高中数学人教A版（2019）必修第二册第八章 立体几何 初步检测卷（含答案）

第八章 立体几何初步 检测卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知两条不同的直线l，m和两个不同的平面α，β，有如下命题：①若l α，m α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α⊥β，l⊥β，则l α.
其中正确的命题个数为（　　）
A.0 B.1
C.2 D.3
2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为 （　　）
A. B.
C. D.
3.已知圆锥的高为5，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（　　）
A.4π B.36π
C.48π D.24π
4.如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角B′-AD-C，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角的大小是（　　）
A.90° B.60°
C.45° D.30°
5.数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一 个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（　　）
A.16 B.
C. D.
6.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（　　）
A.90° B.60° C.45° D.30°
7.已知正四面体A-BCD外接球的表面积为12π，则该正四面体的表面积为（　　）
A. B. C. D.
8.如图，用一边长为的正方形硬纸，沿各边中点连线垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（　　）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在正四面体D-ABC中，E，F，G分别是AB，BC，CA的中点，则（　　）
A.平面DEG⊥平面ABC
B.平面DEG⊥平面DAF
C.BC∥平面DEG
D.二面角D-BC-A的大小为60°
10.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是（　　）
A.直线BC与平面ABC1D1所成的角等于
B.点C到面ABC1D1的距离为
C.两条异面直线D1C和BC1所成的角为
D.三棱柱AA1D1-BB1C1的外接球半径为
11.如图（1），在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C重合于点P，如图（2）.则下列结论正确的是 （　　）
A.PD⊥EF
B.B.平面PDE⊥平面PDF
C.二面角P-EF-D的余弦值为
D.点P在平面DEF上的投影是△DEF的外心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知三棱锥P-ABC，若PA⊥平面ABC，PA＝AB＝AC＝BC，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为　　　　.
13.已知正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如右图，且图中三角形（正四面体的截面）的面积是，则该球的表面积为　　　　.
14.若侧面积为4π的圆柱有一外接球O，当球O的
半径R＝　　　　时，球的体积取得最小值，此时 圆柱的表面积为　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.
15.（13分）如图，已知在四棱锥P-ABCD中，CD⊥平面PAD，AP＝AD，AB∥CD，CD＝2AB，M是PD的中点.
（1）求证：AM∥平面PBC.
（2）求证：平面PBC⊥平面PCD.
16.（15分）如图，已知C是以AB为直径的圆周上一点，∠ABC＝，PA⊥平面ABC.
（1）求证：平面PBC⊥平面PAC.
（2） 若异面直线PB与AC所成的角为，求二
面角C-PB-A的余弦值.
17.（15分）如图（1） ，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，CD＝6，过A，B分别作CD的垂线，垂足分别为E，F，已知DE＝1，AE＝3，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，使得平面ADE⊥平面ABFE，平面ADE∥平面BCF，得到图（2）.
（1）证明：BE∥平面ADC.
（2）求三棱锥C-AED的体积.
18.（17分）已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，AC＝BD＝2，BC＝1，点M在线段BD上，且BM＝，平面ABC和平面ACD将圆锥截去部分后的几何体如图所示.
（1）求证：CM⊥AD.
（2）求AC与底面所成的角.
（3）求该几何体的体积.
19.（17分）如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，E为AD的中点，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB⊥AP，CD＝AD＝2AB＝2.
（1）求证：平面PAB⊥平面PAD.
（2）求四棱锥P-ABCD的体积.
（3）在棱PB上是否存在点M，使得ME∥平面PCD？说明理由.
　
参考答案
1.B　 2.C　 3.B　 4.A　 5.C　 6.A　 7.C　 8.D　 9.BC　 10ABD　 11.ABC
12.　 13.24π　 14.　6π
15.证明：（1）取PC的中点N，连接MN，BN，如图.
因为点M是PD的中点，所以MN∥CD且MN＝CD.
又AB∥CD，CD＝2AB，可知MN∥AB且MN＝AB，
所以四边形ABNM为平行四边形，所以AM∥BN.
又BN 平面PBC，AM 平面PBC，所以AM∥平面PBC.
（2）因为CD⊥平面PAD，AM 平面PAD，所以CD⊥AM.
又AP＝AD，所以AM⊥PD.
因为PD，CD 平面PCD，所以AM⊥平面PCD.
由（1）可知AM∥BN，所以BN⊥平面PCD.
又BN 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD.
16.解：（1）证明：因为AB为圆的直径，所以AC⊥BC.
又PA⊥平面ABC，而BC 平面ABC，所以PA⊥BC.
又AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.
而BC 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.
（2）过B作AC的平行线BM交圆于M，连接PM，AM，（如第16（2）题图①）
所以异面直线PB与AC所成的角即为PB与BM所成的角.
因为AB为圆的直径，所以AM⊥BM.
又PA⊥平面ABC，而BM 平面ABC，所以PA⊥BM.
又AM∩PA＝A，所以BM⊥平面PAM.而PM 平面PAM，所以BM⊥PM.
令AB＝2t，且∠ABC＝，∠PBM＝，
所以AC＝BM＝t，AM＝BC＝t，PM＝t·tan＝3t，PA＝＝t，
PB＝＝t，PC＝＝t.
过A作AN⊥PC交PC于点N，过N作NQ⊥PB交PB于点Q，连接AQ，易知AQ⊥PB（如第16（2）题图②），所以∠AQN即为二面角C-PB-A的平面角.
因为AQ＝＝＝t，AN＝＝＝t，
所以sin∠AQN＝＝·＝，cos∠AQN＝.即二面角C-PB-A的余弦值为.
17.解：（1）证明：设AF∩BE＝O，取AC的中点M，连接OM，DM.
∵ 四边形ABFE为正方形，∴ O为AF中点.
∵ M为AC的中点，∴ OM∥CF且OM＝CF.
∵ 平面ADE⊥平面ABFE，平面ADE∩平面ABFE＝AE，DE⊥AE，DE 平面ADE，∴ DE⊥平面ABFE.
又∵ 平面ADE∥平面BCF，∴ 平面BCF⊥平面ABFE.
同理，CF⊥平面ABFE.∴ DE∥CF.
又∵ DE＝1，FC＝2，∴ DE＝CF，∴ OM∥DE，且OM＝DE，
∴ 四边形DEOM为平行四边形，∴ DM∥BE.
∵ DM 平面ADC，BE 平面ADC，∴ BE∥平面ADC.
（2）∵ CF∥DE，DE 平面ADE，CF 平面ADE，∴ CF∥平面ADE，
∴ 点C到平面ADE的距离等于点F到平面ADE的距离，∴ V三棱锥C-AED＝×× 3×1×3＝.
18.解：（1）证明：∵ C是底面圆周上一点，∴ BC⊥CD.
又∵ BC＝BD，∴ ∠BDC＝30°，∴ ∠CBD＝60°.
在△BCM中，由余弦定理得CM 2＝BC 2+BM 2-2BC· BM·cos∠CBM＝，
∴ BC 2＝BM 2+CM 2，∴ CM⊥BD.
设O为BD的中点，连接AO，则AO⊥平面BCD（如第18（1）题图）.
∵ CM 平面BCD，∴ CM⊥AO.
又AO∩BD＝O，∴ CM⊥平面BAD.
又AD 平面BAD，∴ CM⊥AD.
（2）连接CO（第18（2）题图），则∠ACO为AC与底面所成的角.
由已知可得AB＝AD＝AC＝BD＝2，
∴ △ABD为正三角形，AO＝，而CO＝1，∴ tan∠ACO＝，∴ AC与底面所成的角为60°.
（3）由题设知，∠CBD＝60°，
故△BCD的面积S△BCD＝BC·BD·sin 60°＝，底面半圆的面积S半圆＝π·OB2＝，
∴ 该几何体的体积V＝××+××＝.
19.解：（1）证明：因为AB⊥AD，AB⊥AP，AD∩AP＝A，所以AB⊥平面PAD.
因为AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
（2）如图，连接PE.
因为△PAD是等边三角形，E为AD的中点，所以PE⊥AD.
因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥PE.
因为AD∩AB＝A，所以PE⊥平面ABCD，所以V四棱锥P-ABCD＝S梯形ABCD·PE.
在等边三角形PAD中，PE＝PAsin 60°＝，S梯形ABCD＝＝3，
所以V四棱锥P-ABCD＝S四棱锥ABCD·PE＝× 3×＝.
（3）棱PB上存在点M，使得ME∥平面PCD，此时点M为PB的中点.理由如下：
取BC的中点F，连接MF，ME，EF，如图.
因为E为AD的中点，所以EF∥CD.
因为EF 平面PCD，所以EF∥平面PCD.
因为M为PB的中点，所以MF∥PC.
因为MF 平面PCD，所以MF∥平面PCD.
因为MF∩EF＝F，MF，EF 平面MEF，所以平面MEF∥平面PCD.
因为ME 平面MEF，所以ME∥平面PCD.