北师版数学九下 1.5三角函数的应用 课件(共32张PPT)
文档属性
| 名称 | 北师版数学九下 1.5三角函数的应用 课件(共32张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-27 11:28:18 | ||
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文档简介
(共32张PPT)
第一章 直角三角形的边角关系 1.5
三角函数的应用
北师大版九年级下册数学课件
目录
目录
CONTENTS
CONTENTS
1-新知导入
2-探究新知
3-巩固练习
4-课堂小结
新知导入
第一部分
PART 01
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情境引入
我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向.
那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？
引例 如图，海中有一个小岛A，该岛四周 10 n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西 55° 的B 处，往东行驶 20 n mile后到达该岛的南偏西 25° 的 C处。之后，货轮继续向东航行.货轮继续航行会有触礁的危险吗？
B
A
C
60°
D
【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔 C 到 AB航线的距离是否大于 10 n mile.
北
东
与方位角有关的实际问题
解：由点 A 作AD⊥BC 于点 D，
设AD= x ,
则在 Rt△ABD 中，
在 Rt△ACD 中，
解得
所以，这船继续向东航行是安全的.
B
A
C
D
25°
55°
北
东
由 BC = BD-CD,得
探究新知
第二部分
PART 02
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如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东65° 方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到0.01海里）？
65°
34°
P
B
C
A
试一试
解：如图 ，在 Rt△APC 中，
PC ＝ PA·cos（90°－65°）
＝80×cos25°
≈ 80×0.91
= 72.8
在Rt△BPC 中，∠B＝34°
当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东34°方向时，
它距离灯塔 P 大约 130.19 海里．
65°
34°
P
B
C
A
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
方法归纳
例1 如图，为了测量山的高度 AC，在水平面 B 处测得山顶 A 的仰角为 30°，AC⊥BC，自 B 沿着 BC 方向向前走 1000m，到达 D 处，又测得山顶 A 的仰角为 45°,求山高．(结果保留根号)
分析：可用方程思想，先把 AC 看成已知，用含 AC 的代数式表示 BC 和 DC，由 BD＝1000 m 建立关于 AC 的方程，从而求得 AC.
仰角和俯角问题
解：在 Rt△ABC 中，
在 Rt△ACD 中，
∴BD＝BC－DC
例2 如图，飞机 A 在目标 B 正上方 1000m 处，飞行员测得地面目标 C 的俯角为30°，则地面目标 B ，C 之间的距离是________．
解析：由题意可知，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠C＝∠CAD＝30°，AB＝1000m，
【方法总结】解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知条件解直角三角形．
分析：由题意知 α 是仰角 β 是俯角
所以α = 30°，β = 60°. 在 Rt△ABD中，α = 30°，AD ＝ 120，可以利用解直角三角形的知识求出 BD；类似地可以求出 CD ，进而求出 BC．
例 3 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯角为 60°，热气球与高楼的水平距离为 120m ，这栋高楼有多高（结果精确到 0.1m ）.
A
B
C
D
α
β
仰角
水平线
俯角
解：如图，α = 30°, β= 60°， AD＝120．
答：这栋楼高约为 277.1m.
A
B
C
D
α
β
巩固练习
第三部分
PART 03
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建筑物 BC 上有一旗杆 AB，由距 BC 40m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰角为54°，观察底部 B 的仰角为 45°，求旗杆的高度（精确到 0.1m ）.
A
B
C
D
40m
54°
45°
A
B
C
D
40m
54°
45°
解：在等腰三角形 BCD 中：
∠ACD = 90°，
BC=DC=40m.
在 Rt△ACD 中，
∴AB = AC－BC = 55.2－40=15.1
答：旗杆的高度为15.1m.
练一练
∴AC = tan∠ADC·DC
= tan54°×40 ≈ 55.1
例4 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是 12 米，路基的坡面与地面的倾角分别是 45° 和 30°，求路基下底的宽 ( 精确到 0.1， ).
