第七章相交线与平行线
7.1 相 交 线
7.1.1 两 条 直 线 相 交
6. (2023 ·兰州)如图，直线AB 与 CD 相交于点
0,则∠BOD= ( )
(
知识点1
认识对顶角和邻补角
1.下列各图中，∠1和∠2互为邻补角的是
)A.40° B.50° C.55° D.60°
( )
(
第6题图 第7题图
7.
(2024 ·
日照)如图，直线AB,CD 相交于点
0.若∠1=40°,∠2=120°,则∠
COM
的度数
为
()
)A B C D
2.(教材习题变式)下列各图中，∠1和∠2是对
顶角的是 ( )
A.70° B.80°
C.90° D.100°
A B C D
(
8.
(教材新增习题变式
)如图，a,b
两条直线相交.
(1)如果∠1=50°,求∠2的度数.
(2)如果∠2=3∠1,求∠3,∠4的度数.
(3)如果∠2比∠1大60°,求∠4的度数.
)3. (教材习题变式)如图，直线AB,CD 相交于点 0,OE 是∠BOD内部的一条射线.
(1)分别写出∠AOE 和∠AOD 的邻补角.
(2)写出图中所有的对顶角。
知识点2 邻补角和对顶角的性质
4.如图，直线AB,CD 相交所成的四个角中， ∠1= ,∠2= ,∠1+∠2=
,∠3+∠4= .
第4题图 第5题图
(
易错点 未给出图形，考虑不周全致错
9.两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别
是(2
x-10)°
和(110-
x)°,
则
x=
)5. (本课时T4 变式)(2023 · 青海)如图，直线 AB,CD 相 交 于 点 O,∠AOD=140°, 则
∠AOC 的度数是 ( )
A.40° B.50° (C.60° D.70°
B 中 档 题
10.如图，三条直线么 ,L ,L 相 交 于 点O, 则
∠1+∠2+∠3= ( )
A.180°B.150° C.120° D.90°
第10题图 第11题图
11.如图，直线AB,CD 相交于点O,OE 平 分 ∠AOD.若 ∠BOD=40°, 则 ∠COE 的 度 数
为 ( )
A.130° B.120° C.110° D.100°
12.如图，直线AB,CD 相 交 于 点 0 . 若 ∠ 2 -
∠1=15°,∠3=130°,则∠2= .
第12题图 第13题图
(
相交于
则
)13.【整体思想】如图，直线AB,CD,EF 点 O,∠AOD=120°,∠BOE=140°,
∠COF=
14.如图，要测量两堵墙所形成的∠AOB 的 度 数，但人不能进入围墙，请写出两种不同的
测量方法，并说明理由.
15.如图，直线 AB.CD 相 交 于 点O,OE 平 分
∠BOD.
(1)若∠AOC=70°,∠DOF=90°, 求∠EOF
的度数.
(2)若OF 平分∠COE,∠BOF=18°, 求
∠AOC 的度数.
C 综 合 题 二
16.探究题：
(1)三条直线相交，最少有 个交点；最 多有 个交点，画出图形，并数出图 形中的对顶角和邻补角的对数.
(2)四条直线相交，最少有 个交点；最 多有 个交点，画出图形，并数出图 形中的对顶角和邻补角的对数.
(3)依次类推，n 条直线相交，最少有 个 交点；最多有 个交点，对顶角有 对，邻补角有 对.
第七章相交线与平行线
7.1 相 交 线
7.1.1 两 条 直 线 相 交 1.B 2.C
3.解，(1)∠AOE 的邻补角为∠BOE. ∠AOD 的邻补角为∠AOC. ∠BOD.(2)∠AOC 与∠BOD互为对重角. ∠BOC 与∠AOD互为 对顶角。
4.∠3 ∠41801805.A 6.B 7.B
8.解：(1)∵∠1与∠2互为邻补角∴∠2=180°-∠1. ∵∠1=50°,∴ ∠2=180°-50°=130°.,(2)∠1与∠2互为邻补角∴∠2+∠1= 180°. ∵∠2=3∠1∴3∠1+∠1=180°,解得∠1=45°. ∴∠3=∠1 -45°,∠2=3×45'=135°. ∴∠4=∠2=135°. (3)根据题意，得∠2 -∠1+60°.又∵∠1+∠2=180°,∴∠1+∠1+60°=180°,解得 ∠1=60°. ∵∠1+∠=180°,∴∠4-180°-∠1-180°-60°= 120°.
9.40或8010.A 11.C ·12.65°13.80°
14.解：方法一，延长AO 到点G. 测量∠BOC. 利用邻补角的效量关系 求∠AOB.理由：∵∠AOB+∠BOC-180°,∴∠AOB=180°-
∠BOC. 方法二，延长AO 到点C. 延长BO 到点D,测量∠DOC. 利 用对面角相等求∠AOB. 理由：∵∠AOB 与∠DOC 是对顶角∴
∠AOB=∠DOC.
15.解：(1)∵OE 平分∠BOD.∴
.又∵∠DOF=90°∴∠EOF=∠DOF-∠DOE
=90°-35'=5s°.(2)∵OE 平分∠BOD∴∠BOE=∠DOE=
∵OF 平分∠COE.∴ .设
∠BOE=x',则∠DOE=x',∠COF=∠EOF=∠BOF+∠BOE=
(18+x)°. ∵∠COF+∠EOF+∠DOE=180°,∴2(18+x)+x= 180.解得x=48.∴∠AOC=∠BOD=2x'=96° .
16.解：(1)I 3 如图 ,对顶角有6对，邻补角有12对. ( 2 ) 1 6 如 图 .,对顶角有12对，邻补角有24对.
(3)1 n(n-1)2n(n-1)第七章相交线与平行线
色自中档题
15.如1图，直线1B,CD相交于点O,OE平分
∠BOD.
7.1相交线
10.如图，三条直线4，a 相交干点0，则
(1)若∠AOC=70°，∠D0F=90°，求∠E0F
∠1+∠2+∠3=
的度数
7.1.1两条直线相交
A.180°B.150°
C.120°D.90
(2)若OF平分∠COE,∠BOF=18°，求
6.(2023·兰州)如图，直线AB与CD相交于点
∠AOC的度数，
A基础题一
O,则∠BOD=
知识点1认识对顶角和邻补角
A.40
B.50
C.55°D.60°
1.下列各图中，∠1和∠2互为邻朴角的是
第10题图
第11恶图
米
11.如图，直线AB,CD相交于点O,OE平分
出点丛人
∠AOD.若∠BOD=40°，则∠COE的度数
为
第6题图
第7题图
A.130°B.120°C110°D.100°
2.(教材习题变式)下列各图中，∠1和∠2是对
7.(2024·日照)如图，直线AB,CD相交于点12.如图，直线AB,CD相交于点O.若∠2一
顶角的是
0.若∠1=40，∠2=120°，则∠C0M的度数
∠1=15”，.∠3=130°，则∠2=
4关米
为
()
A.70°
B.809
C.90°
D.100
3.(教材习短变式)如图，直线AB,CD相交于点
8.(教材蓟增习题变式)如图，a,b两条直线相交」
(1)如果∠1=50°，求∠2的度数.
O,OE是∠BOD内部的一条射线
第12题图
第13题图
(2)如果∠2=3∠1，求∠3，∠4的度数.
(1)分别写出∠AOE和∠AOD的邻补角，
13.【整体思想】如图，直线AB,CD,EF相交于
(3)如果∠2比∠1大60°，求∠4的度数.
