北师版数学九下 1.3 三角函数的计算 课件(共34张PPT)
文档属性
| 名称 | 北师版数学九下 1.3 三角函数的计算 课件(共34张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-27 11:25:45 | ||
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文档简介
(共34张PPT)
第一章 直角三角形的边角关系 1.3
三角函数
的计算
北师大版九年级下册数学课件
目录
目录
CONTENTS
CONTENTS
1-新知导入
2-探究新知
3-巩固练习
4-课堂小结
新知导入
第一部分
PART 01
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回顾与思考
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角α 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α
三角
函数
问题: 如图，当登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时，它走过了 200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为 ∠α = 16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？（结果精确到 0.01 m ）
问题: 如图，当登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时，它走过了 200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？（结果精确到 0.01 m）
在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，
BC = ABsin∠α = 200sin16°
你知道 sin16° 是多少吗？
1. 求 sin18°．
第一步：按计算器 键，
sin
第二步：输入角度值 18 ，
屏幕显示结果 sin18°= 0.309 016 994
（也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）.
用计算器求三角函数值
2. 求 cos72°．
第一步：按计算器 键，
cos
第二步：输入角度值 72，
屏幕显示结果 cos72° = 0.309 016 994.
第一步：按计算器 键，
tan
3. 求 tan30°36'.
第二步：输入角度值 30 ，按 键，输入 36 ，按
°＇ ″
最后按等号，屏幕显示答案：0.591 398 351；
第一步：按计算器 键，
tan
第二步：输入角度值 30.6 （因为 30°36' ＝ 30.6°）
屏幕显示答案：0.591 398 351.
第一种方法：
第二种方法：
°＇ ″
键，
探究新知
第二部分
PART 02
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例1：用计算器求下列各式的值(精确到 0.0001 )：
(1) sin47°； (2) sin12°30′；
(3) cos25°18′； (4) sin18°＋cos55°－tan59°.
解：根据题意用计算器求出：
(1) sin47° ≈ 0.7314；
(2) sin12°30′ ≈ 0.2164；
(3) cos25°18′ ≈ 0.9041；
(4) sin18°＋cos55°－tan59°≈ －0.7817.
典例精析
问题: 如图，当登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B时，它走过了 200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α = 16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？（结果精确到 0.01m）
在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，
BC = ABsin∠α = 200sin16°
你知道 sin16°是多少吗？
BC = 200sin16°≈55.12（米）
问题: 在本节一开始的问题中，当缆车继续由点 B到达点 D 时，它又走过了 200 m，缆车由点 B 到点D 的行驶路线与水平面的夹角为∠β = 42°，由此你还能计算吗
在 Rt△BDE 中，∠BED = 90°，
DE = BDsin∠β = 200sin42°
DE≈133.82（米）
E
为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在 10 m 高的天桥两端修建了 40 m 长的斜道（如图）.这条斜道的倾斜角是多少？
在 Rt△ABC 中，sin∠A = .
那么 ∠A 是多少度呢？
利用计算器由三角函数值求角度
已知 sinA = 0.501 8，用计算器求锐角 A 可以按照下面方法操作：
还可以利用 键，进一步得到
∠A＝ 30°7'8.97 ".
第一步：按计算器 键，
sin
第二步：然后输入函数值 0. 501 8 .
屏幕显示答案： 30.119 158 67°.
°＇″
操作演示
SHIFT
例2：已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B 的度数(结果精确到 0.1°)：
(1) sinA＝0.7，sinB ＝ 0.01；(2) cosA＝0.15，cosB ＝0.8；(3) tanA＝2.4，tanB ＝ 0.5.
解：(1) 由 sinA＝0.7，得 ∠A ≈ 44.4°；由 sinB ＝ 0.01，得 ∠B ≈ 0.6°；
(2) 由 cosA ＝ 0.15，得 ∠A ≈ 81.4°；由 cosB ＝ 0.8，得∠B ≈ 36.9°；
(3) 由 tanA＝2.4，得 ∠A ≈ 67.4°；由 tanB ＝ 0.5，得∠B ≈ 26.6°.
