陕西省西安工业大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

陕西省西安工业大学附属中学 2024-2025 学年高一上学期期末数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = ，集合 = { |0 < < 2}， = { | 1 ≤ ≤ 1}，则如图阴影
部分表示的集合是( )
A. { | 1 ≤ < 0} B. { | 1 ≤ < 0或1 ≤ < 2}
C. { |1 < < 2} D. { |0 < < 1}
3 4
2.在单位圆中，已知角 的终边上与单位圆的交点为 ( , )， ( , cos( ))位于第几象限( )
5 5 2
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知函数 ( )是定义域为 的奇函数，当 ≤ 0时， ( ) = 3 2 + 2 + 2，则 (1)的值为( )
A. 3 B. 3 C. 1 D. 1
4.已知命题 ： ∈ [1,2]， 2 + 2 > 0，则 的一个充分不必要条件是( )
A. < 1 B. > 0 C. > 1 D. > 2
5.设 = 36, = 2
1.2 , = 0.51.2，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
( 3) + 2 , ( < 1)
6.已知 ( ) = { 是( ∞, +∞)上的减函数，那么 的取值范围是( )
, ( ≥ 1)
2 2
A. [ , 1) B. ( , 1) C. (0,1) D. (1, +∞)
3 3

7.函数 ( ) = cos( + )的值域为( )
6
√ 3 √ 3
A. [ 2,2] B. [ √ 3, √ 3] C. [ 1,1] D. [ , ]
2 2
+
8.函数 ( ) = 在区间[ 3,3]上的图象大致为( )
4
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A. B.
C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若 是锐角，则 一定是第一象限角
3
B. 若圆心角为 的扇形的弧长为 ，则该扇形面积为
6 2
4
C. 若角 的终边过点 ( 3,4)，则 =
5
14 4
D. 角 与角 终边相同
3 3
2
10.函数 = ln( + 1)的零点所在区间不可能是( )
+1
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
+
11.定义在 上的函数 ( )满足 ( ) + ( ) = ( ) ( )， (1) = 1，则下列结论正确的有( )
2 2
A. (0) = 2 B. ( )为奇函数
C. 6是 ( )的一个周期 D. ∑2024 2

=0 ( ) = 4052 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 5
12.计算 125 + 4 + ln√ 3 tan = ______．
3 4
3 1
13.已知tan( + ) = , tan( ) = ，则tan( + ) = ______．
5 3 3 3
2 2
( +1) +(3 +1)
14.已知实数 > 0， > 0，则 2 2 的最大值为______． +9 +2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题15分)
化简求值．
√ 1 2 190° 190°
(1)化简：
170 +√ 1 cos2170
；
3
(2)已知： = ，计算：2 2 + 3 cos2 .
4
16.(本小题15分)
3
已知 ∈ [ , ]，且 4 = ．
4 2 5
(1)求 2 和 2 的值；
1
(2)若 ∈ [ , ]，且tan( ) = ，求 + 的值．
2 3
17.(本小题15分)
近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，
某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒 年(
为正整数)所用的各种费用总计为2 2 + 10 万元．
(1)该公司第几年首次盈利(总收入超过总支出，今年为第一年)？
(2)该公司几年后年平均利润最大，最大是多少？
18.(本小题15分)

已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, < )的图象与 轴的交点为(0,1)，它在 轴右侧的第一个最高
2

点和第一个最低点的坐标分别为( , 2)和( 0 + , 2)． 2
(1)求函数 = ( )的解析式及 0的值．
(2)求 ( )的单调减区间．
1
(3)先将函数 = ( )的图象上各点的横坐标缩小为原来的 ，再将得到的函数图象向左平移 个单位长度，
2 24

最后得到函数 = ( )的图象，求 ( )在区间[0, ]上的值域．
8
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19.(本小题17分)
( )
已知函数 ( )满足 ( ) + 2 ( ) = 3 2 + 2 + 3，函数 ( ) = ．

(1)求函数 ( )的解析式；
(2)若不等式 (log2 ) 2 ≤ 0在 ∈ [4,8]上恒成立，求实数 的取值范围；
6 7
(3)若关于 的方程2 (2| | 2) + | | 4 2 = 0有四个不同的实数解，求实数 的取值范围． 2 2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
5
12.【答案】
2
7
13.【答案】
6
14.【答案】2
√
√ 1 2 190° 190° cos
210°+sin210° 2 10° 10°
15.【答案】解：(1) =
170 +√ 1 cos2170 10°+ 170°
√ 2 ( 10° 10°) 10° 10°
= = = 1． 10°+ 10° 10 + 10
3 22 2 2 +3 cos
2
(2)由 = ，得2 + 3 cos = 2 4 sin +cos2
3 2 3
2 2 +3 1 2×( ) +3×( ) 1
= = 4 4
34
2 = ． tan +1 3 2( ) +1 25
4

