云南省昆明市盘龙区2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

云南省昆明市盘龙区 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，已知全集 = { 2, 1,3,4,5}，集合 = { 1,3,5}， = { 2,5}，则图中
阴影部分表示的集合是( )
A. { 2, 1,3,5} B. { 2,5} C. {5} D. { 2}
2.已知命题 ： ∈ ， ≤ 1.则￢ 是( )
A. ∈ ， ≥ 1 B. ∈ ， > 1
C. ∈ ， ≥ 1 D. ∈ ， > 1

3.已知函数 ( ) = 2 ( )的最小正周期为 ，则 =( )
6
A. 1或1 B. 2或2 C. 1 D. 2
4
4.已知 > 1，则 + 的最小值是( )
1
A. 5 B. 6 C. 3√ 2 D. 2√ 2
5.噪声污染问题越来越受到重视.声压级( )是描述声音强度的物理量，基于声音的压力

变化来测量，单位为分贝( )，定义声压级为 = 20 ( )，其中常数 0( 0 > 0)是听觉下限阈值， 是实 0
际声波压强，一般情况下适合人休息的声音不超过40 ，声音超过70 会有损神经，设声压级为40 时

对应的声波压强为 1，声压级为70 时对应的声波压强为
2
2，则 =( ) 1
A. 10 B. 101.5 C. 100 D. 102.5
6.已知 = 2，则 2 =( )
4 3 4 3
A. B. C. D.
5 5 5 5
7.对于任意的 ∈ ，[ ]表示不超过 的最大整数，例如[3.7] = 3，[2] = 2，[ 1.3] = 2，那么“| | < 1”
是“[ ] = [ ]”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数 ( )的定义域为 ，且 (1) = 2，若 ( ) ( ) = ( + ) + ( )，则( )
A. (0) = 0 B. (2) = 1 C. ( )为偶函数 D. ( )为增函数
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = ( )( ) 1( < )恰有两个零点 ， ( < )，则下列结论正确的是( )
A. ( ) = ( ) = 0
B. 方程 ( ) = 1的解集为{ , }
C. 不等式 ( ) < 0的解集为{ | < < }
D. ， ， ， 的大小关系是 > > >
10.已知函数 ( )的定义域为 ，且 ( ) = ( + 2)，当 ∈ [ 1,1]时， ( ) = 2| | 1，则下列说法正确的
是( )
A. 函数 ( )是周期为2的周期函数 B. 方程 ( ) = 1的解集为{ 1,1}
C. ( )的值域为[0,1] D. 方程 ( ) = 有且仅有一个解

11.函数 ( ) = sin(2 + )(| | < )，对 都有 ( ) ≤ | ( )|，则下列说法正确的是( )
2 6

A. =
6

B. ( )在[ , ]上单调递减
3 6
5
C. 将函数 ( )的图象向左平行移动 个单位，得到的函数图象关于原点对称
12
5
D. 若 ∈ [ , ]，则函数 ( ) = ( ) + 2 的最小值为 √ 3
12 12
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12.2 5 + 4 ( ) 2 = ______．
4
13.用篱笆围成一个一边靠墙面积为32 2的矩形菜园，墙长10 ，则至少需要篱笆______ .
+2
14.已知函数 ( ) = 3的定义域为[1, +∞)，且 ( )为增函数，若 0是 ( )的零点， <
0 0 0恒
0 1
成立，则整数 的最大值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1
设函数 ( ) = 2 ( + )(0 < < 6,0 < < )，满足 (0) = 1，函数 ( )图象的一个对称中心为( , 0)．
6
(1)求 ( )的最小正周期；
1 5
(2)用“五点法”画出函数 ( )在区间[ , ]上的简图．
3 3
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16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = ( 2 5 + 5) 为幂函数，且 ( )满足 ( ) = ( )．
(1)求实数 的值；
1
(2)若函数 ( ) = ( )，其定义域为(0, +∞)．

①证明： ( )在(0, +∞)上为减函数；
②求使不等式 (3 1) > ( )成立的实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
已知函数 ( ) = 2√ 3 2 2 + 1且0 < < 2，在下列①②中选择一个做为条件，并完成
解答．

①函数 ( )图象上相邻两个对称中心的距离为 ；
2

②函数 ( )图象的一条对称轴为 = ．
6
(1)求 ( )的表达式；

(2)将 ( )的图象向右平移 个单位，再向上平移2个单位，得到函数 ( )的图象，求函数 ( )在[ , ]上的
3 3 3
值域．
18.(本小题17分)
为预防流感，某学校对教室用药熏消毒法.已知室内每立方米空气中的含药量 (毫克)与时间 (小时)的关系近
似满足如图所示曲线，根据图中提供的信息，从下列函数中选取恰当的两个函数，完成解答．
① =
② = log16( )
1
③ = ( )
16
④ = | |
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(1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 (毫克)与时间 (小时)的解析式，并简要说明你选取的理
由；
(2)据测定，当每立方米空气中的含药量降低到0.2毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至
少需要经过多少小时，学生才能回到教室．
(参考数据： 2 ≈ 0.3，结果保留2位小数)
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = ．
(1)证明：函数 ( )在(0, +∞)上单调递增；
(2)当 ≥ 1时，不等式 ( ) ≥ 恒成立，求 的取值范围；
(3)比较3 1.5与√ 的大小．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 14
13.【答案】16
14.【答案】4
1
15.【答案】解：(1)由 (0) = 1得 = ，又0 < < ，所以 = ，
2 3
1
故 ( ) = 2 ( + )，函数 ( )图象的一个对称中心为( , 0)，
3 6
1
则 + = + ， ∈ ，即 = 6 + ， ∈ ，
6 3 2
2
又0 < < 6，所以 = ，而 = = 2，所以 ( )的最小正周期为2；

