2024-2025学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.正三棱柱的所有棱长都为，，分别是，的中点，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
3.已知双曲线的右焦点为，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.在四面体中，若，，，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知直线：与圆：相交于，两点若圆上存在一点，使得四边形为菱形，则实数的值是( )
A. B. C. D.
6.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.如图，是平面上一点，以为圆心，分别画出半径为，，，，的同心圆记半径为的圆的一条切线为，再画出与平行的各圆的切线和一条穿过圆心与平行的直线若以为焦点，为准线的抛物线记为，则，，，，这个点( )
A. 都不在抛物线上
B. 只有个点在抛物线上
C. 有个点在抛物线上
D. 有个点在抛物线上
8.已知椭圆：，点，为椭圆上不同的两点下面两个结论( )
若给定点，则对任意的点，都存在点，使得；
若给定点，则对任意的点，都存在点，使得．
A. 均正确 B. 均错误 C. 对错 D. 错对
9.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，动点沿着线段从点移动到点，则下列结论中正确的是( )
A. 直线与直线为异面直线
B. 恒为钝角
C. 三棱锥体积越来越大
D.
10.在平面直角坐标系中，已知点，，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知向量，，且，则实数 ______， ______．
12.已知圆和圆相交于，两点，则半径可以是______写出一个符合题目要求的取值即可．
13.已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足若，则点的横坐标为______，的面积为______．
14.中国国家博物馆中的清代仿官窑四方委角象耳瓶向我们展示了我国古代工匠的高超技艺：瓶唇口，直颈，颈两侧饰对称象耳，方腹委角，高圈足外撇其中“委角”是一种工艺术语，指的是将方形器物的尖角抹平，向内收缩，如同把角折起来如图，该瓶的瓶身相当于是在长方体中抹去八个形状与大小都相同的三棱锥在长方体中，，，为的中点，与分别是棱与棱上的点，且满足已知委角之后的瓶身体积是长方体体积的，则长方体的体对角线长度为______．
15.已知曲线：，给出下列四个结论：
对任意，曲线关于轴、轴、原点对称；
当时，曲线是由两条直线和一个正方形组成的图形；
当时，曲线上任意两点距离的最大值为；
当时，曲线围成的区域面积最小值为．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，在斜三棱柱中，，点为的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ若平面平面，求证：．
17.本小题分
已知圆的圆心为，且过点，直线的方程为．
Ⅰ求圆的标准方程；
Ⅱ若直线与圆相切，求的值；
Ⅲ若为坐标原点，点满足，且点在直线上，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，，，为的中点，平面与棱交于点．
Ⅰ求证：为的中点；
Ⅱ若为的中点，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值．
条件：；
条件：．
19.本小题分
设曲线：，对曲线进行如下变换：将上的任意一点沿着向量平移，得到点，称该变换为变换，得到的曲线记为．
Ⅰ若曲线：，对进行变换，直接写出曲线的方程；
Ⅱ若曲线经过变换后得到的曲线关于原点对称．
直接写出的值和的离心率；
已知点，过曲线的右焦点作直线与曲线交于，两点．
记，的面积分别为，，若，求直线的斜率；
直线，分别与直线交于，两点，若，求直线的斜率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.均可，答案不唯一
13.
14.
15.
16.Ⅰ证明：连接，设交于，由题意可得为的中点，连接，而点为的中点，
在中，可得为中位线，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
Ⅱ证明：，点为的中点，
可得平面
又因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，而平面，
所以．
17.解：Ⅰ已知圆的圆心为，且过点，可知圆的半径为：，
圆的标准方程；
Ⅱ直线的方程为直线与圆相切，可得，解得；
Ⅲ为坐标原点，点满足，设，可得，
可得，且点在直线上，所以，解得
的取值范围
18.Ⅰ证明：因为，平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以，
因为是的中点，
所以为的中点．
Ⅱ解：选择条件：
因为，，，、平面，
所以平面，
又，所以平面，
因为，所以，，两两垂直，
故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
所以，，
由图知，二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为．
选择条件：
连接，则，
所以是等边三角形，
因为是的中点，所以，
又，，
所以，即，
又，，、平面，所以平面，
因为，，所以，
所以，，两两垂直，
后续过程同条件．
19.解：Ⅰ的方程为；
Ⅱ，，
易知，，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
若选择：因为，
所以，
解得，
所以，
则，
此时，
解得，
则直线的斜率；
若选择：因为，
所以，
令，
解得，
即，
同理得，
所以，
因为，
整理得，
所以，
解得．
则直线的斜率为．
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