(2)写出图中所有的对顶角
点O,∠AOD=120°，∠BOE=140°，则
∠COF=
综合题一
14.如图，要渊量两堵墙所形成的∠AOB的度
16,探究题：
数，但人不能进人田墙，销写出两种不同的
(1)三条直线相交，最少有个交点：最
测量方法，并说明理由.
多有个交点，面出图形，并数出图
形中的对顶角和邻补的对数.
知识点2邻补角和对顶角的性质
(2)四条直线相交，少有个交点：最
4如图，直线AB,CD相交所成的四个角中，
多有个交点，画出图形，并数出图
∠1=，∠2=，∠1+∠2=
形中的对顶角和邻补角的对数
,∠3十∠4=
(3)依次类推，n条直线相交，最少有个
A
交点：最多有个交点，对顶角有
c-i
对，邻补角有
对
B
C/
第4照图
第5题图
5.【本课时T4变式}(2023·青海)如图，直线
AB,CD相交于点O,∠AOD=140°，则
易错点未给出图形，考虑不周全致错
∠AOC的度数是
9.两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别
A.40°B.50°C.60°D.70°
是(2x一10)°和(110一x)°，则x=7.1.2 两条直线垂直
基 础 题 二 知识点1 垂直的定义 1.如图，直线AB 与CD 相交于点0. (1)若∠AOC= ,则AB⊥CD. (2)若AB⊥CD, 则∠AOC 的度数是 第1题图 第2题图 2.如图，OA⊥OB. 若∠1=62°,则∠2的度数是 ( ) A.28° B.32° C.38° D.42° 3.(2024 ·北京)如图，直线AB 与CD 相交于点 0.OE⊥OC. 若 ∠AOC=58°,则∠EOB 的度 数为 ( ) A.29° B.32° C.45° D.58° 知识点2 垂线的画法 4.下列各图中，过直线l 外一点P 画l 的垂线 CD, 使用三角板的操作正确的是 ( ) A B C D 5. (教材习题变式)(1)如图1,过点P 画出射线 AB 的垂线. (2)如图2,过点P 画出线段AB,CD 的垂线， 垂足分别为M,N. 图1 图2 知识点3 关于垂线的基本事实 6.如图，在一张透明的纸上画一条直线L, 在1外 任取一点Q, 并折出过点Q 且 与L垂直的 线.这样的直线能折出 条，依据是 知识点4 垂线段的定义及性质 7.下列说法正确的是 ( ) A.垂线段就是与已知直线相交的线段 B.垂线段就是垂直于已知直线的线段 C.垂线段就是一条竖起来的线段 D.过直线外一点向已知直线作垂线，这一点 到垂足之间的线段叫垂线段 8.如图，从直线 EF 外一点P 向 EF 引四条线段 PA,PB,PC,PD, 其中最短的一条是( ) A.PA B.PB C.PC D.PD 第8题图 第9题图 9.自来水公司为某小区A 改造供水系统.如图， 沿路线AO 铺设管道和主管道BO 衔接 (AO⊥BO),路线最短，工程造价最低，根据是 知识点5 点到直线的距离 10.下列图形中，线段PQ 的长度表示点P 到直 线a 的距离的是 ( ) A B C D
11.(救材习题变式)某同学在休育课上跳远后留下
的脚印如图所示，则他的跳远成绩是( )
A.BC 的长 起跳线/|
B.BQ 的长 C.AP 的长 D.CP 的长
易错点未给出图形，考虑不周全致错
12.已知直线AB,CD 相交于点O,OE⊥CD, 垂 足为0.若∠AOE=55°, 则∠BOD的度数为
B 中 档 题
13.(教材习题变式)如图，已知AB⊥l,B C⊥l, 垂足为B,则A,B,C 三点在 上，理由是
第13题图 第14题图
14.新考向》跨学科如图，这是光的反射示意 图，CO 是人射光线，OD 是反射光线，OE 是 法线，EO⊥AB,∠EOD 是反射角，∠COE=
∠EOD. 若 ∠AOC=2∠EOD, 则 入 射 角
∠COE 的度数为 ( )
A.30° B.40° C.45° D.60°
15.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°, BC=4 cm,AC=3cm,AB=5cm.
(1)点B 到AC 的距离是 ; 点A 到 BC 的距离是
(2)画出表示点C 到AB 的距离的垂线段 CD, 并求出CD 的长.
(3)AC CD(填“>”“<”或“=”),理
由是
16.如图，直线AB 与CD 相交于点O.OM⊥ AB.
(1)∠AOC 的邻补角为 (写一个即可).
(2)若∠1=∠2,判断ON 与CD 的位置关 系，并说明理由.
(3)若 ,求∠BOD 的度数.
(
@
综
合
题
)
17. (本课时T12 变式)如图，直线AB.CD 相交 于点0.OB平分∠DOE.
(1)若∠BOE:∠EOC=1:4, 求∠AOC的 度数.
(2)在(1)的条件下，画OF⊥CD, 请直接写
出∠EOF的度数.
7.1.2 两 条 直 线 垂 直 1.(1)90°(2)90°2.A 3.B 4.D
5.解：(1)(2)图略.
6.1 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
7.D 8.B 9.垂线段最短10 .C 11.C 12.145°或35°13. 同一 条直线在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
14.A
15.解：(1)4cm
3cm(2)图略 . ∵
) . (3)>垂线段
最短
16.解：(1)∠BOC (或∠AOD)(2)ON⊥CD. 理由如下：∵OM⊥AB,
∴∠AOM=∠BOM=90°.∴∠1+∠AOC=90°.∵∠1=∠2.∴
∠2+∠AOC=90°, 即 ∠CON=90:. ∴ON⊥CD. (3)∵∠1=
∴∠1+∠BOM=∠BOC∴∠BOM=3∠1.∵∠BOM= 90°∴∠1=30°.∴∠AOC=90°-30°=60°.∴∠BOD=∠AOC=
60°.
17.解：(1)∵OB 平分∠DOE,∴ ∵ ∠BOE:∠EOC=1:4,∴∠EOC=4∠BOE=4∠BOD.∵
∠EOC+∠DOE=180°,∴4∠BOD+2∠BOD=180°, 解得∠BOD =30°. ∴∠AOC=∠BOD=30°.(2)① 如图1,当OF 在直线AB 下 方时，∠EOF=30°;
田 1 图Z
②如图2.当OF 在直线AB 上方时. ∠EOF-150°.绛上所述，
∠EOF 的度数为30*成150°.7.1.2
两条直线要直
1山，（装材习题变式）某同学在休育课上跳远后留下
16.如图，直线AB与CD相交于点O,OMI
的脚印如图所示，则他的跳远成绩是
AB.
个基题
知识点3关于垂线的基本事实
(1)∠AOC的邻补角为（写一个即可）.
6.如图，在一张透明的纸上画一条宜线L,在1外
ABC的长
起线/
(2)若∠1=∠2，判断ON与CD的位置关
知识点1垂直的定义
B.BQ的长
系，并说明星由
1.如图，直线AB与CD相交于点O.