(2)列表：
3
+ 0 2 3 2 2
1 1 2 7 5

3 6 3 6 3
2 0 2 0 2
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画图：
16.【答案】解：(1)因为函数 ( ) = ( 2 5 + 5) 为幂函数，
所以 2 5 + 5 = 1，解得 = 1或 = 4，
因为 ( )满足 ( ) = ( )，即 ( )为奇函数，
故 = 4不符合题意，
所以 = 1；
1 1
(2)①证明 ( ) = ( ) = ，定义域为(0, +∞)，

任取 1 > 2 > 0，
1 1 1
则 ( 1) ( 2) = + 2 1 = ( 2 1)(1 + ) < 0， 1 2 1 2
所以 ( 1) < ( 2)，
故 ( )在(0, +∞)上为减函数；
②由不等式 (3 1) > ( )可得 > 3 1 > 0，
1 1
解得 < < ，
3 2
1 1
故 的范围为{ | < < }.
3 2

17.【答案】解：(1)函数 ( ) = 2√ 3 2 2 + 1 = √ 3 2 + 2 = 2 (2 + )，
6

选条件①时，函数 ( )图象上相邻两个对称中心的距离为 ；故周期为 ，故 = 1，
2

所以 ( ) = 2 (2 + )，
6
2
(2)将函数 ( )的图象向右平移 个单位，再向上平移2个单位，得到函数 ( ) = 2 (2 + ) + 2 =
3 3 6
2 2 + 2的图象，
2 2
由于 ∈ [ , ]，故2 ∈ [ , ]，
3 3 3 3
1
所以 2 ∈ [ , 1]，故 ( ) ∈ [0,3]．
2

选条件②时，函数 ( )图象的一条对称轴为 = ，故 + = + ，解得 = 3 + 1，( ∈ )，
6 3 6 2
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由于0 < < 2，故 = 1，

所以 ( ) = 2 (2 + )，
6
2
(2)将函数 ( )的图象向右平移 个单位，再向上平移2个单位，得到函数 ( ) = 2 (2 + ) + 2 =
3 3 6
2 2 + 2的图象，
2 2
由于 ∈ [ , ]，故2 ∈ [ , ]，
3 3 3 3
1
所以 2 ∈ [ , 1]，故 ( ) ∈ [0,3]．
2
18.【答案】解：(1)根据函数的图象知， ∈ [0,0.1]时，图象是直线的一部分，且单调递增，应选① = ，
此时函数过原点 (0,0)和(0.1,1)，所以 = 10， = 10 ；
≥ 0.1时，函数的图象从左到右是下降的，且大于0，符合指数函数 = (0 < < 1)的模型，应选③ =
1
( ) ，
16
1 1
代入点(0.1,1)，得( )0.1 = 1，解得 = 0.1，所以 = ( ) 0.1；
16 16
10 , 0 ≤ ≤ 0.1
(2)由题意知， = { 1 0.1 ，当0 ≤ ≤ 0.1时， = 10 单调递增， ( ) , > 0.1
16
1 1 1
当 > 0.1时， = ( ) 0.1单调递减，令( ) 0.1 ≤ 0.2，得( 0.1)lg ≤ 0.2，
16 16 16
即 4( 0.1) 2 ≤ 1 + 2，
1 1 1
解得 ≥ 0.1 + = 0.15 ≈ 0.68(小时)，
4 2 4 4×0.3
所以至少需要经过0.68小时，学生才能回到教室．
19.【答案】(1)证明：设 2 > 1 > 0，则 ( 1) =
1
1 ， (
2
2) = 2 ，
( ) 2
所以 2 = 2 2 =
2 1，
( 1) 1 1 1

因为 > > 0，所以 2 > 1， 2 12 1 > 1， 1
( )
所以 2 > 1，即 (
( ) 2
) > ( 1)，
1
所以函数 ( )在(0, +∞)上单调递增．
(2)解：显然 > 0，因为 ( ) ≥ = = ( )，
函数 ( )在(0, +∞)上单调递增，
所以 ≥ ，即 ≤ 恒成立，所以 ≤ ( ) = ，
所以 的取值范围是(0, ]．
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9 9 3 1
(3)解：因为 < ，所以ln < 1，故ln < ， ( )在(0, +∞)上单调递增，
4 4 2 2
3 1 3 3 3 1 1 1
所以 (ln ) < ( )，又 (ln ) = ln ， ( ) = 2，
2 2 2 2 2 2 2
3 3 1 1 3 1
则 ln < 2，即3 < 2，
2 2 2 2
所以3 1.5 < √ ．
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