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
利用坡角解决实际问题
在 Rt△BCF 中，同理可得
因此 AB ＝ AE＋EF＋BF=4＋12＋6.93 ≈ 22.93（米）．
解：作 DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为 E、F．
由题意可知 DE＝CF＝4（米），
CD＝EF＝12（米）．
在 Rt△ADE 中，
45°
30°
4米
12米
A
B
C
E
F
D
答： 路基下底的宽约为 22.93 米．
1. 如图1，在高出海平面 100米 的悬崖顶 A 处，观测海平面上一艘小船 B，并测得它的俯角为 45°，则船与观测者之间的水平距离 BC =_________米.
2. 如图2，两建筑物 AB 和 CD 的水平距离为 30 米，从 A 点测得 D 点的俯角为 30°，测得 C 点的俯角为60°，则建筑物 CD 的高为_____米.
100
图1
图2
B
C
B
C
3. 如图 3，从地面上的 C，D 两点测得树顶 A 仰角分别是 45°和30°，已知 CD = 200 米，点 C 在 BD 上，则树高 AB 等于 （根号保留）．
4. 如图 4，将宽为 1cm 的纸条沿 BC 折叠，CAB=45°，
则折叠后重叠部分的面积为 （根号保留）．
图3
图4
5. 如图，港口 A 在观测站 O 的正东方向，OA = 4 km，某船从港口 A 出发，沿北偏东 15° 方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东60° 的方向，则该船航行的距离（即 AB 的长）为________.
解析：如图，过点 A 作 AD ⊥ OB 于 D．
在 Rt△AOD 中，∵∠ADO = 90°，∠AOD = 30°，OA= 4 km，
∴AD = OA = 2 km．
在Rt△ABD 中，∵∠ADB = 90°，∠B = ∠CAB-∠AOB=75°- 30°= 45°，
∴ BD = AD = 2 km，
∴ AB = AD = km．
即该船航行的距离为 km．
6. 如图，一架飞机从 A 地飞往 B 地，两地相距 600 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成 30° 角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成 45° 角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程 600km 远了多少？
解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，
∵AD＋BD＝AB，
∴在 Rt△BCD 中，
∴AC＋BC＝
在 Rt△ACD 中，
750－600 ≈ 150 (km)．
答：飞机的飞行路程比原来的路程 600km 远了 150 km.
【方法总结】求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
(km).
7. 如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点O的距离为4米，钢缆与地面的夹角∠BOA为60 ，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米（结果保留根号）．
解：在Rt△ABO中，
∵tan∠BOA = =tan60°=
∴ AB=BO tan60°= （米）.
答：这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离 AB 是 米.
8. 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度为1∶3，斜坡 CD 的坡度为 1∶2.5，求：
（1）坝底 AD 与斜坡 AB 的长度（精确到 0.1m ）;
（2）斜坡 CD 的坡角 α（精确到 1°）.
E
F
A
D
B
C
1:2.5
23
6
α
解：(1) 分别过点 B、C作 BE⊥AD，CF⊥AD，
垂足分别为点 E、 F,由题意可知
BE = CF = 23 m ， EF = BC = 6 m.
E
F
A
D
B
C
1:2.5
23
6
α
在 Rt△ABE 中
在 Rt△DCF 中，同理可得
∴AD = AE+EF+FD = 69+6+57.5 = 132.5 m
在 Rt△ABE 中，由勾股定理可得
∴AE = 3BE = 3×23 = 69 m
∴FD = 2.5 CF = 2.5×23 = 57.5 m
m
(2) 斜坡 CD 的坡度为 tanα = 1∶2.5 = 0.4，
由计算器可算得
答：坝底宽 AD 为 132.5 米，斜坡 AB 的长约为72.7 米．斜坡 CD 的坡角 α 约为 22°.