16.【答案】解：(1)因为 ≤ ≤ ，所以 ≤ 4 ≤ 2 ，
4 2
3 3
又 4 > 0，所以 < 4 ≤ 2 ，故 < 2 ≤ ，
2 4
因为 4 = 1 2 22 ，
1 4 √ 5
所以 2 = √ = ，
2 5
2√ 5
则 2 = √ 1 sin22 = ；
5
3 3
(2)由已知条件，得 ≤ ≤ ，
4 2
3
又tan( ) > 0，所以 < < ，
2
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1 √ 10 3√ 10
由tan( ) = ，得sin( ) = , cos( ) = ，
3 10 10
所以cos( + ) = cos[2 ( )] = 2 ( ) + 2 ( )
2√ 5 3√ 10 √ 5 √ 10 √ 2
= ( ) × ( ) + × ( ) = ，
5 10 5 10 2
3
因为 ∈ [ , ]， ∈ [ , ]，所以 ≤ + ≤ 0，所以 + = ．
4 2 2 4 4
17.【答案】解：(1)设利润为 ，
则 = 50 (98 + 2 2 + 10 ) = 2 2 + 40 98( 为正整数)，
令 > 0得 2 2 + 40 98 > 0，解得10 √ 51 < < 10 + √ 51，
又 为正整数，
则3 ≤ ≤ 17，即该公司第3年首次盈利；
(2)由(1)得3 ≤ ≤ 17且 为正整数， = 2 2 + 40 98，
49 49 49
则 = 2( + ) + 40 ≤ 2 × 2√ + 40 = 12，当且仅当 = ，即 = 7时等号成立，

故第7年时，平均利润最大，且为12万元．

18.【答案】解：(1)由题意可得， = 2， = 2 × = ，即 = 2，
2

因为 (0) = 2 = 1， < ，
2

所以 = ， ( ) = 2 (2 + )，
6 6

根据五点作图法可得，2 0 + = ，即 = ； 6 2 0 6
3
(2)令 + 2 ≤ 2 + ≤ + 2 ， ∈ ，
2 6 2
2
则 + ≤ ≤ + ， ∈ ，
6 3
2
故 ( )的单调递减区间为[ + , + ]， ∈ ；
6 3
1
(3)将函数 = ( )的图象上各点的横坐标缩小为原来的 ，再将得到的函数图象向左平移 个单位长度，
2 24

得到函数 = ( ) = 2 (4 + )的图象，
3
5
当0 ≤ ≤ 时， ≤ 4 + ≤ ，
8 3 3 6
1
所以 ≤ sin(4 + ) ≤ 1，
2 3
所以1 ≤ ( ) ≤ 2，即 ( )的值域为[1,2]．
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19.【答案】解：(1)因为 ( ) + 2 ( ) = 3 2 + 2 + 3①，
则 ( ) + 2 ( ) = 3 2 2 + 3②，
由① ② × 2，
解得 ( ) = 2 2 + 1；
(2)由(1)知 ( ) = 2 2 + 1，
( ) 1
所以 ( ) = = + 2，

因为不等式 (log2 ) = 2 ≤ 0在 ∈ [4,8]上恒成立，
1
所以 2 + 2 2
≤ 0在 ∈ [4,8]上恒成立，
2
设 = log2 ，则 ∈ [2,3]，
1
所以 + 2 ≤ 0在 ∈ [2,3]上恒成立，

1 2 1
所以 ≥ 1 + 2 = ( 1)
2在 ∈ [2,3]上恒成立，

1 1 1
因为 ∈ [2,3]，所以 ∈ [ , ]，
3 2
1 1
而 = ( 1)2在[ , ]上单调递减，
3 2
1 1 1 1 4
故当 = 时，( 1)2取得最大值，最大值为( 1)2 = ，
3 3 9
4
所以 ≥ ，
9
4
所以 的取值范围是[ , +∞)；
9
(3)令 = 2| | 2 > 1且 ≠ 0，
6 7
方程2 (2| | 2) + | | 4 2 = 0， 2 2
6 7
即为2 ( ) + 4 2 = 0，

6 5
即2 + 4 6 = 0，

2 2 (4 + 6) + 6 5 = 0，
由题意可得此方程必有两个不等根 1， 2，且 1 > 1， 2 > 1， 1 ≠ 0， 2 ≠ 0，
6 5
由韦达定理可得： 1 + 2 = 2 + 3， 1 2 = ， 2
所以 1 + 1 > 0， 2 + 1 > 0，( 1 + 1)( 2 + 1) > 0，
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= (4 + 6)2 8(6 5) > 0
所以{ 1 + 1 + 2 + 1 > 0 ，
( 1 + 1)( 2 + 1) > 0
6 5 ≠ 0
16 2 + 76 > 0
即{2 + 5 > 0 ，
10 + 3 > 0
6 5 ≠ 0
3 5
解得 > 且 ≠ ．
10 6
3 5 5
所以 的取值范围为( , ) ∪ ( , +∞)．
10 6 6
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