辽宁省大连市2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

辽宁省大连市 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2
1.双曲线 2 = 1的渐近线方程是( )
4
1 1
A. = ±2 B. = ± C. = ±4 D. = ±
2 4
2. 2 + 22 3 +
2
4 +
2
5 =( )
A. 10 B. 15 C. 20 D. 40
3.已知曲线 ： 2 + 2 = 4( > 0)，从 上任意一点 向 轴作垂线段 ， 为垂足，则线段 中点 的轨
迹方程为( )
2 2 2
A. + 2

= 1( > 0) B. + = 1( > 0)
4 4 2
2 2 2
C. + 2 = 1( > 0) D. + = 1( > 0)
4 4 2
4.已知 ( 1,2)， (1,2)，动点 在直线 = 上，则| | + | |的最小值为( )
A. 2 B. √ 10 C. 3√ 2 D. 10
5.过抛物线 2 = 4 焦点 的直线交抛物线于 ， 两点，若 = 3 ，则直线 的斜率为( )
√ 3 √ 3
A. ± B. ±√ 3 C. D. √ 3
3 3
6.已知空间四点 (3,0,0)， (3,3,2)， (0,3,0)， (0,0,3)，则四面体 的体积为( )
5√ 3 15 45
A. B. C. 15 D.
3 2 2
7.将98个不同的小球全部放入99个不同的盒子中，共有 种不同的方法，若 = 100 + ，其中 ∈ ，0 ≤
< 100，则 =( )
A. 99 B. 88 C. 12 D. 1
2 2
8.已知双曲线 ： = 1的左、右焦点分别为 1， 2，过 2作倾斜角为 的直线交双曲线 于 ， 两点，9 16 3
若△ 1 2，△ 1 2的内切圆半径分别为 1， 2，则 1 2 =( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间中，下列说法正确的是( )
3
A. 若< ， >= ，则< 2 ， 3 >=
4 4
B. 若{ , , }是空间向量的一组基底，则{ , + , }可以构成空间向量的另一组基底
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C. “向量 ， ， 共面”是“直线 ， ， 共面”的充要条件
D. 1 ， 2 分别是直线 1， 2的方向向量，“ 1 与 2 不平行”是“ 1与 2异面”的必要条件
10.已知3名男生和2名女生参加两项不同的公益活动，下列说法正确的是( )
A. 活动前5人站成一排，甲在最左边，乙不在最右边，有18种不同的方法
B. 5人依次进行自我介绍，甲和乙不相邻做介绍，有72种不同的方法
C. 将5人全部分配到两项活动中，每项活动既有男生又有女生，有24种不同的方法
D. 活动后从5人中选出3人介绍活动体会，至少两名男生，有9种不同的方法
11.“曼哈顿距离”是由赫尔曼 闵可夫斯基首先提出的，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面
直角坐标系 中， 是坐标原点，定义点 ( 1, 1)与点 ( 2, 2)的曼哈顿距离为 ( , ) = | 1 2| + | 1
2|，若点 1( 1,0)，点 2(1,0)，直线 ， 和 的方程分别是 2 2 = 0， = 1和 = 1，则下列叙述
正确的是( )
A. ( 1, 2) = 2
B. 点 与直线 上任意一点的曼哈顿距离最小值为2
C. 若动点 满足 ( , 1) = 4，则 的轨迹围成图形的面积是32
D. 若动点 与直线 上任意一点的曼哈顿距离最小值等于 ( , 2)，则 的轨迹与直线 围成的封闭图形面积
是2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知三条直线 + 2 8 = 0，2 10 = 0， + 2 = 0相交于一点，则 = ______．
13.平行六面体 1 1 1中， = = 1 = 1，∠ 1 = ∠ 1 = 60°，∠ = 90°，则 1的
长是______．
1
14.已知曲线 1： = 是双曲线，曲线 2：
2 + 2 = 1是椭圆，其离心率分别是 2 2
1
和 2，则 1 + 2 =
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在(1 + 2 )8的展开式中，求；
(1)含 3的项；
(2)各项系数和(用数字作答)；
(3)系数最大的项是第几项？
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16.(本小题15分)
已知圆 ：( 1)2 + 2 = 2( > 0)，点 ( 2,1)，圆 与直线3 + 4 13 = 0相切．
(1)若圆 与圆 相交，求 的取值范围；
3√ 10
(2)若圆 与圆 公共弦的长度为 ，求 的值．
5
17.(本小题15分)
已知抛物线 ： 2 = 4 ，过点 (2,0)倾斜角为 的直线与抛物线 相交于 ， 两点， 为坐标原点．