课堂小结
第四部分
PART 04
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利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转
化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解
直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
第一章 直角三角形的边角关系 1.5
三角函数的应用
北师大版九年级下册数学课件
第一章 直角三角形的边角关系 1.5
三角函数的应用
北师大版九年级下册数学课件
目录
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CONTENTS
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1-新知导入
2-探究新知
3-巩固练习
4-课堂小结
新知导入
第一部分
PART 01
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情境引入
我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向.
那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？
引例 如图，海中有一个小岛A，该岛四周 10 n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西 55° 的B 处，往东行驶 20 n mile后到达该岛的南偏西 25° 的 C处。之后，货轮继续向东航行.货轮继续航行会有触礁的危险吗？
B
A
C
60°
D
【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔 C 到 AB航线的距离是否大于 10 n mile.
北
东
与方位角有关的实际问题
解：由点 A 作AD⊥BC 于点 D，
设AD= x ,
则在 Rt△ABD 中，
在 Rt△ACD 中，
解得
所以，这船继续向东航行是安全的.
B
A
C
D
25°
55°
北
东
由 BC = BD-CD,得
探究新知
第二部分
PART 02
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如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东65° 方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到0.01海里）？
65°
34°
P
B
C
A
试一试
解：如图 ，在 Rt△APC 中，
PC ＝ PA·cos（90°－65°）
＝80×cos25°
≈ 80×0.91
= 72.8
在Rt△BPC 中，∠B＝34°
当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东34°方向时，
它距离灯塔 P 大约 130.19 海里．
65°
34°
P
B
C
A
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
方法归纳
例1 如图，为了测量山的高度 AC，在水平面 B 处测得山顶 A 的仰角为 30°，AC⊥BC，自 B 沿着 BC 方向向前走 1000m，到达 D 处，又测得山顶 A 的仰角为 45°,求山高．(结果保留根号)
分析：可用方程思想，先把 AC 看成已知，用含 AC 的代数式表示 BC 和 DC，由 BD＝1000 m 建立关于 AC 的方程，从而求得 AC.
仰角和俯角问题
解：在 Rt△ABC 中，
在 Rt△ACD 中，
∴BD＝BC－DC
例2 如图，飞机 A 在目标 B 正上方 1000m 处，飞行员测得地面目标 C 的俯角为30°，则地面目标 B ，C 之间的距离是________．
解析：由题意可知，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠C＝∠CAD＝30°，AB＝1000m，
【方法总结】解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知条件解直角三角形．
分析：由题意知 α 是仰角 β 是俯角
所以α = 30°，β = 60°. 在 Rt△ABD中，α = 30°，AD ＝ 120，可以利用解直角三角形的知识求出 BD；类似地可以求出 CD ，进而求出 BC．
例 3 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯角为 60°，热气球与高楼的水平距离为 120m ，这栋高楼有多高（结果精确到 0.1m ）.
A
B
C
D
α
β
仰角
水平线
俯角
解：如图，α = 30°, β= 60°， AD＝120．
答：这栋楼高约为 277.1m.
A
B
C
D
α
β
巩固练习
第三部分
PART 03
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建筑物 BC 上有一旗杆 AB，由距 BC 40m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰角为54°，观察底部 B 的仰角为 45°，求旗杆的高度（精确到 0.1m ）.
A
B
C
D
40m
54°
45°
A
B
C
D
40m
54°
45°
解：在等腰三角形 BCD 中：
∠ACD = 90°，
BC=DC=40m.
在 Rt△ACD 中，
∴AB = AC－BC = 55.2－40=15.1
答：旗杆的高度为15.1m.
练一练
∴AC = tan∠ADC·DC
= tan54°×40 ≈ 55.1
例4 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是 12 米，路基的坡面与地面的倾角分别是 45° 和 30°，求路基下底的宽 ( 精确到 0.1， ).