任取一点Q,并折出过点Q且与！垂直的
C,AP的长
(1)若∠AOC=
,则AB⊥CD
线.这样的直线能折出
条，依据是
D.CP的长
(3)若∠1=号∠B0C,求∠B0D的度数。
(2)若AB⊥CD,则∠AOC的度数是
易错点未给出图形，考忠不周全致错
12.已知直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,垂
足为Q.若∠AOE=55°，则∠BOD的度数为
B中档题=
知识点↓垂线段的定义及性质
第1随贸
第2煙图
13.(教材习题变式)如图，已知AB⊥l,BC⊥l,
7.下列说法正确的是
2.如图，OA⊥OB.若∠1=2°，则∠2的度数是
垂足为B则A,B,C三点在
A.垂线段就是与已知直线相交的线段
上，理由是
A.28°B.32°C.38°
D.42
B.垂线段就是垂直于已知直线的线段
3.(202·北京)如图，直线AB与CD相交于点
O,OE⊥OC.若∠AOC=58°，则∠E0B的度
C.垂线段就是一条竖起来的线段
数为
(
D.过直线外一点向已知直线作垂线，这一点
C综合题-
A.29
17.(本课时T12变式}如图，直线AB,CD相交
到垂足之间的线段叫垂线段
B.32°
第13题图
第14愿图
于点O,OB平分∠DOE.
C.45°
8.如图，从直线EF外一点P向EF引四条线段
D.58°
14新考向跨学科如图，这是光的反射示意
(1)若∠BOE:∠E=1:4,求∠AOC的
PA,PB,PC,PD,其中最短的一条是（)
度数
图，CO是人射光线，OD是反射光线，OE是
知识点2垂线的画法
(2)在(1)的条件下，画OF⊥CD,请直接写
A.PA
B.PB C.PC
D.PD
法线，EO⊥AB,∠EOD是反射角，∠COE=
4.下列各图中，过直线【外一点P画！的垂线
出∠EOF的度数
∠EOD.若∠AOC=2∠EOD,则人射角
CD,使用三角板的操作正确的是
∠COE的度数为
长太甲
A.30°B.40
C.45°D.60
R
15.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，
第8题图
第9题图
BC=4 cm,AC=3 cm,AB=5 cm.
9.自来水公司为某小区A改造供水系统.如图，
(1)点B到AC的炬离是
:点A到
5.(效材习题吏式)(1)如图1，过点P画出射线
BC的距离是·
沿路线AO馏设管道和主管道BO衔接
AB的垂线.
(2)画出表示点C到AB的距商的垂线段
(2)如图2，过点P画出线段AB,CD的垂线
(AO⊥O),路线最短，工程造价最低，根据是
CD,并求出CD的长.
垂足分别为M,N
(3)AC
CD(填“>””或=)，理
由是
知识点5点到直线的距离
10.下列图形中，线段PQ的长度表示点P到直
线a的距离的是
￥￥7.1.3 两条直线被第三条直线所截
基 础 题 知识点1 认识同位角、内错角、同旁内角 1.如图，直线a,b被直线c 所截，则下列各组角 中，是同位角的是 ( ) A. ∠1 与∠2 B. ∠1与∠3 C. ∠2 与∠3 D. ∠3 与∠4 2.下列各图中，∠1和∠2是内错角的是( ) A B C D 3.如图，直线a,b 被直线c 所截，则下列说法不 正确的是 ( ) A. ∠1 与∠5是同位角 B. ∠3 与∠6是同旁内角 C. ∠2 与∠4是对顶角 D. ∠5 与∠2是内错角 第3题图 第4题图 4.如图，直线AD,BE 被直线BF 和AC 所截， 则∠1的同位角是 ,∠5的内错角是 5. (教材习题变式)如图，∠1与∠2、∠3与∠4、 ∠1与∠4各是哪两条直线被哪一条直线所 截而形成的什么角 知识点2 三线八角之间的关系 6.如图，如果∠2=100°,那么∠1的同位角等于 、1的内错角等于 ,∠1的同 旁内角等于 . 第6题图 第7题图 7.如图所示，若∠1=∠2,则下列各对角：①<3 和∠2;②∠4和∠2;③∠3和∠6;④∠4和 ∠8.其中相等的有 ( ) A.1对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 8.如图，直线CD 与∠AOB的边OB 相交. (1)写出图中的同位角、内错角和同旁内角. (2)如果∠1=∠2,那么∠1与∠4相等吗 ∠1与∠5互补吗 为什么 易错点忽视截线导致找错位置角 9.下列图形中，∠1与∠2是同位角的有( ) ① ② ③ ④ (
B.
①②④
)A.②③④ (
C.
②③
)D.③④
B 中 档 题
10.新考向情境素材数学课上，老师用双手
形象地表示了“三线八角”图形，如图所示 (两根大拇指代表被截直线，食指代表截
线),则从左至右依次表示 ( )
A.同旁内角、同位角、内错角 B.同位角、内错角、对顶角
C.对顶角、同位角、同旁内角 D.同位角、内错角、同旁内角
11.新考向传统文化风筝是中国古代劳动人
民发明的，其材质在不断改进之后，坊间开 始用纸做风筝，被称为“纸鸢”.在如图所示 的纸骨架中，与∠1构成同位角的是( )
A. ∠2 B. ∠3
C. ∠4 D. ∠5
12.如图，下列说法正确的是 ( )
A. ∠1和∠B 是同位角 B. ∠2和∠3是内错角
C. ∠3 和∠4是对顶角
D. ∠B 和∠4是同旁内角
第12题图 第13题图
13.如图，∠1的同位角是 ,∠2的内错 角是 ∠A 的同旁内角是
14.两条直线都与第三条直线相交，∠1和∠2 是内错角，∠1和∠3是同旁内角。
(1)根据上述条件，画出符合题意的图形.
(2)若∠1:∠2:∠3=1:2:3 .求∠1 . ∠2. ∠3的度数.
C 综 合 题 一
15.一个跳棋棋盘如图所示，其游戏规则是：一 枚棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳 动以后，到达终点角.跳动时，每一步只能跳 到它的同位角或内错角或同旁内角的位置 上.例如，从起始角∠1跳到终点角∠3,其中 两种不同的路径如下：
试一试：
(1)写出从起始角∠1跳到终点角∠8的一 条路径.
(2)从起始角∠1依次按同位角、内错角、同 旁内角的顺序跳，能否跳到终点角∠8
7.1.3 两条直线披第三条直线所哉
1.B 2.B 3.D 4.∠2 ∠4
5.解：∠1与∠2是直线AB.CE 彼直线AD 所破面形成的内错角：∠3 与∠+是直线AD.BC 彼直线CE 所战西形成的回务内角：∠1与 ∠4是直线AD.BC 在直线CE 所混面形成的同位角.
6.80°80°100°7.C
8.解：(1)∠1与∠4是同位角：∠1与∠2是内错角：∠1与∠5是同旁 内角。(2)∠1与∠4相等. ∠1与∠5互升.理由如下：∵∠1-∠2. ∠2=∠4. ∠2+∠5=180°,∴∠]=∠4. ∠1+∠5=180°.
9.B 10.D 11.A 12.B 13.∠B ∠A ∠ACB和∠B
14.解：(1)如图. (2)∵∠I∠2:∠3=112:3.∴ F
设∠1=r.∠2-2r'.∠3=3r.∵∠2 与∠3是 b- 邻补角∴2x+3x=180, 解得r=36.∴2x=72.
3r=108. ∴∠1=36°.∠2=72°,∠3=108° . a 15.解：(1)答案不唯一。如：
同旁内角 ∠8. (2)能.其路径为
同务内角8.7.1.3两条直线被弟三条直线所靓
14.两条直线都与第三条直线相交，∠1和∠2
B中档题
是内错角，∠1和∠3是同旁内角，
知识点2三线八角之间的关系
4基础题一
10.新考向情境亲村数学课上，老师用双手
(1)根据上述条件，画出符合题意的图形。
6.如图，如果∠2=100°，那么∠1的同位角等于
形象地表示了“三线八角”图形，如图所示
(2)若∠1：∠2：∠3=1·2：3，求∠1，
知识点1认识同位角、内错角、同旁内角
,∠1的内错角等于
∠1的同
1.如图，直线a,b被直线c所截，划下列各组角
(两根大拇指代表被椒直线，食指代表截
∠2，∠3的度数.