(1)若 = ，求| |的值；
4

(2)若 ∈ [ , ]，求△ 面积的取值范围．
6 4
18.(本小题17分)
如图，在等腰梯形 中， // ， = 2 = 2 = 4，将△ 沿 翻折至△ ，使得平面 ⊥
平面 ．
(1)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；

(3)点 在棱 (不包含端点)上，且平面 与平面 所成角的余弦值为√ 3，求 的值．
4
19.(本小题17分)
√ 2 √ 2 √ 3
在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴的椭圆过点 (1, )和点 ( , )， ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 3, 3)，2 2 2
( 4, 4)是椭圆上异于顶点的四个点，直线 与 相交于点 ( 1,0)，直线 的斜率存在且过点 (1,0)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若 = 2，求直线 的方程；

(3)记 ， 分别为直线 与直线 的斜率，求
的值．

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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】3
13.【答案】√ 5
8
14.【答案】
3
15.【答案】解：(1)在(1 + 2 )8的展开式中，
含 3的项为； 38 (2 )
3 = 448 3；
(2)在(1 + 2 )8的展开式中，令 = 1，
则各项系数和(1 + 2 × 1)8 = 6561；
(3)设系数最大的项是第 + 1项，
8 2
≥ 1 2 1
则{ 8 ，
8 2
≥ +1 2 +18
2 8! 8!
≥
! (8 )! ( 1)! (9 )!
则{ ，
8! 2 8!
≥
! (8 )! ( +1)! (7 )!
即5 ≤ ≤ 6，
即系数最大的项是第6项和第7项．
|3×( 2)+4×1 13|
16.【答案】解：(1)由题意可得圆 的半径为 ′，则 ′ = = 3，
√ 32+42
所以圆 的方程为( + 2)2 + ( 1)2 = 9，
圆 ：( 1)2 + 2 = 2( > 0)，圆心 (1,0)，半径 ，
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圆心距| | = √ ( 2 1)2 + 12 = √ 10，
要使两个圆相交，可得| 3| < √ 10 < + 3，
可得√ 10 3 < < 3 + √ 10，
即实数 的取值范围为(√ 10 3,3 + √ 10)；
( 1)2 + 2 = 2
(2)联立{ ，整理可得：6 2 + 2 5 = 0，
( + 2)2 + ( 1)2 = 9
即两个圆的相交直线方程为：6 2 + 2 5 = 0，
|6×( 2) 2×1+ 2 5| | 2 19|
设圆心 到直线的距离 = = ，
2√ 10
√ 2 62+( 2)
3√ 10
所以相交弦长2√ ′2 2 = 2√ 9 2 = ，
5
2
即2√
13 3√ 10
9 ( )2 = ，整理可得( 2 19)2 = 4 × 81，
2√ 10 5
解得 2 = 1或 2 = 37，
解得 = 1或 = √ 37．
17.【答案】解：(1)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，

若 = ，
4
此时直线 的方程为 = 2，
= 2
联立{ 2
2
，消去 并整理得 8 + 4 = 0，
= 4
由韦达定理得 1 + 2 = 8， 1 1 = 4，
所以| | = √ 1 + 2| 1 22| = √ 1 + 1 √ ( 1 + 2)2 4 1 2 = 4√ 6；
(2)设直线 的方程为 = + 2，
= + 2
联立{ ，消去 并整理得 2 4 8 = 0，
2 = 4
此时 > 0，
由韦达定理得 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 8，
所以| | = √ 1 + 2| | = √ 1 + 21 2 4√ 2 + 2，
2
又点 到直线 的距离 = ，
√ 1+ 2
1
所以△ 的面积 2△ = | | = 4√ + 2， 2

