北师版初中九下数学-第三章 圆 3.3垂径定理 课件(共34张PPT)

(共34张PPT)
第三章 圆 3.3
垂径定理
北师大版九年级下册数学课件
目录
目录
CONTENTS
CONTENTS
1-新知导入
2-探究新知
3-巩固练习
4-课堂小结
新知导入
第一部分
PART 01
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问题:你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
情境引入
·
O
A
B
D
P
C
问题：如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD⊥AB，垂足为 P.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧 为什么
线段: AP=BP
弧:
理由如下：
把圆沿着直径 CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，点 A 与点 B 重合，AP与 BP 重合， 和 , 与 重合．
垂径定理及其推论
·
O
A
B
D
C
P
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P. 求证：AP=BP， ，
证明：连接 OA、OB、CA、CB，则 OA=OB.
即 △AOB 是等腰三角形.
∵AB⊥CD，
∴AP=BP，
∠AOC=∠BOC.
从而 ∠AOD=∠BOD.
想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？
探究新知
第二部分
PART 02
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温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.
垂径定理
·
O
A
B
C
D
P
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
∵ CD 是直径，CD⊥AB，(条件)
∴ AP=BP，
(结论)
归纳总结
推导格式：
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
C
归纳总结
A
B
O
D
C
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦；
④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
思考探索
D
O
A
B
E
C
举例证明其中一种组合方法
已知:
求证：
① CD是直径
② CD⊥AB，垂足为E
③ AE=BE
证明猜想
④
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
·
O
A
B
C
D
E
解：（1）连接AO，BO，则 AO=BO.
又∵AE=BE，
∴∠AEO=∠BEO=90°.
∴ CD⊥AB.
证明举例
∴△AOE≌△BOE（SSS）
（2）由垂径定理可得
与 相等吗？ 与 相等吗？
为什么？
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？
如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
圆的两条直径是互相平分的.
归纳总结
特别说明：
垂径定理的本质是:
满足其中任两条，必定同时满足另三条
（1）一条直线过圆心
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分不是直径的弦
（4）这条直线平分不是直径的弦所
对的优弧
（5）这条直线平分不是直径的弦所
对的劣弧
例1 如图，OE⊥AB 于 E，若 ⊙O 的半径为 10 cm，
OE=6 cm，则 AB= cm.
·
O
A
B
E
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AB = 2AE = 16 cm.
16
∴
cm.
典例精析
垂径定理及其推论的计算
例2 如图，⊙O 的弦AB＝8 cm ，直径 CE⊥AB 于D，DC＝2 cm，求半径 OC 的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接 OA，∵ CE⊥AB于D，
∴
设 OC = x cm，则 OD= x-2，根据勾股定理，得
解得 x = 5.
即半径 OC 的长为 5 cm.
x2 = 42 + ( x - 2)2，
.
M
C
D
A
B
O
N
例3：已知：⊙O中弦 AB∥CD,
求证： ＝
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则
（垂直弦的直径平分弦所对的弧）
∴
巩固练习
第三部分
PART 03
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试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗
垂径定理的实际应用
A
B
O
C
D
解：如图，用 AB 表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为 O，半径为 R.
经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC 垂足为 D，与弧 AB 交于点C，则D 是 AB 的中点，C 是弧 AB 的中点，CD 就是拱高.
∴AB=37 m，CD=7.23 m.
∴ AD= AB=18.5 m，OD = OC-CD = R - 7.23 .
解得R ≈ 27.3（m）.
即主桥拱半径约为 27.3 m.
R2 = 18.52 + ( R - 7.23 )2
∵
例4 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧 CD，点 O 是弧 CD 的圆心)，其中 CD=600 m，E 为弧 CD 上的一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF=90 m.求这段弯路的半径.
解:连接 OC.
● O
C
D
E
F
┗
设这段弯路的半径为 R m,则 OF=(R-90)m.
根据勾股定理，得
解得 R = 545.
∴这段弯路的半径约为 545 m.
如图 a、b，一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.
C
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图 a
图 b
2 cm或12 cm
针对训练
在圆中有关弦长 a，半径 r， 弦心距 d（圆心到弦的距离），弓形高 h 的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
方法归纳
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
1. 已知 ⊙O 中，弦 AB = 8 cm，圆心到 AB 的距离为 3 cm，则此圆的半径为 cm.
5
2. ⊙O 的直径 AB = 20 cm， ∠BAC = 30°，则弦
AC = cm.
3. 如图，在⊙O中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC 于E，求证四边形 ADOE 是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形 ADOE 为矩形，
又∵AC=AB，
∴ AE=AD.
∴四边形 ADOE 为正方形.
4. 已知：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D 两点.你认为 AC 和 BD 有什么关系？为什么？
理由：过 O 作 OE⊥AB，垂足为 E，
则 AE＝BE，CE＝DE.
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD.
O
.
A
C
D
B
E
解：AC=BD
6.（分类讨论题）已知 ☉O 的半径为10 cm，弦MN∥EF,且 MN=12 cm，EF=16 cm，则弦 MN 和 EF 之间的距离为 .
14 cm或2 cm
5. 如图，在 △ABC 中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点 C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点 D，则 BD 的长为______．
7. 如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB = 6 m，弓形的高 EF = 2 m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧 AB 所在圆 O 的半径．
解：由题意得，AB= 6 m，OE⊥AB于F，
∴AF= AB= 3 m，
∵设 AB 所在圆 O 的半径为 r，且 EF= 2 m，
∴AO = r，OF = r - 2，
在 Rt△AOF 中，由勾股定理可知：AO 2 = AF 2 + OF 2，
即 r2 = 32 +（ r - 2 ）2 解得 r= m．
即AB所在圆O的半径为 m．
拓展提升：
如图，⊙O 的直径为10，弦 AB = 8 ,P 为 AB 上的一个动点，那么 OP 长的取值范围 .
3 cm≤OP≤5 cm
B
A
O
P
课堂小结
第四部分
PART 04
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垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分这条弦,
并且平分弦所对的弧.
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造 Rt△ 利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
圆心到弦的距离
第三章 圆 3.3
垂径定理
北师大版九年级下册数学课件