劳内角等于
中，是同位角的是
线)，则从左至右依次表示
A.∠1与∠2
22
B.∠1与∠3
C.∠2与∠3
A同旁内角，同位角、内锴角
D.∠3与∠4
2.下列各图中，∠1和∠2是内错角的是(
第6盟图
芬7题图
B.同位角、内错角、对顶角
7.如图所示，若∠1=∠2，则下列各对角：①∠3
C.对顶角、同位角、同旁内角
车X主
和∠2：②∠4和∠2：③∠3和∠6：④∠4和
D同位角、内信角、同旁内角
∠8.其中相等的有
11.新考向传统文化风筝是中回古代劳动人
3.如图，直线a,b被直线c所截，则下列说法不
A.1对B.2对C.3对D.4对
民发明的，其材质在不断政进之后，坊间开
C综合题二
正确的是
8.如图，直线CD与∠AOB的边OB相交.
始用纸做风筝，被称为“纸鸢”在如图所示
15.一个跳棋棋盘如图所示，其游戏规则是：
A.∠1与∠5是同位角
(1)写出图中的同位角、内错角和同旁内角。
的纸骨架中，与∠]构成同位角的是(
枚棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳
B.∠3与∠6是同旁内角
动以后，到达终点角.跳动时，每一步只能跳
(2)如果∠1=∠2，那么∠1与∠4相等吗？
C.∠2与∠4是对顶角
到它的同位角或内结角或同旁内角的位贸
D.∠5与∠2是内错角
∠1与∠5互补吗？为什么？
上.例如，从起始角∠1跳到终点角∠3，其中
两种不同的路径如下：
5
路径1：∠1可彩内血∠9内：角∠3.
A.∠2
B.∠3
4
CE
C.∠4
D.∠5
路径2：∠1内甜角，∠12内雏角∠6同散角
第3题图
第4题图
12.如图，下列说法正确的是
∠10B游内曲∠3
4.如图，直线AD,BE被直线BF和AC所裁，
A.∠1和∠B是同位角
试一试：
则∠1的同位角是
,∠5的内错角是
B.∠2和∠3是内错角
(1)写出从起始角∠1跳到终点角∠8的
条路径
5.(粒材习题变式)如图，∠1与∠2、∠3与∠4、
C.∠3和∠4是对顶角
(2)从起始角∠1依次被同位角、内错角、同
∠1与∠4各是即两条直线被哪一条直线所
D.∠B和∠4是问旁内角
旁内角的顺序跳，能否跳到终点角∠8？
斌而形成的什么角？
易错点忽视截线导致找错位置角
9.下列图形中，∠1与∠2是同位角的有〔)
10
16
D
府章兰
第12题图
第13题图
13.如图，∠1的同位角是
,∠2的内错
A.@③④
B.①②④
角是
∠A的同旁内角是
C.②③
D.③④7.2 平
7.2.1 平 行
(
A
基
础
题
二
)
知识点1 认识平行
1.在同一平面内的两条不重合的直线的位置关 系为
2.在同一平面内，直线a 与b 满足下列条件，把 它们的位置关系填在后面的横线上.
(1)若a 与b 没有公共点，则a 与b
(2)若a 与 b 有且只有一个公共点，则a 与b
(3)若a 与b有两个公共点，则a 与b
3.下列说法正确的是 ( )
A. 在同一平面内，不相交的两条线段是平行线 B. 在同一平面内，不相交的两条射线是平行线 C. 不相交的两条直线是平行线
D. 以上说法均不正确
4.下列四边形中，AB 不平行于CD 的 是 ( )
A B C D
知识点2 用直尺和三角尺画平行线 5.用直尺和三角尺画平行线.
(1)如图1,M 是直线AB 外一点，过点M 画 直线CD, 使得CD//AB.
(2)如图2,经过BC 上一 点P 画 AB 的平行 线，交AC 于 点T, 过点C 画MN//AB.
图1 图2
行 线
线的概念
知识点3 平行线的基本事实
6.如图，已知OM//a、ON//a, 所以OM,N 三点 共线，理由是
第6题图 第7题图 7.如图，已知AB//CD, 过 点F 作 EF//AB.
∵AB//CD,
∴EF CD(
).
8.新考向 情境素材]如图1,风车是一种不需 燃料、以风作为能源的动力机械.图2是一个 风车的示意图，当风车的一片叶子AB 旋转到 与地面MN 平行时，叶子CD 与 地 面MN
(填"平行"或“不平行"),理由是
图1 图2 9.如图，P,Q 分别是直线EF 外两点.
(1)过点P 画直线AB//EF, 过 点Q 画直线
CD//EF.
(2)AB 与CD 有怎样的位置关系 为什么
易错点对平行线的基本事实理解不透彻而致错
10.如图，在同一平面内，经过一点作已知直线 m 的平行线，可作平行线的条数有( )
-m
A.0 条 B.1 条
C.0 条或1条 D.无数条
(
B
)
11.下列语句中，正确的有 ( )
①任意两条直线的位置关系不是相交就是 平行；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③过两条直线a,b 外一 点P 画直线c, 使c// a, 且c//b;
④若直线a//b,b//c,则c//a.
A.4 个 B.3 个
C.2 个 D.1 个
12. (教材习题变式)观察如图所示的长方体，回 答下列问题：
(1)用符号表示两棱的位置关系：A B AB,AA, AB,A D C D, AD BC.
(2)AB 与 B C 所在的直线不相交，它们 平行线(填“是”或“不是”).由 此可知，在 内，两条不相交 的直线才是平行线.
13.在同一平面内有2025条直线a ,a , … ,
a os,若a //az,a //a ,a //a,a,//as… 依 次类推，则 a 与 a 02s的 位 置 关 系 是
14.如图所示，取一张长方形硬纸板ABCD, 将 硬纸板A BCD 对折，使CD 与AB 重合，EF 为折痕，把长方形ABFE 平放在桌面上，另 一 个面CDEF 无论怎么改变位置，总有 CD//AB 成立，你知道为什么吗
15.如图所示，在∠AOB 内有一点P.
(1)过点P 画L //OA.
(2)过点P 画 L //OB.
(3)用量角器量一量，4与L 相交所形成的 角与∠O 的大小有什么关系
(
@
综
合
题
一
)
16.a,b,c 是平面内任意三条直线，其交点可能 有几个 请画出示意图.
7 . 2 平 行 线
7.2.1 平行线的概念
1.平行或相交2. (1)平行(2)相交(3)重合3.D 4.D
5.解：(1)(2)图略。
6.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行7.//如果两 条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
8.不平行过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
9. 解：(1)图略。(2)AB//CD. 理由：∵AB//EF.CD//EF∴AB//CD. 10.C 11.D 12.(1)//⊥⊥//(2)不是同一平面
13.a,//amn
14.解：∵AB//EF.CD//EF∴CD//AB.
15.解：(1)(2)图略。(3)图略，L 与么相交所形成的角与∠0相等或 互 补 。
16.解：如图所示，交点可能有0个或1个或2个或3个.