因为 ∈ [ , ]，
6 4
1
所以 = ∈ [1, √ 3]，
tan
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则 △ ∈ [4√ 3, 4√ 5]．
故△ 的面积的取值范围为[4√ 3, 4√ 5]．
18.【答案】解：(1)过 作 垂直 于 ，所以 = 1，
所以∠ = 60°，∠ = ∠ = 120°，
所以 = 2√ 3，∠ = 30°，所以∠ = 90°，
取 中点 ， 中点 ，
因为 = ，所以 ⊥ ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ， ⊥ ，
所以 ⊥平面 ，
又因为 // ，所以 ⊥ ，
以 为原点， ， ， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 (0,0,1)， ( √ 3, 0,0)， (√ 3, 2,0)， (√ 3, 0,0)， = (√ 3, 0, 1)， = (2√ 3, 2,0)，

|cos < ,
3
> | = | | = ，
| || | 4
3
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ；
4
(2) = ( √ 3, 0, 1)，
设平面 的一个法向量分别为 = ( , , )， = (0, 2,0)， = (√ 3, 0, 1)，

= 2 = 0
由{ ，
= √ 3 = 0
令 = 1，则 = √ 3，
所以 = (1,0,√ 3)，
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2√ 3 √ 3
所以|cos < , > | = | | = | | = ，
| || | 4 2
所以直线 与平面 所成角的正弦值为√ 3；
2

(3)设平面 的一个法向量为 1 = ( 1, 1, 1)，
令 = = (2√ 3 , 2 , 0)，
则 = + = (2√ 3 2√ 3, 2 , 0)， = (√ 3, 0, 1)，

所以{ 1
= √ 3 1 1 = 0 ，
1 = 2√ 3( 1) 1 + 2 1 = 0
令 1 = ，则 1 = √ 3(1 )， 1 = √ 3 ，

所以 1 = ( , √ 3(1 ),√ 3 )，

又因为平面 的一个法向量为 2 = (0,0,1)，
√ 3 √ 3
所以|cos < 1 , > | = |
1 2
2 | = | | =| 1 || 2 | √ 2 2 2 4
，
+3(1 ) +3
整理得3 2 + 2 1 = 0，
1
解得 = 或 = 1(舍)，
3
1
所以 = ．
3
19.【答案】解：(1)设椭圆的方程为 2 + 2 = 1( > 0, > 0, ≠ )，
√ 2 √ 2 √ 3
因为椭圆过点 (1, )和 ( , )，
2 2 2

+ = 1
2
所以{ 3 ，
+ = 1
2 4
1
解得 = ， = 1，
2
2
则椭圆的标准方程为 + 2 = 1；
2
(2)设直线 的方程为 = 1，
= 1
联立{ 2 2 2
+ 2
，消去 并整理得( + 2) 2 1 = 0，
= 1
2
此时 > 0，
2 1
由韦达定理得 1 + 3 = 2 ， +2 1 3 = 2 ， +2
所以 = ( 1 1)( 3 1) + 1 3 = ( 1 2)( 3 2) + 1 3
2+7
= ( 2 + 1) 1 3 2 ( 1 + 3) + 4 = 2 = 2， +2
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解得 = ±1，
则直线 的方程 = ± 1，
即 ± + 1 = 0；
+1
(3)设直线 的方程为 = 1， = 3 ，
3
1 1 2 2 2
由(2)知 1 3 =
3 3 3
2
=
+2 3+1
= 2 = 2 = ， 2
( ) +2 ( +1) +2 2
2
3 3 3
+2 3+2 3+1 2 3+3
3

解得 31 = ， 2 3+3
+1 3 +4
所以 1 = 1 1 =
3 ( 3 ) 1 = 3 ，
3 2 3+3 2 3+3
3 +4
同理得 = 4 ， = 42 ， 2 +3 24 2 4+3
因为直线 斜率存在且过点 (1,0)，
1 2 2 所以 = = 1 = ，
1 1 2 1

2 1

3

4
2
则 = 3
+3 2
= 4
+3 3 4 4 3
3 3+4 3 4+4
= = = = ．
1 1 5 3+7 5 4+7 5( 4 3) 5
2 3+3 2 4+3

故 = 5．

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