北师版数学初中九下 3.4.1圆周角和圆心角的关系 课件(共32张PPT)
文档属性
| 名称 | 北师版数学初中九下 3.4.1圆周角和圆心角的关系 课件(共32张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 18.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-27 10:52:38 | ||
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文档简介
(共32张PPT)
第三章 圆 3.4第1课时
圆周角和圆
心角的关系
北师大版九年级下册数学课件
目录
目录
CONTENTS
CONTENTS
1-新知导入
2-探究新知
3-巩固练习
4-课堂小结
新知导入
第一部分
PART 01
问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角.
顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角， 如∠BOC.
A
复习引入
C
A
E
D
B
在射门过程中，球员射中球门的难易与它所处的位置 B 对球门 AE 的张角（ ∠ABE ）有关.
问题2 图中的三个张角∠ABE、∠ADE 和∠ACE 的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？
顶点在☉O上，角的两边分别与 ☉O 相交.
点击视频
开始播放
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
圆周角的定义
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
判断：下列各图中的 ∠BAC 是否为圆周角,并简述理由.
（2）
（1）
（3）
（5）
（6）
顶点不在圆上
边 AC 没有和圆相交
√
√
√
（4）
顶点不在圆上
探究新知
第二部分
PART 02
测量：如图，连接 BO，CO，得圆心角∠BOC.测测看，∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系.
测量与猜测
猜测：圆周角的度数_______它所对弧上的圆心角度数的一半.
等于
圆周角定理及其推论
推导与验证
已知：在圆 O 中，弧 BC 所对的圆周角是∠BAC，圆心角是 ∠BOC.
求证：∠BAC= ∠BOC.
圆心 O 在∠BAC 的内部
圆心 O 在
∠BAC 的一边上
圆心 O 在
∠BAC 的外部
圆心 O 与圆周角的位置有以下三种情况：
圆心 O 在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC
∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
圆心 O 在∠BAC 的内部
O
A
C
D
O
A
B
D
O
A
B
D
O
C
A
D
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
圆心 O 在 ∠BAC 的外部
圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
圆周角定理及其推论
A1
A2
A3
推论 1：
同弧所对的圆周角相等.
要点归纳
1. 如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC = 35°.
(1) ∠BOC= °，理由
是 ;
(2) ∠BDC= °，理由是 .
70
35
同弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半
练一练
(1) 完成下列填空：
∠1= .
∠2= .
∠3= .
∠5= .
2. 如图，点 A、B、C、D 在同一个圆上，AC、BD为四边形 ABCD 的对角线.
∠4
∠8
∠6
∠7
A
B
C
D
O
1
(
(
(
(
(
(
(
(
2
3
4
5
6
7
8
2. 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.
推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等.
（2）若 ，则∠1与∠2是否相等，为什么？
巩固练习
第三部分
PART 03
例1 如图，OA、OB、OC 都是 ⊙O 的半径，∠AOB=50°， ∠BOC=70°.求∠ACB 和 ∠BAC 度数.
B
C
O
.
70°
A
∴∠ACB= ∠AOB=25°.
同理∠BAC= ∠BOC=35°.
典例精析
解：∵圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB
所对的弧为 ,
例2 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C、D、E 是 ⊙O 上的点，则 ∠1+∠2 等于（ ）
A．90° B．45°
C．180° D．60°
A
例3 如图，⊙O 中，弦 AB 与 CD 交于点 M，∠A = 45°，∠AMD =75°，则 ∠B 的度数是（ ）
A．15° B．25°
C．30° D．75°
C
例4 如图，点 A、B、C 是圆 O 上的三点，且四边形 ABCO 是平行四边形，OF⊥OC 交圆 O 于点 F，则 ∠BAF 等于（ ）
A．12.5° B．15°
C．20° D．22.5°
解析：连接 OB，
∵四边形ABCO 是平行四边形，
∴OC=AB，又 OA=OB=OC，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB 为等边三角形，
∵OF⊥OC，OC∥AB，
∴OF⊥AB，
∴∠BOF=∠AOF=30°，
由圆周角定理得 ∠BAF= ∠BOF=15°，
故选：B．
1. 判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）
（3）同弦所对的圆周角相等 （ ）
√
×
×
2. 已知 △ABC 的三个顶点在 ⊙O 上,∠BAC=50°,
∠ABC=47°， 则 ∠AOB= ．
B
A
C
O
166°
4.如图，△ABC 的顶点 A、B、C
都在 ⊙O 上，∠C＝30°，AB＝2，
则 ⊙O 的半径是 .
3.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角
∠ADB= .
D
A
O
C
B
50°
C
A
B
O
解：连接 OA、OB
∵∠C=30° ，∴∠AOB=60°
又∵OA=OB ，∴△AOB 是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为 2.
2
5. 船在航行过程中，船长通过测定角度数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B 表示灯塔，暗礁分布在经过 A、B 两点的一个圆形区域内，优弧 AB 上任一点 C 都是有触礁危险的临界点，∠ACB 就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α 与“危险角”有怎样的大小关系？
解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O 外） ，与两个灯塔的夹角 ∠α 小于“危险角”.
课堂小结
第四部分
PART 04
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理的推论1
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
同弧或等弧所对的圆周角相等.