0个交点 1个交点 2个交点 3个交点7.2平行线
易错点对平行线的基本事实理解不透衔而致错
14,如图所示，取一张长方形硬纸板ABCD,将
10.如图，在同一平面内，经过一点作已知直线
硬纸板ABCD对折，使CD与AB重合，EF
7.2.1平行线的瓶念
的平行线，可作平行线的条数有(
为折痕.把长方形ABFE平放在桌面上，另
一m
知识点3平行线的基本事实
一个面CDEF无论怎么改变位置，总有
4基础题一
6.如图，已知OM∥a,ON∥a,所以O.M,N三
A.0条
B.1条
CD∥AB成立，你知道为什么吗？
知识点1认识平行
共线，理由是
C.0条或】条
D.无数条
1.在同一平面内的两条不垂合的直线的位置关
系为
中档题一
2.在同一平面内，直线a与b满是下列条件，把
11.下列语句中，正确的有
0
M
N
它们的位置关系填在后面的横线上，
①任意两条直线的位置关系不是相交就是
-a
(1)若a与6没有公共点，则a与6
第6题贸
第7题图
平行：
15.如图所示，在∠AOB内有一点P.
(2)若a与6有且只有一个公共点，则a与6
7.如图，已知AB∥CD,过点F作EF∥AB.
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行：
(1)过点P画1∥OA
AB∥CD,
③过两条直线a,b外一点P画直线c,使c∥
(2)过点P画：∥OB.
(3)若a与b有两个公共点，则a与b
EF
CD(
a,且c∥b:
(3)用量角器量一量，4：与k相交所形成的
3,下列说法正确的是
④若直线a∥b,b∥c,则c∥a.
A.在同一平面内，不相交的两条线段是平行线
8.新考向情境素材如图1，风车是一种不需
角与∠0的大小有什么关系？
燃料、以风作为能源的动力机械.图2是一个
A.4个
B.3个
B.在同一平面内，不相交的两奈射误是平行线
C.2个
D.1个
C.不相交的两条直线是平行绕
风车的示意图，当凤车的一片叶子AB旋转到
D.以上说法均不正确
与地面MN平行时，叶子CD与地面MN12.(教材习题变式)观察如图所示的长方体，回
(填“平行”或“不平行”)，理由是
4.下列四边形中，AB不平行于CD的是(
答下列问题
以
A
知识点2用直尺和三角尺画平行线
(1)用符号表示两楼的位置关系：A,B
5.用直尺和三角尺画平行线.
AB.AA)
AB.A D
CD,
图1
图2
(1)如图1，M是直线AB外一点，过点M画
AD
BC.
9.如图，P,Q分别是直线EF外两点。
直线CD,使得CD∥AB.
(1)过点P画直线AB∥EF,过点Q同直线
(2)AB与B1C所在的直线不相交，它们
合题-
(2)如图2，经过BC上一点P画AB的平行
CD∥EF.
平行线（填“是”或“不是”）.由
16.4,b,c是平面内任意三条直线，其交点可能
线，交AC于点T,过点C画MN∥AB
(2)AB与CD有怎样的位置关系？为什么？
此可知，在
内，两条不相交
有几个？请画出示意图
的直线才是平行线，
13.在问一平面内有2025条直线a1,a:,…,
azs若a1∥a:,ag∥ag,a∥a1,a,∥as…依
次类推，则41与a2s的位置关系是7.2.2 平
知识点1 同位角相等，两直线平行
1.如图，直线 a,b 被直线c 所截、当∠1 ∠2 时 ，a//b(填“>”“<”或“=”).
第1题图 第2题图
2.过直线外一点作已知直线的平行线的方法如图 所示，其依据是
3.如图，若∠1=∠2,则 // ;若 2 = / 3 , 则 _// .
第3题图 第4题图 4.根据要求完成下面的填空：
如图，直线AB,CD 被EF 所截.若已知∠1= ∠2,说明AB//CD 的理由.
理由：根据 ,得∠2=∠3. 又∵∠1=∠2,
∴∠1= ∠
∴AB// ( ). 知识点2内错角相等，两直线平行
5.如图，用符号语言表达平行线的判定方法2 “内错角相等，两直线平行”的推理形式：
∵ ∴a//b.
行 线 的 判 定 易错点不能准确识别截线与被截线，从而误
判两直线平行
11.如图，点E 在BC 的延长线上，则下列条件
中，不能判定AB//CD 的是 ( )
A. ∠D+∠DAB=180°
B.∠B=∠DCE
第5题图 第6题图
C. ∠1=∠2
6.如图，若∠1=∠2,则 // i者 D. ∠3=∠4
/3=∠4,则 // _
7.如图，CD⊥DA,DA⊥ AB,∠1=∠2. 请判断 B 中 档 题
DF 与AE 的位置关系，并说明理由.
12.如图，已知∠1=90°,为保证两条铁轨平行，
添加的下列条件中，正确的是 ( )
铁轨工 铁轨工
A. ∠2=90° B. ∠3=90°
知识点3 同旁内角互补，两直线平行 C. ∠4=90° D. ∠5=90°
8.如图，若∠1=100°,∠4=80°,则 //13.如图，下列说法错误的是 ( )
(
,理由是
) : 若∠3=70°,则当∠2= 时，可推出 AB//CD (
第9题图
要
想
判
定
AB/
)第8题图 9.如图，已知四边形ABCD, CD, 则需添加的条件是 10.如图，∠B=50°,CG 平 分 ∠DCF,∠DCG= 65°.试说明：AB//EF. A.若 a//b,b//c, 则 a//c B. 若∠1=∠2,则a//c C. 若∠3=∠2,则b//c D.若∠3+∠5=180°,则a//c 第13题图 第14题图 14 .新考向情境素材 |为响应国家新能源建 设，某市公交站亭装上了太阳能电池板.当 地某一季节的太阳光(平行光线)与水平线 的最大夹角为62°.如图，电池板AB 与最大 夹角时刻的太阳光线互相垂直，此时电池板 CD 与水平线的夹角为48°.要使AB//CD, ·需将电池板CD 逆时针旋转a(0
15.(救材新增习题变式)如图，直线MN 分别交 直线AB.CD 于 点E.F,EG 平 分 ∠AEF, FH 平分∠EFD, 且∠1=∠2.找出图中的
平行线，并说明理由.
【变式】 如 图 .AE 平 分
∠BAC,CE 平分∠ACD. 当
∠1和∠2满足 时，AB//CD.
(
合
题
) (
C
综
)
16.探索与发现：
(1)在同一平面内，若直线a ⊥a ,a ⊥a,,则直 线a 与a 的位置关系是 ,请说 明理由.
(2)在同一平面内，若直线a ⊥a ,az⊥a ,
a La,a⊥as, 则直线a 与 as 的位置关 系是
(3)在同一平面内，现在有2025条直线a az,a,…,a 02s, 且 有a ⊥az,a ⊥a,
ag⊥a,a⊥as, … , 依次类推，则直线a 与azos 的位置关系是
7.2.2 平行线的判定
1.=2.同位角相等，两直线平行3.AB DE BC EF
4.对顶角相等3 CD 同位角相等，两直线平行5. ∠4=∠1
6.AD BC AB CD
7.解：DF//AE. 理由如下：∵CD⊥DA,AB⊥DA∴∠CDA=∠DAB
=90°. ∵∠1=∠2.∴∠CDA-∠1=∠DAB-∠2. 即∠FDA= ∠EAD. ∴DF//AE.
8.AB CD 同旁内角互补，两直线平行110° 9.∠A+∠D=180°或∠B+∠C=180°
10.解：∵CG平分∠DCF.∠DCG=65°.∴∠DCF=2∠DCG=130°.
∴∠BCE=∠DCF=130°.∵∠B=50°,∴∠B+∠BCE=180°.∴ AB//EF.
