2024-2025学年福建省漳州市高一上学期1月期末教学质量检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省漳州市高一上学期1月期末教学质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
3.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则( )
A. B. C. D.
4.已知关于的一元二次不等式的解集为，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为( )
A. B. C. D.
7.某同学用“五点法”画函数在一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
8.用表示与的最大者，记，，其中，都是正数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，某池塘里浮萍的面积单位：与时间单位：月的关系为，则( )
A. B. 第个月时，浮萍面积超过
C. 浮萍每月增加的面积都相等 D. 浮萍每月的增长率为
10.已知函数，若，且，则( )
A. B. C. D.
11.如图正方形的边长为，，分别为边，上的点，且，则( )
A. B.
C. 周长为定值 D. 面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域为 ．
13.已知为上奇函数，，，则 ．
14.已知函数的图象过点，且在区间单调递增，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，集合．
若，求
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知幂函数在区间单调递增．
求的值
若函数，，则是否存在实数，使得的最小值为若存在，求的值若不存在，说明理由．
17.本小题分
如图，已知直线，是，之间的一个定点，到，的距离分别为，，是上一个动点，设，作直线，且与直线交于点．
写出与的面积之和关于的函数解析式
判断函数的单调性，并用定义法加以证明．
18.本小题分
长泰摩天轮位于长泰天柱山，是欢乐大世界的地标式游乐设施，被誉为“长泰之眼”游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，该摩天轮最高点距离地面高度为米，转盘直径为米，设置有个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要分钟如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系．
游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式
坐上摩天轮转动一圈，当距离地面米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感小明能有多长时间感受这个过程
小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有个座舱，求两人距离地面的高度差的最大值．
19.本小题分
若函数存在零点，函数存在零点，且，则称与互为相近函数．
判断与是否互为相近函数，并说明理由
定义在上的函数有且只有一个零点，函数，若与互为相近函数，
(ⅰ)求的值．
(ⅱ)求的最大值．
参考答案
1.
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4.
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10.
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14.
15.解：由，得，解得，
所以，
若，，或．
所以．
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以，所以且等号布同时取，，
解得，所以实数的取值范围为．
16.解：因为是幂函数，所以，
解得或，
当时，在区间单调递减，不符合题意，
当时，在区间单调递增，符合题意，
所以
由函数的解析式为，函数，
即，，函数的对称轴为，
当，即时，则，解得，满足题意
当时，即，则，无解，舍去
当时，即时，则，解得，不满足，舍去
综上所述，存在使得的最小值为．
17.解：由已知，，，
所以，
又因为，所以，
所以，已知，，，得，
所以，，
函数的解析式为．
函数在单调递减．
证明如下：由
任取，，且，
则，
因为，所以，，，所以，
即，，
所以在单调递减
18.解：，
由题意知，解得，
又，解得，
所以，因为，所以，所以，，所以，
由令，
则，即，
因为，则，所以，解得，
所以小明坐上摩天轮能有分钟感受这个过程
由题意知，两人间隔的弧度数为，
所以小明经过分钟后距离地面的高度为，
小华距离地面的高度为，
则两人离地高度差
，
当或，即或时，的最大值为米
19.令，解得，即有唯一零点
因为在上单调递增且连续，
而且，，，所以存在唯一零点，且，
所以满足，所以与互为相近函数．
已知定义在上的函数，对上的任意一个，
都有，所以为偶函数，
又已知有且只有一个零点，所以，解得
经检验，当时，有唯一零点．
由知，有且只有一个零点为，
又与互为相近函数，
所以在上有解，
由，
即，
所以，
令，因为，所以，
当且仅当，，即时，取到最大值为．
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