北师版数学九下 3.7切线长定理 课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
第三章 圆 3.7
切线长定理
北师大版九年级下册数学课件
目录
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CONTENTS
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1-新知导入
2-探究新知
3-巩固练习
4-课堂小结
新知导入
第一部分
PART 01
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问题1 通过前面的学习，我们了解到如何过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？
问题2 过圆外一点 P 作圆的切线，可以作几条？请欣赏小颖同学的作法(如右下图所示)！
直径所对的圆周角是直角.
复习引入
P
O
O.
P
B
A
A
B
P
1. 切线长的定义：
经过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫作切线长．
A
O
① 切线是直线，不能度量.
② 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是
圆外一点和切点，可以度量．
2. 切线长与切线的区别在哪里？
切线长的定义
探究新知
第二部分
PART 02
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合作探究
B
P
O
A
问题 在透明纸上画出下图，设 PA，PB 是圆 O 的两条切线，A、B 是切点，沿直线 OP 对折图形，你能猜测一下 PA 与 PB，∠APO 与 ∠BPO 分别有什么关系吗？
猜测 PA=PB，∠APO=∠BPO
切线长定理
推导与验证
如图，连接 OA，OB.
∵PA，PB 与 ⊙O 相切，点A，B是切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即 ∠OAP=∠OBP=90°.
∵ OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL).
∴ PA = PB ，∠OPA=∠OPB
B
P
O
A
切线长定理：
过圆外一点引所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.
PA、PB 分别切 ☉O 于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新
的方法.
注意
要点归纳
B
P
O
A
拓展：这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
B
P
O
A
1. PA、PB 是 ⊙O 的两条切线，A、B 是切点，OA=3.
(1) 若 AP = 4，则 OP = ；
(2) 若 ∠BPA = 60°，则 OP = .
5
6
练一练
2. PA、PB 是 ☉O 的两条切线，A、B为切点，直线 OP 交 ☉O 于点 D、E，交 AB 于C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP.
（2）写出图中与∠OAC 相等的角；
B
P
O
A
C
E
D
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
△AOP ≌ △BOP ， △AOC ≌ △BOC， △ACP ≌ △BCP.
（4）写出图中所有的等腰三角形.
△ABP 、△AOB.
（3）写出图中所有的全等三角形；
B
P
O
A
C
E
D
O
P
A
B
C
E
D
解析：连接 OA、OB、OC、OD 和OE.
∵PA、PB 是 ☉O 的两条切线，点 A、B 是切点，∴PA=PB=7. ∠PAO =∠PBO = 90°. ∠AOB=360°-∠PAO -∠PBO -∠P =140°.
(1) △PDE 的周长是 ；
例1 如图，PA、PB 是☉O 的两条切线，点 A、B 是切点，在弧 AB 上任取一点 C，过点 C 作 ☉O 的切线，分别交 PA、PB 于点 D、E.已知 PA = 7，∠P = 40°. 则
(2) ∠DOE = ____ .
典例精析
∵OA=OC，OD=OD，∴△AOD≌△COD，
∴∠DOC=∠DOA= ∠AOC.
同理可得∠COE= ∠COB.
∠DOE=∠DOC+∠COE
= （∠AOC+∠COB）=70°.
又∵DC、DA 是 ☉O 的两条切线，点 C、A 是切点，∴DC=DA.同理可得CE=EB.
l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.
O
P
A
B
C
E
D
（3）连接圆心和圆外一点.
（2）连接两切点；
（1）分别连接圆心和切点；
方法归纳
例2 △ABC 的内切圆 ⊙O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB=13 cm，BC=14 cm，CA=9 cm，求 AF、BD、CE 的长.
解:
设 AF = x cm，则 AE = x cm.
∴CE=CD=AC- AE= ( 9 - x ) cm，
BF=BD=AB- AF= (13 - x) cm.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
A
C
B
E
D
F
O
由 BD+CD=BC，可得
(13 - x) + (9 - x) =14，
∴ AF = 4 cm，BD = 9 cm，CE = 5 cm.
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
解得 x = 4.
A
C
B
E
D
F
O
例3 如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b， AB＝c，⊙O 为 Rt△ABC 的内切圆.
求：Rt△ABC 的内切圆的半径 r.
∵ ⊙O 与 Rt△ABC 的三边都相切
∴AD＝AF，BE＝BF，CE＝CD
解：设 Rt△ABC 的内切圆与三边相切
于 D、E、F，连接 OD、OE、OF，则
OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB.
B
·
A
C
E
D
F
O
设 AD= x ， BE= y ，CE＝ r .
则有
x＋r＝b ，
y＋r＝a ，
x＋y＝c ，
解得
r＝
a＋b－c
2
B
·
A
C
E
D
F
O
巩固练习
第三部分
PART 03
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设 Rt△ABC 的直角边为 a、b，斜边为 c，则 Rt△ABC的内切圆的半径 r＝ 或 r＝ (前面课时已证明).
a＋b－c
2
ab
a＋b＋c
知识拓展
20°
4
1. 如图，PA、PB 是 ⊙O 的两条切线，切点分别是 A、B，如果 AP=4，∠APB= 40° ，则 ∠APO= ，PB= .
B
P
O
A
第1题
110°
2. 如图，已知点 O 是 △ABC 的内心，且 ∠ABC= 60°， ∠ACB= 80°，则 ∠BOC= .
A
B
C
O
3. 如图，PA、PB 是 ⊙O 的切线，切点分别为 A、B，点 C 在 ⊙O 上，如果 ∠ACB＝70°，那么 ∠OPA 的度数是_____°．
20
4. 如图，PA、PB 是 ⊙O 的两条切线，切点为 A、B，
∠P= 50°，点 C 是 ⊙O 上异于 A、B 的点，则∠ACB= .
65°或115°
B
P
O
A
5. △ABC 的内切圆 ☉O 与三边分别切于 D、E、F三点，如图，已知 AF=3，BD + CE=12，则 △ABC的周长是 .
A
B
C
F
E
D
O
30
拓展提升：
6.直角三角形的两直角边分别是 3 cm ，4 cm，试问：
(1) 它的外接圆半径是 cm;内切圆半径是 cm？
(2) 若移动点 O 的位置，使 ☉O 保持与△ABC的边AC、BC都相切，求☉O 的半径 r 的取值范围.
·
A
B
C
E
D
F
O
1
解：设 BC=3 cm，由题意可知与 BC、AC 相切的最大圆与 BC、AC 的切点分别为 B、D，连接 OB、OD，则四边形 BODC 为正方形.
·
A
B
O
D
C
∴OB＝BC＝3 cm，
∴半径r的取值范围为 0＜r≤3 cm.
课堂小结
第四部分
PART 04
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切线长
切线长定理
作用
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
应用
重要结论
只适合于直角三角形
第三章 圆 3.7
切线长定理
北师大版九年级下册数学课件