11.D 12.C 13.C 14.20
15.解：AB//CD,EG//FH. 理由如下：∵EG 平分∠AEF,FH 平分
∠EFD∴∠1=∠GEF,∠2-∠DFH.∵∠1=∠2∴∠GEF=
∠2.∴EG//FH.∵∠1=∠GEF,∠2-∠DFH.∠1=∠2∴∠1
+∠GEF=∠2+∠DFH, 即∠AEF=∠DFE. ∴AB//CD
【变式】∠1+∠2=90°
16.解：(1)a,//a, 理由：如图，∵a,⊥a.a;⊥a∴∠1=∠2=90°. ∴
a,//a,.
(2)a,//a:(3)a,//aren7.2.2平行线的判定
易错点不能准蹦识别截线与被截缓，从而误
15,(牧材折增习短吏式)如图，直线MN分别交
判两直幾平行
直线AB,CD于点E,F,EC平分∠AEF,
个基础题
11.如图，点E在BC的延长线上，则下列条件
FH平分∠EFD,且∠1=∠2.找出图中的
中，不能判定AB∥CD的是
平行线，并说明理由，
知识点1同位角相等，两直线平行
A.∠D+∠DAB=18G
1.如图，直线a,b被直线c所靓当∠1
∠2
B.∠B=∠DCE
第5题图
第6题图
2一H
=
时，a∥b(填“>n“<”或“=”).
C.∠1=∠2
6.如图，若∠1=∠2，则
D.∠3=∠4
∠3=∠4，则∥
7.如图，CDLDA,DA⊥AB,∠1=∠2.请判商B中档题一
DF与AE的位置关系，并说明理由
12.如图，已知∠1=90°，为保证两条铁轨平行，
添加的下列条件中，正确的是
第1晒图
第2题图
凰
凰3
2.过直线外一点作已知直线的平行线的方法如图
铁轨四
D
【变式】如图，AE平分
铁执件士
D
所示，其依据是
∠BAC.CE平分∠ACD.当
枕木枕木
3.如图，若∠1=∠2，则∥
∠1和∠2满足
A.∠2=90°
B.∠3=90°
时，AB∥CD.
∠2=∠3，则∥
知识点3同旁内角互补，两直线平行
C.∠4=90
D.∠5=909
8.如图，若∠1=100°，∠4=80°.则
∥13.如图，下列说法错误的是
祭合题
,理由是
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
16.探素与发现：
若∠3=70°，则当∠2=
时，可推出
AB∥CD.
B.若∠1=∠2，则a∥c
(1)在同一平面内若直绿a⊥t:⊥4，则直
C.若∠3-∠2，则be
线a与a,的位置关系是
,请说
第3题图
第4恶图
D.若∠3+∠5=180°，则a∥c
明理由
4根据要求完成下面的填空：
(2)在同一平面内，若直绿4⊥2,2⊥43，
如图，直线AB,CD被EF所截.若已知∠1=
a1⊥a,a4⊥a4,则直线a1与的位置关
第8题图
第9题图
∠2，说明AB∥CD的理由
系是
9.如图，已知四边形ABCD,要想判定AB∥
水平窥
理由：根据
,得∠2=∠3，
(3)在同一平面内，现在有2025条直线41·
CD,则需添加的条件是
又∠1=∠2，
10.如图，∠B=50°，CG平分∠DCF,∠DCG=
第13恶图
第14题田
a:a,ags,且有a⊥at,a4⊥4，
a4土a4a⊥a…,依次类推，则直绿a
∠1=∠-
5°.试说明：AB∥EF
14.新考向悄境索材为响应国家新能源纯
与a2r的位置关系是
∴AB∥C
设，某市公交站亭装上了太阳能电池板，当
知识点2内错角相等，两直线平行
地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线
5.如图，用符号语言表达平行线的判定方法2
的最大夹角为62°.如图，电池板AB与最大
“内带角相等，两直线平行”的推理形式：
夹角时刻的太阳光线互相垂直，此时电池板
CD与水平线的夹角为48°.要使AB∥CD,
酷将电池板CD逆时针旋转。(0∴.a∥b.
度，则a=一7.2.3 平行线的性质 第 1 课 时 平 行 线 的 性 质 10. (2024 · 陕西改编)如图，AB//DC.BC// DE,∠B=145°, 求∠D 的度数.
知识点2两直线平行，内错角相等 5. (2024 ·河南)如图，乙地在甲地的北偏东 方向上，则∠1的度数为 ( A.60° B.50° C.40° D.30° 北
知识点1 两直线平行，同位角相等 1.如图，直线a//b,∠1=40°,则 ∠ 2 = ( ) A.30° B.40°
(
C.50°
D.60°
)北 乙 1
易错点误用平行线的性质致错 s0
11.已知∠1与∠2是同旁内角.若∠1=60°,则 甲
第5题图 第6题图 ∠2的度数是 ( )
(
第1题图
第2题图
2.如图，
a//b,∠1=60°,
则∠2的度数为(
)
A.90°
B.100°
C.110°
D
.120°
3
.
新考向跨学科
(教材习题变式)(20
24
·深
圳)如图，一束平行光线照射平面镜后反射，
∠1=∠2,∠3=∠4.若人射光线与平面镜的夹
角∠1=50°,则反射光线与平面镜的夹角∠4
的度数为
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
4.
(教材习题变式)如图，已知
a,b,c.d
四条直
线
，
a//b,c//d,∠1=110°,
求∠2的度数.
)A.60° B.120°
(
6.
(教材新增习题变式)(2024
·泸
州)把一块含
)C.60° 或120° D. 不能确定
30°角的直角三角板按如图所示的方式放置F
(
两条平行线乙间.右∠1=45°,则∠2=(
)B 中 档 题 一
A.10° B.15° C.20° D.30°
12. (2024 ·包头)如图，直线AB//CD, 点 E 在 7. (2023 ·营口改编)如图，AD 是∠ EAC 的平分 直线AB 上，射线EF 交直线CD 于点G, 则
(
图中与∠
AEF
互补的角有
(
)
)线，AD//BC. 若∠BAC=100°, 求 ∠C 的度数
(
( )
)A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
13. (2023 · 陕西)如图，l//AB,∠A=2∠B. 若
∠1=108°,则∠2的度数为 ( )
知识点3 两直线平行，同旁内角互补 A.36° B.46° (C.72° D.82°
8. (2024 ·湖北)如图，一条公路的两侧铺设了 AB,CD 两条平行管道，并有纵向管道AC连 通.若∠1=120°,则∠2的度数是 ()
A.50° B.60° C.70° D.80°
第13题图 第14题图
14.如图，将长方形ABCD 沿EF 对折，使得点
A 1 B D落在边AB 上的点G 处，点C 落在点H
c T TD 处.若∠1=26°,则∠2=
第8题图 第9题图 15.新考向》传统文化中华文化博大精深，汉
9.如图，AB//CD,AB⊥AE,∠CAE=42°, 则 字便是其中一块瑰宝.汉字中存在很多的
∠ACD 的度数为 “平行美”,如汉字“互”.将汉字“互”转化为
几何图形，如图所示，已知AB//CD//MH//
FN,EF//GH. 若 ∠BEM=100°, 求 ∠NGD 的度数.
综 合 题
16.如图所示的格线互相平行，小明在格线中作 已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所 满足的数量关系，他先作出∠AOB=60°.
(1)①如图1.点O 在一条格线上，当∠1= 20°时，∠2=
②如图2,点O 在两条格线之间，用等式 表示∠1与∠2之间的数量关系，并说 明理由.
(2)在图3中，小明作射线OC,使得∠COB= 45°.记OA 与图中一条格线形成的锐角 为a,OC 与图中另一条格线形成的锐角 为β,请直接用等式表示a 与β之间的数 量关系.
