北师版数学初中九下 3.6.2切线的判定及三角形的内切圆 课件(共36张PPT)

(共36张PPT)
第三章 圆 3.6第2课时
切线的判定及三
角形的内切圆
北师大版九年级下册数学课件
目录
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CONTENTS
CONTENTS
1-新知导入
2-探究新知
3-巩固练习
4-课堂小结
新知导入
第一部分
PART 01
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砂轮上打磨工件时飞出的火星
下图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？如何判断一条直线是否为切线呢？
情境引入
问题1 如图，OA 是 ⊙O 的半径， 经过 OA 的外端点 A， 作一条直线 l⊥OA，圆心 O 到直线 l 的距离是多少？ 直线 l 和 ⊙O 有怎样的位置关系？
合作探究
l
l
圆的切线的判定
圆心 O 到直线 l 的
距离等于半径 OA.
由圆的切线定义可知直线 l 与圆O 相切.
l
l
探究新知
第二部分
PART 02
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过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
OA 为 ⊙O 的半径
BC ⊥ OA 于 A
BC 为 ⊙O 的切线
A
B
C
切线的判定定理
应用格式
O
要点归纳
在此定理中，“经过半径的外端点”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
(1) 不是，因为没有垂直.
(2)，(3) 不是，因为没有经过半径的外端点 A.
判一判
注意
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1. 定义法：直线和圆只有一个公共点时，
我们说这条直线是圆的切线;
2. 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即 d = r )时，直线与圆相切；
3. 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
要点归纳
O
O
用三角尺过圆上一点画圆的切线.
做一做
(2) 过点 P 沿着三角尺的另一条直角边画直线 l，则 l 就是所要画的切线.如图所示.
如下图所示，已知 ⊙O 上一点 P，过点 P 画 ⊙O 的切线．
画法：(1) 连接 OP，将三角尺的直角顶点放在点 P 处，并使一直角边与半径 OP 重合；
为什么画出来的直线l 是 ⊙O 的切线呢？
例1 已知：直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
O
B
A
C
证明：连接 OC.
∵ OA＝OB，CA＝CB，
∴ OC 是等腰 △OAB 底边 AB 上的中线.　
∴ AB⊥OC.
∵ OC 是 ⊙O 的半径，
∴ AB 是 ⊙O 的切线.
典例精析
例2 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是 BC 的中点，⊙O 与 AB 相切于 E.求证：AC 是⊙O 的切线．
B
O
C
E
A
分析：根据切线的判定定理，要证明 AC 是 ⊙O 的切线，只要证明由点 O 向 AC 所作的垂线段 OF 是⊙O 的半径就可以了，而 OE 是 ⊙O 的半径，因此只需要证明 OF=OE.
F
证明：连接 OE ，OA， 过 O 作 OF ⊥AC.
∵⊙O 与 AB 相切于 E ， ∴OE ⊥ AB.
又∵在 △ABC 中，AB ＝AC ，
O 是 BC 的中点．
∴AO 平分∠BAC，
F
B
O
C
E
A
∴OE ＝OF.
∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC.
∴AC 是 ⊙O 的切线．
又∵OE ⊥AB ，OF⊥AC.
例1
例2
(1) 已明确直线和圆有公共点，连结圆心和公共点，即半径，再证直线与半径垂直.简记“有交点，连半径,证垂直”；
(2) 不明确直线和圆有公共点，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径.简记“无交点，作垂直，证半径”.
方法归纳
证切线时辅助线的添加方法
例3 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？
已知：△ABC.
求作：和 △ABC 的各边都相切的圆 O.
分析：如果圆 O 与 △ABC 的三条边都相切，那么圆心 O 到三条边的距离都等于______，从而这些距离相等.
半径
到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心 O 是∠A 的__________与∠B 的___________的___点.
平分线
平分线
交
三角形的内切圆及内心
作法：
1. 作 ∠B 和∠C 的平分线 BM 和 CN，交点为O.
2. 过点 O 作 OD⊥BC.垂足为 D.
3. 以 O 为圆心，OD 为半径作圆 O.
☉O 就是所求的圆.
M
N
D
O
观察与思考
与 △ABC 的三条边都相切的圆有几个？
因为 ∠B 和∠C 的平分线的交点只有一个,并且交点 O 到 △ABC 三边的距离相等且唯一，所以与 △ABC三边都相切的圆有且只有一个.
D
1. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
B
2. 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
4. 三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.
┐
A
C
O
┐
┐
D
E
F
3. 三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
⊙O 是 △ABC 的内切圆，点 O 是 △ABC 的内心.
概念学习
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边中垂线的交点
1. OA = OB = OC
2. 外心不一定在三角形的内部．
三角形三条角平分线的交点
1. 到三边的距离相等；
2. OA、OB、OC 分别
平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
3. 内心在三角形内部．
A
B
O
A
B
C
O
填一填
C
例4 △ABC 中，⊙O 是 △ABC 的内切圆，∠A=70°，
求 ∠BOC 的度数.