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
利用坡角解决实际问题
在 Rt△BCF 中，同理可得
因此 AB ＝ AE＋EF＋BF=4＋12＋6.93 ≈ 22.93（米）．
解：作 DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为 E、F．
由题意可知 DE＝CF＝4（米），
CD＝EF＝12（米）．
在 Rt△ADE 中，
45°
30°
4米
12米
A
B
C
E
F
D
答： 路基下底的宽约为 22.93 米．
1. 如图1，在高出海平面 100米 的悬崖顶 A 处，观测海平面上一艘小船 B，并测得它的俯角为 45°，则船与观测者之间的水平距离 BC =_________米.
2. 如图2，两建筑物 AB 和 CD 的水平距离为 30 米，从 A 点测得 D 点的俯角为 30°，测得 C 点的俯角为60°，则建筑物 CD 的高为_____米.
100
图1
图2
B
C
B
C
3. 如图 3，从地面上的 C，D 两点测得树顶 A 仰角分别是 45°和30°，已知 CD = 200 米，点 C 在 BD 上，则树高 AB 等于 （根号保留）．
4. 如图 4，将宽为 1cm 的纸条沿 BC 折叠，CAB=45°，
则折叠后重叠部分的面积为 （根号保留）．
图3
图4
5. 如图，港口 A 在观测站 O 的正东方向，OA = 4 km，某船从港口 A 出发，沿北偏东 15° 方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东60° 的方向，则该船航行的距离（即 AB 的长）为________.
解析：如图，过点 A 作 AD ⊥ OB 于 D．
在 Rt△AOD 中，∵∠ADO = 90°，∠AOD = 30°，OA= 4 km，
∴AD = OA = 2 km．
在Rt△ABD 中，∵∠ADB = 90°，∠B = ∠CAB-∠AOB=75°- 30°= 45°，
∴ BD = AD = 2 km，
∴ AB = AD = km．
即该船航行的距离为 km．
6. 如图，一架飞机从 A 地飞往 B 地，两地相距 600 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成 30° 角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成 45° 角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程 600km 远了多少？
解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，
∵AD＋BD＝AB，
∴在 Rt△BCD 中，
∴AC＋BC＝
在 Rt△ACD 中，
750－600 ≈ 150 (km)．
答：飞机的飞行路程比原来的路程 600km 远了 150 km.
【方法总结】求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
(km).
7. 如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点O的距离为4米，钢缆与地面的夹角∠BOA为60 ，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米（结果保留根号）．
解：在Rt△ABO中，
∵tan∠BOA = =tan60°=
∴ AB=BO tan60°= （米）.
答：这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离 AB 是 米.
8. 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度为1∶3，斜坡 CD 的坡度为 1∶2.5，求：
（1）坝底 AD 与斜坡 AB 的长度（精确到 0.1m ）;
（2）斜坡 CD 的坡角 α（精确到 1°）.
E
F
A
D
B
C
1:2.5
23
6
α
解：(1) 分别过点 B、C作 BE⊥AD，CF⊥AD，
垂足分别为点 E、 F,由题意可知
BE = CF = 23 m ， EF = BC = 6 m.
E
F
A
D
B
C
1:2.5
23
6
α
在 Rt△ABE 中
在 Rt△DCF 中，同理可得
∴AD = AE+EF+FD = 69+6+57.5 = 132.5 m
在 Rt△ABE 中，由勾股定理可得
∴AE = 3BE = 3×23 = 69 m
∴FD = 2.5 CF = 2.5×23 = 57.5 m
m
(2) 斜坡 CD 的坡度为 tanα = 1∶2.5 = 0.4，
由计算器可算得
答：坝底宽 AD 为 132.5 米，斜坡 AB 的长约为72.7 米．斜坡 CD 的坡角 α 约为 22°.
课堂小结
第四部分
PART 04
your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转
化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解
直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
第一章 直角三角形的边角关系 1.5
三角函数的应用
北师大版九年级下册数学课件