cos55°=
cos70°=
cos74°28 '=
sin20°=
sin35°=
sin15°32 ' =
0.3420
0.3420
0.5736
0.5736
0.2678
0.2678
角度增大
正弦值增大
余弦值减小
拓广探索
比一比，你能得出什么结论？
tan3°8 ' =
tan80°25'43″=
5.930
0.0547
正切值增大
角度增大
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
归纳总结
例3：如图，从 A 地到 B 地的公路需经过 C 地，图中AC＝10 千米，∠CAB ＝ 25°，∠CBA ＝ 45°.因城市规划的需要，将在 A、B 两地之间修建一条笔直的公路．
(1) 求改直后的公路 AB 的长；
(2) 问公路改直后该段路程比
原来缩短了多少千米(精确到 0.1 )
利用三角函数解决实际问题
(1) 求改直后的公路 AB 的长；
解：(1) 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，
∵AC＝10 千米，∠CAB＝25°，
∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10 ≈ 0.42×10 ＝ 4.2(千米)，
AD ＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10 ＝ 9.1(千米)．
∵∠CBA＝45°，∴BD ＝ CD ＝ 4.2 (千米)，
∴ AB ＝AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3 (千米)．
所以，改直后的公路 AB 的长约为 13.3 千米；
(2) 问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到 0.1 )
(2)∵AC＝10 千米，
∴AC＋BC－AB＝10＋5.9－13.3＝2.6(千米)．
所以，公路改直后该段路程比原来缩短了约 2.6 千米．
【方法总结】解决问题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长．
例4：如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度 DE，DE 所在直线与水平线 AN 垂直．他们在 A 处测得塔尖 D 的仰角为 45°，再沿着射线 AN 方向前进 50 米到达 B处，此时测得塔尖 D 的仰角 ∠DBN＝61.4°，小山坡坡顶E的仰角 ∠EBN＝25.6°. 现在请你帮助课外活动小组算一算塔高 DE 大约高度(结果精确到个位).
∵ tan25.6°＝ ≈0.5，
解：延长 DE 交 AB 延长线于点 F，则∠DFA＝90°.
∵∠A＝45°，
设 EF＝x，
∴ BF＝2x，则 DF＝AF＝50＋2x，
故 tan61.4°＝ ＝1.8，
解得 x≈31.
故 DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．
所以，塔高 DE 大约是 81 米．
∴AF＝DF.
解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
方法总结
巩固练习
第三部分
PART 03
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1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：
(1) sinA=0.627 5，sinB＝0.6175；
(2) cosA＝0.625 2，cosB＝0.165 9；
(3) tanA＝4.842 8，tanB＝0.881 6.
∠B ≈ 38°8′2″
∠A ≈ 38°51′57″
∠A ≈ 51°18′11″
∠B ≈ 80°27′2″
∠A ≈ 78°19′58″
∠B ≈ 41°23′58″
2. 已知：sin232°+cos2α = 1，则锐角 α 等于（ ）
A．32° B．58°
C．68° D．以上结论都不对
A
3. 用计算器验证，下列等式中正确的是（ ）
A．sin18°24′ + sin35°26′ = sin45°
B．sin65°54′ - sin35°54′ = sin30°
C．2sin15°30′ = sin31°
D．sin72°18′ - sin12°18′ = sin47°42′
D
4. 下列各式中一定成立的是（ ）
A. tan75° ＞ tan48° ＞ tan15°
B. tan75° ＜ tan48° ＜ tan15°
C. cos75° ＞ cos48° ＞ cos15°
D. sin75° ＜ sin48° ＜ sin15°
A
5. sin70°，cos70°，tan70° 的大小关系是 ( )
A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70°
C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°
解析：根据锐角三角函数的概念，知 sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又 cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴ sin70°＞sin20°＝cos70°.故选 D.
【方法总结】
当角度在 0° < ∠A < 90° 间变化时，
0 < sinA < 1，1 > cosA > 0.
当角度在 45° ＜ ∠A ＜ 90° 间变化时，tanA ＞1.
D
6. 如图所示，电视塔高 AB 为 610 米，远处有一栋大楼，某人在楼底 C 处测得塔顶 B 的仰角为45°，在楼顶 D 处测得塔顶 B 的仰角为39°.
(1)求大楼与电视塔之间的距离 AC；
(2)求大楼的高度 CD (精确到 1 米)．
(2) DE＝AC＝610，在 Rt△BDE 中，tan∠BDE＝ ，
∴BE＝DE·tan39°.
∴CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°
≈116 (米)．
答：大楼的高度 CD 约为 116 米．
解析 (1) 利用 △ABC 是等腰直角三角形易得 AC 的长；
(2) 在 Rt△BDE 中，运用直角三角形的边角关系
即可求出 BE 的长，用 AB 的长减去 BE 的长度即可．
解： (1) 由题意得 ∠ACB ＝ 45°，∠A ＝ 90°，
∴ △ABC 是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝ 610 (米)．
∵CD ＝ AE，
课堂小结
第四部分
PART 04
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三角函数的计算
用计算器求锐角的三角函数值或角的度数
不同的计算器操作步骤可能有所不同
利用计算器探索锐角三角函数的新知
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.