7:2.3 平 行 线 的 性 质 第 1 课 时 平 行 线 的 性 质
1.B 2.D 3.B
4.解：∵a//b∴∠1=∠3. ∵c//d∴∠3=∠4∴∠4=∠1=110°. ∴∠2=∠4=110°.
5.B 6.B
7.解：∵∠BAC=100°,∴∠EAC=180°-∠BAC=80°. ∵AD 是
∠EAC 的平分线∴ ∵AD//BC∴∠C =∠DAC=40°.
8.B 9.132°
10:解：∵AB//DC∴∠B+∠C=180°.∵BC//DE∴∠C=∠D∴
∠B+∠D=180°.∵∠B=145°∴∠D=180°-∠B=35°.
11.D 12.C 13.A 14.103°
15.解：∵AB//FN,∴∠BEM+∠F=180°∴∠F=180°-∠BEM=
80°. ∵EF//GH∴∠FNG=∠F=80°.∵CD//FN∴∠NGD- ∠FNG=80°.
16.解：(1)①40°②∠1+∠2=60°.理由：作OP 平行于格线. ∵格线 互相平行∴∠1=∠AOP;∠2=∠BOP.∵∠AOB=∠AOP+
∠BOP=60°∴∠1+∠2=60°. (2)a+β-105'或a-p=15'.7.2.3平行线的性质
10.(2024·快西改绮)如图，AB∥DC,BC∥
几何图形，如图所示，已知AB∥CD∥MH∥
第1课时平行线的性质
DE,∠B=145°，求∠D的度数.
FN,EF∥GH.若∠BEM=100°，求∠NGD
的度数.
团基础题一
知识点2两直线平行，内错角相等
5.(2024·河南)如图，乙地在甲地的北偏东
知识点1两直线平行，同位角相等
方向上，则∠1的度数为
1.如图，直线a∥b,∠1=40°，则∠2=
(
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
A.30
B.40°
C.50
D.60°
30
易错点误用平行线的性质致错
11.已知∠1与∠2是问旁内角.若∠1=60°，则
∠2的度数是
(
C综合题-
第5题图
第6驱图
第1题图
第2题图
A.60
B.120°
16.如图所示的格线互相平行，小明在格线中作
2.如图，a∥b,∠1=60°，则∠2的度数为(
6.(教村新增习题变式)(2024·泸州)把-块含
30角的直角三角柄松加图所示的方式放置子
C.60°或120
D.不能确定
已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所
A.90°
B.100
满足的数量关系，他先作出∠AOB=60°.
两条平行踩乙间.右∠1=45°，则∠2=(
C.110
D.120i
B中档题一
(1)①如图1，点0在一条格线上，当∠1=
A10°B.15°C.20°
D.30
3.新考向跨学科（教材习题支式）(2024·采
7.(2023·营口改：编)如图，AD是∠EAC的平升
12.(2024·包头)如图，直线AB∥CD.点E在
20时，∠2=
圳)如图，一束平行光线照射平面镜后反射，
直线AB上，射线EF交直线CD于点G,则
②如图2，点0在两条格线之间，用等式
线，AD∥BC.若∠BAC=100°，求∠C的度数
∠1=∠2，∠3=∠4.若入射光线与平面镜的夹
图中与∠AEF互补的角有
表示∠1与∠2之间的数量关系，并说
角∠1=50°，则反射光线与平面镜的夹角∠4
A1个
明理由。
B.2个
的度数为
(2)在图3中，小明作射线℃，使得∠COB=
(
C.3个
A.40°
45°，记OA与图中一条格线形成的锐角
D.4个
B.50°
为 ，O℃与图中另一条格线形成的锐角
C.60°
13.(2023·陕西)如图，l∥AB,∠A=2∠B.若
为B,请直接用等式表示。与B之间的数
∠1=108°，则∠2的度数为
(
D.70°
量关系
知识点3两直线平行，同旁内角互补
4.(救材可题吏式)如图，已知a,b,c,d四条直
A.36°B.46°C.72
D.82
8.(2024·湖北)如图，一条公路的两侧铺设了
线，a∥b,c∥d,∠1=110°，求∠2的度数
AB,CD两条平行管道，并有纵向管道AC
通.若∠1=120°，则∠2的度数是《)
A.50°
B.60°
C.70°
D.80
图1
图2
D
第13购图
第14题图
14.如图，将长方形ABCD沿EF对折，使得点
D落在边AB上的点G处，点C落在点H
C
处.若∠1=26°，则∠2=，
第8题图
第9愿因15.新考向传统文化中华文化博大精深，汉
9.如图，AB∥CD,AB⊥AE,∠CAE=42,则字便是其中一块魂宝.汉字中存在很多的
∠ACD的度数为
“平行美”，如汉字“互”.将汉字“互”转化为第 2 课 时 平 行 线 的 性 质 与 判 定 的 综 合 运 用
(
B
) (
∴∠
CBD+
=180°(
).
又∵∠
CBD=70°
、
∴∠
BDE=
)中 档 题
(
8.
如图，在四边形
ABCD
中，∠
ADC+
∠
C=
180°,连接
BD.
若 ∠
ABD=
∠
AD
B,
∠
A=
108°,则∠CBD
的度数为
(
)
A.30°
B.36°
(C.40° D
.42°
)基 础 题 一
知识点平行线的性质与判定的综合运用
1. (2024 · 呼和浩特)如图.直线L,l: 分别被直 线L ,么所截、∠1=∠2=130°,∠3=75°,则
(
∠4的度数为 ( )
)6.如图，在四边形 ABCD 中，点E,F 分 别 AB,CD 上，AD⊥AB,EF⊥AB,∠1+<2
A.75° B.105° C.115° D.130°
180°,G 为CA 延长线上的 一 点 .试说明
∠DFE=∠DCB
(
第8题图
第9题图
9.将一副三角板按如图所示的方式放置，其中
∠
D=
∠
BAC=90°,
∠
F=30°,
∠
B=45°,
则
∠BCF
的度数为
(
)
A.140° B.155° C
.165°
D.175°
10
.
新考向
传统文化
古代房梁建筑中多采用
“四梁八柱”的设计，其中蕴含着数学知识，
将房梁中的一些图形抽象出如图所示的几何
模型.在三角形
ABC
中，点
D,E,F
分别在边
AB,AC,BC 上，DF//AC,∠C=∠EDF,
则下列
结论错误的是 ( )
)请将下面的过程补充完整. 解：∵ADIAB,EF⊥ABS
(已知),
(
∴∠
EAD=
∠
BEF=90°
(
(同位角相等，两直线平行
∵∠1+∠2=180°(已知),∠1+∠
DAC
)第1题图 第2题图
2.如图，已知∠1=∠2,∠B=108°, 则∠BAD= ( )
A.82° B.112° C.108° D.72°
180°,
3.新考向情境素材如图，这是某次考古发掘
(
∴∠
2=
∠
DAC(
).
∴
AD//BC(
_
).
∴
EF//BC(
).
∴∠
DFE=
∠
DCB(
)出的一块四边形残缺玉片、工作人员从玉片 上已经量得∠A=82° . 已知∠B+∠C=180°,
则此玉片残缺角∠D 的度数为 ( )
A.60° B.82° C.98° D.120°
7.如图，这是某汽车标志图案的简化图形，其中 蕴含着一些几何知识.根据下面的条件解 问题：已知BC//AD,∠A=∠B.
(
(1)
BE
与
AF
平行吗 为什么
(2)若∠
EOA=125°,
求∠
A
的度数
.
)A.DE//BC B.∠ADE=∠B
(
C.