A
B
C
O
解：∵∠A = 70°
∴∠ABC +∠ACB =180° -∠A=110°
∵⊙O 是 △ABC 的内切圆
∴BO，CO 分别是 ∠ABC 和 ∠ACB 的平分线
即∠OBC= ∠ABC ，∠OCB= ∠ACB
典例精析
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)
=180°- (∠ABC +∠ACB)
=180°- ×110°
= 125°.
A
B
C
O
（ √ ）
1. 判断下列命题是否正确.
(1) 经过半径外端的直线是圆的切线.
(2) 垂直于半径的直线是圆的切线.
(3) 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线
是圆的切线.
(5) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
(6) 三角形的内心是三角形三个角平分线的交点.
(7) 三角形的内心到三角形各边的距离相等.
(8) 三角形的内心一定在三角形的内部.
（×）
（×）
（√ ）
（√ ）
（ √ ）
（ √ ）
2. 如图，⊙O 内切于△ABC，切点 D、E、F 分别在BC、AB、AC 上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接 OE，OF，DE，DF，那么∠EDF 等于(　　)
A．40° B．55°
C．65° D．70°
解析：∵∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠A＝70°.
∵D、E、F 为⊙O 的切点，
∴∠OEA＝∠OFA＝90°.
∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA
－∠OFA
＝110°.
∴∠EDF＝ ∠EOF＝55°.
B
·
B
D
E
F
O
C
A
3. 如图，△ABC 的内切圆的半径为 r，△ABC 的周长为
l，求 △ABC 的面积 S.
解：设 △ABC 的内切圆与三边相切于 D、E、F，
连接 OA、OB、OC、OD、OE、OF，
则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC
＝ AB·OD ＋ BC·OE ＋ AC·OF
＝ l·r
巩固练习
第三部分
PART 03
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设 △ABC 的三边为 a、b、c，面积为 S，
则 △ABC 的内切圆的半径 r ＝ ；
当 △ABC 为直角三角形，a、b 为直角边时，
r = .
2s
a＋b＋c
ab
a＋b＋c
知识拓展
证明：连接 OP.
∵AB=AC，∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB.
∴∠OPB=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP. ∴PE 为 ⊙O 的切线.
4. 如图，△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的 ⊙O 交边 BC 于 P，PE⊥AC 于E.
求证:PE 是 ⊙O 的切线.
O
A
B
C
E
P
5. 如图，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，以 O
为圆心，OA 长为半径的 ⊙O 与 BC 相切于点 M. 求证：
CD 与 ⊙O 相切．
证明：连接 OM，过点 O 作
ON⊥CD 于点 N，
∵⊙O 与 BC 相切于点 M，
∴OM⊥BC.
又∵ON⊥CD，O 为正方形 ABCD
对角线 AC 上一点，
∴OM＝ON ∴CD 与 ⊙O 相切．
M
N
6. 已知：△ABC 内接于 ☉O，过点 A 作直线 EF.
(1) 如图 1，AB 为直径，要使 EF 为 ☉O 的切线，还需
添加的条件是（只需写出两种情况）：
① _________ ；② _____________ .
(2) 如图 2，AB 是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：
EF 是 ☉O 的切线.
BA⊥EF
∠CAE=∠B
A
F
E
O
A
F
E
O
B
C
B
C
图1
图2
证明：连接 AO 并延长交 ☉O 于 D，连接 CD，则 AD 为 ☉O 的直径.
∴ ∠D+∠DAC=90 °.
∵ ∠D 与∠B 同对 ，
∴ ∠D=∠B.
又∵ ∠CAE=∠B,
∴ ∠D= ∠CAE.
∴ ∠DAC+∠EAC=90°.
∴EF 是 ☉O 的切线.
A
F
E
O
B
C
图2
D
7. 如图，已知 E 是 △ABC 的内心，∠A 的平分线交 BC 于点 F，且与 △ABC 的外接圆相交于点 D.
(1) 证明：∵E 是 △ABC 的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.
又∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CBD.
∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.
即∠DBE＝∠DEB，
故 BD＝ED.
(1) 求证：BD＝ED；
(2) 若 AD＝8 cm，DF∶FA＝1∶3.求 DE 的长．
(2)解：∵AD＝8 cm，DF∶FA＝1∶3，
∴DF＝ AD＝ ×8＝ 2 ( cm )．
∵∠CBD＝∠BAD，∠D＝∠D，∴△BDF∽△ADB，∴ ，
∴BD2＝AD·DF＝8×2＝16，
∴BD＝4 cm，
又∵BD＝DE，
∴DE＝4 cm.
课堂小结
第四部分
PART 04
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切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d = r，则相切
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
三角形内切圆
有关概念
内心概念及性质
第三章 圆 3.6第2课时
切线的判定及三
角形的内切圆
北师大版九年级下册数学课件