一般先判定一个四边形是平行四边形，然后再根据平行四边形的性质解决有关角相等或互补、线段的相等或倍分、两直线平行等问题．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
如图所示，AD、BC垂直且相交于点O，AB∥CD，BC＝8，AD＝6，求AB＋CD的长．
解析：过点C作CE∥AD交BA的延长线于E，根据平行四边形的知识把两条线段转化到一条线段上，然后通过勾股定理求解．
解：过点C作CE∥AD交BA的 ( http: / / www.21cnjy.com )延长线于点E，∵AB∥CD，AD∥CE，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE＝CD，CE＝AD＝6，由CE∥AD得∠BCE＝∠BOA＝90°，∴BE＝＝＝10.∵BE＝AB＋AE＝AB＋CD，∴AB＋CD＝10.
方法总结：求线段长度之和时，如果不能求 ( http: / / www.21cnjy.com )出各条线段的长度，一般通过作辅助线，将两条线段转化到同一条线段上，再放到一个直角三角形内，利用勾股定理求解．
三、板书设计
1．对角线互相平分的四边形是平行四边形
2．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
大部分学生都能根据已知条件判断平行四边形， ( http: / / www.21cnjy.com )但对于平行四边形的性质与判定在综合运用过程中所表现出来的灵活度还不够，特别是少数同学还不知从何处着手，在今后的教学中，应适时专项重点强化，使学生不断提高