1.顶点在圆上；2.两边都与圆相交的角.
第三章 圆 3.4第1课时
圆周角和圆
心角的关系
北师大版九年级下册数学课件
第三章 圆 3.4第1课时
圆周角和圆
心角的关系
北师大版九年级下册数学课件
目录
目录
CONTENTS
CONTENTS
1-新知导入
2-探究新知
3-巩固练习
4-课堂小结
新知导入
第一部分
PART 01
问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角.
顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角， 如∠BOC.
A
复习引入
C
A
E
D
B
在射门过程中，球员射中球门的难易与它所处的位置 B 对球门 AE 的张角（ ∠ABE ）有关.
问题2 图中的三个张角∠ABE、∠ADE 和∠ACE 的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？
顶点在☉O上，角的两边分别与 ☉O 相交.
点击视频
开始播放
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
圆周角的定义
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
判断：下列各图中的 ∠BAC 是否为圆周角,并简述理由.
（2）
（1）
（3）
（5）
（6）
顶点不在圆上
边 AC 没有和圆相交
√
√
√
（4）
顶点不在圆上
探究新知
第二部分
PART 02
测量：如图，连接 BO，CO，得圆心角∠BOC.测测看，∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系.
测量与猜测
猜测：圆周角的度数_______它所对弧上的圆心角度数的一半.
等于
圆周角定理及其推论
推导与验证
已知：在圆 O 中，弧 BC 所对的圆周角是∠BAC，圆心角是 ∠BOC.
求证：∠BAC= ∠BOC.
圆心 O 在∠BAC 的内部
圆心 O 在
∠BAC 的一边上
圆心 O 在
∠BAC 的外部
圆心 O 与圆周角的位置有以下三种情况：
圆心 O 在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC
∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
圆心 O 在∠BAC 的内部
O
A
C
D
O
A
B
D
O
A
B
D
O
C
A
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O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
圆心 O 在 ∠BAC 的外部
圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
圆周角定理及其推论
A1
A2
A3
推论 1：
同弧所对的圆周角相等.
要点归纳
1. 如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC = 35°.
(1) ∠BOC= °，理由
是 ;
(2) ∠BDC= °，理由是 .
70
35
同弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半
练一练
(1) 完成下列填空：
∠1= .
∠2= .
∠3= .
∠5= .
2. 如图，点 A、B、C、D 在同一个圆上，AC、BD为四边形 ABCD 的对角线.
∠4
∠8
∠6
∠7
A
B
C
D
O
1
(
(
(
(
(
(
(
(
2
3
4
5
6
7
8
2. 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.
推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等.
（2）若 ，则∠1与∠2是否相等，为什么？
巩固练习
第三部分
PART 03
例1 如图，OA、OB、OC 都是 ⊙O 的半径，∠AOB=50°， ∠BOC=70°.求∠ACB 和 ∠BAC 度数.
B
C
O
.
70°
A
∴∠ACB= ∠AOB=25°.
同理∠BAC= ∠BOC=35°.
典例精析
解：∵圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB
所对的弧为 ,
例2 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C、D、E 是 ⊙O 上的点，则 ∠1+∠2 等于（ ）
A．90° B．45°
C．180° D．60°
A
例3 如图，⊙O 中，弦 AB 与 CD 交于点 M，∠A = 45°，∠AMD =75°，则 ∠B 的度数是（ ）
A．15° B．25°
C．30° D．75°
C
例4 如图，点 A、B、C 是圆 O 上的三点，且四边形 ABCO 是平行四边形，OF⊥OC 交圆 O 于点 F，则 ∠BAF 等于（ ）
A．12.5° B．15°
C．20° D．22.5°
解析：连接 OB，
∵四边形ABCO 是平行四边形，
∴OC=AB，又 OA=OB=OC，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB 为等边三角形，
∵OF⊥OC，OC∥AB，
∴OF⊥AB，
∴∠BOF=∠AOF=30°，
由圆周角定理得 ∠BAF= ∠BOF=15°，
故选：B．
1. 判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）
（3）同弦所对的圆周角相等 （ ）
√
×
×
2. 已知 △ABC 的三个顶点在 ⊙O 上,∠BAC=50°,
∠ABC=47°， 则 ∠AOB= ．
B
A
C
O
166°
4.如图，△ABC 的顶点 A、B、C
都在 ⊙O 上，∠C＝30°，AB＝2，
则 ⊙O 的半径是 .
3.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角
∠ADB= .
D
A
O
C
B
50°
C
A
B
O
解：连接 OA、OB
∵∠C=30° ，∴∠AOB=60°
又∵OA=OB ，∴△AOB 是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为 2.
2
5. 船在航行过程中，船长通过测定角度数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B 表示灯塔，暗礁分布在经过 A、B 两点的一个圆形区域内，优弧 AB 上任一点 C 都是有触礁危险的临界点，∠ACB 就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α 与“危险角”有怎样的大小关系？
解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O 外） ，与两个灯塔的夹角 ∠α 小于“危险角”.
课堂小结
第四部分
PART 04
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理的推论1
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
同弧或等弧所对的圆周角相等.
1.顶点在圆上；2.两边都与圆相交的角.
第三章 圆 3.4第1课时
圆周角和圆
心角的关系
北师大版九年级下册数学课件