高中数学人教A版（2019）必修第二册第六章 平面向量及其应用 检测卷（含答案）

第六章 平面向量及其应用 检测卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设D为△ABC所在平面内一点，＝，则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知点P（-3，5），Q（2，1），向量＝（2λ-1，λ+1），若∥，则实数等于（ ）
A. B.- C. D.-
3.海中有一小岛C，一小船从A地出发由西向东航行，在A处望见小岛C在北偏东60°方向，航行4海里到达B处，望见小岛C在北偏东30°方向，若此小船不改变航行的方向继续前行2海里，则小船与小岛C之间的距离为（ ）
A.12海里 B.16海里 C.海里 D.海里
4.如图所示，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，若＝，则·等于（ ）
第4题图
A.- B.- C.- D.-
5.在正方形ABCD中，点E为BC的中点，若点F满足＝，且·＝0，则＝（ ）
A. B. C. D.
6.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是（ ）
A.（-2，6） B.（-6，2） C.（-2，4） D.（-4，6）
7.在△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan A＝，a＝，S为△ABC的面积，则的最大值为（ ）
A.4 B. C. D.2
8.在非直角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A+bsin B-csin C＝4bsin Bcos C，CD是角C的平分线，且CD＝b，则cos C等于（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ）
A.a＝30，b＝50，∠A＝60° B.a＝50，b＝30，∠A＝36°
C.a＝30，b＝60，∠A＝30° D.a＝30，∠B＝20°，∠A＝136°
10.下列说法正确的是（ ）
A.对于任意两个向量，若，且与同向，则
B.已知为单位向量，若，则在上的投影向量为
C.设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件
D.若，则与的夹角是钝角
11.对于△ABC，有如下命题，其中正确的是（ ）
A.若sin 2A＝sin 2B，则△ABC是等腰三角形
B.若△ABC是锐角三角形，则不等式恒成立
C. 若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为
D.若，则△ABC为钝角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.如图所示，在离地面高400 m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC＝ m.
第12题图
13.已知M是△ABC内一点，D为BC的中点且满足++＝，若△MAC的面积为2，则△ACD的面积为 .
14.已知非零平面向量不共线，且满足，记，当的夹角取得最大值时，的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.
15.（13分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝，＝（sin x，cos x），x∈.
（1）若，求tan x的值；
（2）若与的夹角为，求x的值.
16.（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝，b＝5，c＝.
（1）求角C的大小；
（2）求sin A的值；
（3）求的值.
17.（15分）如图所示，在四边形ABCD中，AD＝4，AB＝2.
（1）若△ABC为等边三角形，且AD∥BC，E是CD的中点，求·；
(
第
17
题图
)（2）若AB＝AC，cos ∠CAB＝，·＝，求||.
18.（17分）在（1）ac＝，（2）csin A＝3，（3）c＝这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝， ？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.（17分）如图所示，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A处沿直线AC步行到C处；另一种是先从A处沿索道乘缆车到B处，然后从B处沿直线BC步行到C处.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A处乘缆车到B处，在B处停留1 min后，再从B处匀速步行到C处.假设缆车的速度为130 m/min，山路AC的长为1 260 m，经测量cos A＝，cos C＝.
(
第
19
题图
)（1）乙出发多长时间后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（2）为使甲、乙在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？
参考答案
1.A 2.B 3.C 4.B 5.A 6.A 7.B 8.A 9.BCD 10.BC 11.BD
12. 600 13. 5 14. 4
15.解：（1）若，则＝·（sin x，cos x）＝sin xcos x＝0，
即sin x＝cos x，sin x＝cos x，即tan x＝1.
（2）由题意得＝＝＝1，
＝＝1，
m·n＝（sin x，cos x）＝sin xcos x.
若m与n的夹角为，则m·n＝|m|·|n|cos＝，
即sin xcos x＝，则＝.
因为x∈，所以x∈，则x＝，
即x＝＝.
16.解：（1）在△ABC中，由余弦定理及a＝，b＝5，c＝，得cos C＝＝.
因为C∈（0，π），所以C＝.
（2）在△ABC中，由正弦定理及C＝，a＝，c＝，可得sin A＝＝.
（3）由a可得cos A＝＝，
进而sin 2A＝2sin Acos A＝，cos 2A＝2cos2A＝.
所以＝sin +cos
＝×+×＝.
17.解：（1）（方法一）因为△ABC为等边三角形，且AD∥BC，
所以∠DAB＝120°.又AD＝2AB，所以AD＝2BC.
因为E是CD的中点，
所以＝＝
＝＝.
又＝-，
所以·＝·
＝--·
＝＝11.
（方法二）如图所示，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
则A（0，0），B（2，0）.
第17题图
因为△ABC为等边三角形，且AD∥BC，所以∠DAB＝120°.
又AD＝4，AC＝AB＝2，所以C（1，），D（-2，），
所以＝，＝（-4，），
所以·＝·（，）＝×（-4）+×＝11.
（2）因为AB＝AC，AB＝2，所以AC＝2.
因为·＝，所以（）＝，
所以·-·＝.
又·＝||||cos ∠CAB＝4×＝，所以·＝+·＝.
因为||2＝|-|2＝+-·＝4+16-2×＝，
所以||＝.
18. 解：方案一：选条件（1）.由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝.
于是＝，由此可得b＝c.
由（1）ac＝，解得a＝，b＝c＝1.
因此，选条件（1）时问题中的三角形存在，此时c＝1.
方案二：选条件（2）.由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝.于是＝，
由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.
由（2）csin A＝3，得c＝b＝，a＝6.
因此，选条件（2）时问题中的三角形存在，此时c＝.
方案三：选条件（3）.由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝.
于是＝，由此可得b＝c.
由（3）知c＝，与b＝c矛盾.
因此，选条件（3）时问题中的三角形不存在.
19.解：（1）∵ cos A＝，cos C＝，∴ A，C∈，
∴ sin A＝，sin C＝，
∴ sin B＝sin（A+C）＝sin Acos C+cos Asin C＝.
由＝，得AB＝sin C＝1 040（m），
∴ 乙在缆车上的时间为＝8（min）.
设乙出发t（0≤t≤8）min后，甲、乙距离为d m，则
d2＝（130t）2+（100+50t）2-2×130t×（100+50t）×＝200（37t2-70t+50），
∴ 当t＝时，即乙出发min后，乙在缆车上与甲的距离最短.
（2）由＝，得BC＝sin A＝×＝500（m）.
乙从B处出发时，甲已经走了50（2+8+1）＝550（m），还需走1 260-550＝710 （m）才能到达C处.
设乙步行的速度为v m/min，则≤3，解得≤v≤.
∴ 为使甲、乙在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在（单位：m/min）的范围内.
(
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