第一章 直角三角形的边角关系 1.3
三角函数
的计算
北师大版九年级下册数学课件
第一章 直角三角形的边角关系 1.3
三角函数
的计算
北师大版九年级下册数学课件
目录
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CONTENTS
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1-新知导入
2-探究新知
3-巩固练习
4-课堂小结
新知导入
第一部分
PART 01
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回顾与思考
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角α 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α
三角
函数
问题: 如图，当登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时，它走过了 200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为 ∠α = 16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？（结果精确到 0.01 m ）
问题: 如图，当登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时，它走过了 200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？（结果精确到 0.01 m）
在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，
BC = ABsin∠α = 200sin16°
你知道 sin16° 是多少吗？
1. 求 sin18°．
第一步：按计算器 键，
sin
第二步：输入角度值 18 ，
屏幕显示结果 sin18°= 0.309 016 994
（也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）.
用计算器求三角函数值
2. 求 cos72°．
第一步：按计算器 键，
cos
第二步：输入角度值 72，
屏幕显示结果 cos72° = 0.309 016 994.
第一步：按计算器 键，
tan
3. 求 tan30°36'.
第二步：输入角度值 30 ，按 键，输入 36 ，按
°＇ ″
最后按等号，屏幕显示答案：0.591 398 351；
第一步：按计算器 键，
tan
第二步：输入角度值 30.6 （因为 30°36' ＝ 30.6°）
屏幕显示答案：0.591 398 351.
第一种方法：
第二种方法：
°＇ ″
键，
探究新知
第二部分
PART 02
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例1：用计算器求下列各式的值(精确到 0.0001 )：
(1) sin47°； (2) sin12°30′；
(3) cos25°18′； (4) sin18°＋cos55°－tan59°.
解：根据题意用计算器求出：
(1) sin47° ≈ 0.7314；
(2) sin12°30′ ≈ 0.2164；
(3) cos25°18′ ≈ 0.9041；
(4) sin18°＋cos55°－tan59°≈ －0.7817.
典例精析
问题: 如图，当登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B时，它走过了 200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α = 16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？（结果精确到 0.01m）
在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，
BC = ABsin∠α = 200sin16°
你知道 sin16°是多少吗？
BC = 200sin16°≈55.12（米）
问题: 在本节一开始的问题中，当缆车继续由点 B到达点 D 时，它又走过了 200 m，缆车由点 B 到点D 的行驶路线与水平面的夹角为∠β = 42°，由此你还能计算吗
在 Rt△BDE 中，∠BED = 90°，
DE = BDsin∠β = 200sin42°
DE≈133.82（米）
E
为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在 10 m 高的天桥两端修建了 40 m 长的斜道（如图）.这条斜道的倾斜角是多少？
在 Rt△ABC 中，sin∠A = .
那么 ∠A 是多少度呢？
利用计算器由三角函数值求角度
已知 sinA = 0.501 8，用计算器求锐角 A 可以按照下面方法操作：
还可以利用 键，进一步得到
∠A＝ 30°7'8.97 ".
第一步：按计算器 键，
sin
第二步：然后输入函数值 0. 501 8 .
屏幕显示答案： 30.119 158 67°.
°＇″
操作演示
SHIFT
例2：已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B 的度数(结果精确到 0.1°)：
(1) sinA＝0.7，sinB ＝ 0.01；(2) cosA＝0.15，cosB ＝0.8；(3) tanA＝2.4，tanB ＝ 0.5.
解：(1) 由 sinA＝0.7，得 ∠A ≈ 44.4°；由 sinB ＝ 0.01，得 ∠B ≈ 0.6°；
(2) 由 cosA ＝ 0.15，得 ∠A ≈ 81.4°；由 cosB ＝ 0.8，得∠B ≈ 36.9°；
(3) 由 tanA＝2.4，得 ∠A ≈ 67.4°；由 tanB ＝ 0.5，得∠B ≈ 26.6°.
cos55°=
cos70°=
cos74°28 '=
sin20°=
sin35°=
sin15°32 ' =
0.3420
0.3420
0.5736
0.5736
0.2678
0.2678
角度增大
正弦值增大
余弦值减小
拓广探索
比一比，你能得出什么结论？
tan3°8 ' =
tan80°25'43″=
5.930
0.0547
正切值增大
角度增大
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
归纳总结
例3：如图，从 A 地到 B 地的公路需经过 C 地，图中AC＝10 千米，∠CAB ＝ 25°，∠CBA ＝ 45°.因城市规划的需要，将在 A、B 两地之间修建一条笔直的公路．
(1) 求改直后的公路 AB 的长；
(2) 问公路改直后该段路程比
原来缩短了多少千米(精确到 0.1 )
利用三角函数解决实际问题
(1) 求改直后的公路 AB 的长；
解：(1) 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，
∵AC＝10 千米，∠CAB＝25°，
∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10 ≈ 0.42×10 ＝ 4.2(千米)，
AD ＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10 ＝ 9.1(千米)．
∵∠CBA＝45°，∴BD ＝ CD ＝ 4.2 (千米)，
∴ AB ＝AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3 (千米)．
所以，改直后的公路 AB 的长约为 13.3 千米；
(2) 问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到 0.1 )
(2)∵AC＝10 千米，
∴AC＋BC－AB＝10＋5.9－13.3＝2.6(千米)．
所以，公路改直后该段路程比原来缩短了约 2.6 千米．
【方法总结】解决问题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长．
例4：如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度 DE，DE 所在直线与水平线 AN 垂直．他们在 A 处测得塔尖 D 的仰角为 45°，再沿着射线 AN 方向前进 50 米到达 B处，此时测得塔尖 D 的仰角 ∠DBN＝61.4°，小山坡坡顶E的仰角 ∠EBN＝25.6°. 现在请你帮助课外活动小组算一算塔高 DE 大约高度(结果精确到个位).
∵ tan25.6°＝ ≈0.5，
解：延长 DE 交 AB 延长线于点 F，则∠DFA＝90°.
∵∠A＝45°，
设 EF＝x，
∴ BF＝2x，则 DF＝AF＝50＋2x，
故 tan61.4°＝ ＝1.8，
解得 x≈31.
故 DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．
所以，塔高 DE 大约是 81 米．
∴AF＝DF.
解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
方法总结
巩固练习
第三部分
PART 03
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1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：
(1) sinA=0.627 5，sinB＝0.6175；
(2) cosA＝0.625 2，cosB＝0.165 9；
(3) tanA＝4.842 8，tanB＝0.881 6.
∠B ≈ 38°8′2″
∠A ≈ 38°51′57″
∠A ≈ 51°18′11″
∠B ≈ 80°27′2″
∠A ≈ 78°19′58″
∠B ≈ 41°23′58″
2. 已知：sin232°+cos2α = 1，则锐角 α 等于（ ）
A．32° B．58°
C．68° D．以上结论都不对
A
3. 用计算器验证，下列等式中正确的是（ ）
A．sin18°24′ + sin35°26′ = sin45°
B．sin65°54′ - sin35°54′ = sin30°
C．2sin15°30′ = sin31°
D．sin72°18′ - sin12°18′ = sin47°42′
D
4. 下列各式中一定成立的是（ ）
A. tan75° ＞ tan48° ＞ tan15°
B. tan75° ＜ tan48° ＜ tan15°
C. cos75° ＞ cos48° ＞ cos15°
D. sin75° ＜ sin48° ＜ sin15°
A
5. sin70°，cos70°，tan70° 的大小关系是 ( )
A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70°
C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°
解析：根据锐角三角函数的概念，知 sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又 cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴ sin70°＞sin20°＝cos70°.故选 D.
【方法总结】
当角度在 0° < ∠A < 90° 间变化时，
0 < sinA < 1，1 > cosA > 0.
当角度在 45° ＜ ∠A ＜ 90° 间变化时，tanA ＞1.
D
6. 如图所示，电视塔高 AB 为 610 米，远处有一栋大楼，某人在楼底 C 处测得塔顶 B 的仰角为45°，在楼顶 D 处测得塔顶 B 的仰角为39°.
(1)求大楼与电视塔之间的距离 AC；
(2)求大楼的高度 CD (精确到 1 米)．
(2) DE＝AC＝610，在 Rt△BDE 中，tan∠BDE＝ ，
∴BE＝DE·tan39°.
∴CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°
≈116 (米)．
答：大楼的高度 CD 约为 116 米．
解析 (1) 利用 △ABC 是等腰直角三角形易得 AC 的长；
(2) 在 Rt△BDE 中，运用直角三角形的边角关系
即可求出 BE 的长，用 AB 的长减去 BE 的长度即可．
解： (1) 由题意得 ∠ACB ＝ 45°，∠A ＝ 90°，
∴ △ABC 是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝ 610 (米)．
∵CD ＝ AE，
课堂小结
第四部分
PART 04
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三角函数的计算
用计算器求锐角的三角函数值或角的度数
不同的计算器操作步骤可能有所不同
利用计算器探索锐角三角函数的新知
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.
第一章 直角三角形的边角关系 1.3
三角函数
的计算
北师大版九年级下册数学课件