∠
BFD=
∠
AED
D.
∠
B+
∠
CED
=180°
11.如图，已知∠
AGF
=∠
ABC
,∠1+∠2=
180°.
(1)试判断
BF
与
DE
的位置关系，并说
明理由.
(2)若
BFLAC,
∠
2=135°,
求∠
AFG
的度数.
)第3题图 第4题图
4.如图，下列结论中，不一定正确的是( )
A. 若∠1=∠2,则AD//BC B.若 AD//BC, 则∠1=∠B C. 若∠2=∠ C, 则AE//CD
D. 若 AE//CD, 则∠1+∠3=180°
5.如图，AB//CD,∠ABC=∠CDE. 若∠CBD= 70°,试求∠BDE的度数.请补充求解过程，并 在括号内填上相应的理由.
解：∵AB//CD,
∴∠ABC=∠BCD. ∵∠ABC=∠CDE,
∴ =
∴BC//DE( ).
综 合 题
12.老师在课上提出了一个问题：“如图1.已知 AB//CD,EF⊥AB 于 点O.FG 交CD 于 点 P. 当∠1=30°时，求∠EFG 的度数."
(
图1
)图2
(
图3
)图4
甲、乙、丙三位同学分别用如图2、图3、图4 所示的不同的方法添加辅助线解决问题.
(1)补全甲同学的分析思路. 辅助线：过点F 作MN//CD. 分析思路：
①欲求∠EFG 的度数，由图可知，只需转化 为求 与 的度数之和；
②由辅助线作图可知，∠2=∠1;
③由AB//CD,MN//CD 可以推出 ,由此可推出∠3=∠4;
④由EF⊥AB 可得，∠4=90°,则可得 ∠3的度数，从而可求∠EFG 的度数.
(2)请根据乙同学所作的辅助线，补全求解 过程.
解：过点P 作 _ ,交AB 于点N.
=∠EFG (两直线平行，同 位角相等).
∵EF⊥AB∴∠BOF=90° . ∴∠BNP=∠BOF=90°(
).
∵AB//CD,
∴∠NPD+∠BNP=180°(
∴∠NPD=90° .
∴∠EFG=∠NPG=∠NPD+∠1=
(3)请根据丙同学所作的辅助线，求∠EFG 的度数.
第2课时平行线的性质与判定的综合运用
1.B 2.D 3.C 4.B
5.BCD CDE 内错角相等，两直线平行 BDE 两直线平行，同旁 内角互补110°
6.垂直的定义 AD EF 同角的补角相等内错角相等，两直线平 行平行于同一条直线的两条直线平行两直线平行，同位角相等
7.解：(1)BE//AF. 理由如下：∵BC//AD∴∠B=∠DOE. ∵∠A ∠B∴∠DOE-∠A.∴BE//AF.(2)∵BE//AF∴∠A+∠EOA =180°. ∵∠EOA=125°,∴∠A=180'-∠EOA=55° .
8.B 9.C 10.D
11.解：(1)BF//DE. 理由如下：∵∠AGF=∠ABC.∴GF//BC.∴∠1 =∠3.:∠1+∠2=180°,∴∠3+∠2=180°∴BE//DE.(2)∵
BFLAC∴∠AFB=90°.∵∠1+∠2=180°.∠2=135°∴∠1= 45°. ∴∠AFG=90°-45°=45'.
12.解：(1)①∠2 ∠3 ③AB//MN(2)NP//.EF ∠NPG 两直
线平行，同位角相等 两直线平行，同旁内角互补120°(3)∵ ON//FG∴∠EFG=∠EON,∠ONC=∠1=30°.∵AB//CD.∴
∠BON=∠ONC=30°.:EF⊥AB,∴∠EOB=90°.∴∠EFG= ∠EON=∠EOB+∠BON=90°+30°=120°第2课时平行战的性质与判定的综合运用
=180°(
中档题
C综合题
A基题一
∠CBD+∠
8.如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠C=
12.老师在课上提出了一个问题，“如图1.已知
AB∥CD,EF⊥AB于点O,FG交CD于点
知识点平行钱的性质与判定的综合运用
180°，连接BD.若∠ABD=∠AIDB,∠A=
又.∠CBD=70°
P.当∠1=30"时，求∠EFG的度数."
1.(2024·呼和浩排)如图，直线，1分别被直
108°，则∠CBD的度数为
'∠BDE=
6,如图，在四边形ABCD中，点E,F分则
A.30
B.36
C.40°D.42i
线14,4所截、∠1=∠2=130°，∠3=75，则
03
“2
∠4的度数为
()
AB,CD上，AD⊥AB,EFLAB,∠I+∠2
P文ID
P
A.75
B.105C.115D.1309
180°，G为CA延长线上的一点.试说
图2
∠DFE=∠DCB.
请将下面的过程补充完整，
第8随图
第9题图
解：'AD⊥AB,EF⊥AB
9,将一副三角板按如图所示的方式放置，其中
(已知)，
∠D=∠BAC=90°，∠F=30°，∠B=45,则
努1熙图
2题图
.∠EAD=∠BEF=90
∠BCF的度数为
图3
图4
2.如阁，已知∠1=∠2，∠B=108°.则∠B4D=
A.140°
B.155°
C.165°D.175°
甲、乙、丙三位同学分别用如图2、图3、图4
(同位角相等，两直线平
所示的不同的方法添加辅助线解决可题，
10.新害向传统文化]古代房梁建筑中多采用
(1)补全甲同学的分析思路.
4.82°
B.112°C.108°D.72°
'∠1+∠2=180°（已知）+∠1+∠DAC
“四梁八柱”的设计，其中蕴含若数学知识，
辅助线：过点F作MN∥CD
3藏考向情境素材如因，这是某次考古发据
180°，
将房梁中的一些图形抽象出如图所示的几何
分析思路：
①欲求∠EFG的度数，由图可知，只贡转化
出的一块四边形残缺玉片，工作人员从玉片
∠2=∠DAC(
模型.在三角形ABC中，点D,E,F分别在边
AD∥BC(
为求
与
的度数之和：
上已经量得∠A=82°.已知∠B十∠C=180°
AB,AC,BC上，DF∥AC,∠C=∠EDF,则下列
②由梢助线作图可知，∠2=∠1：
则此玉片残缺角∠D的度数为
,EF∥BC(
结论错误的是
③由AB∥CD,MN∥CD可以推出
由此可推出∠3=∠4：
A.60°
B.82
C.98
.∠DFE=∠DCB(
D.120
7.如图，这是某汽车标志图案的简化图形，其
④由EF⊥AB可得，∠4=90°，则可得
∠3的度数，从而可求∠EFG的度数
蕴含着一些几何知识.根据下面的条件帮
(2)请根据乙同学所作的抽助线，补全求解
问题：已知BC∥AD,∠A=∠B.
过程，
(1)BE与AF平行吗？为什么？
A.DE∥BC
B.∠ADE=
B
解：过点P作
交AB于点N.
=∠EFG(两直线平行，同
第3超图
第4莲图
(2)若∠E0A=125",求∠A的度数
C.∠BFD=∠AEDD.∠B+∠CED=180°
位角相等).
4.如图，下列结论中，不一定正琬的是
11.如图，已知∠AGF=∠ABC,∠1十∠2=
,EF⊥AB.∴∠BOF=90°
A若∠1=∠2，则AD∥BC
180°.
.∠BNP=∠BOF=90°(
.
B.若AD∥BC,则∠1=∠B
(I)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由：
AB∥CD,
C.若∠2=∠C,则AE∥CD
(2)若BF⊥AC,∠2=135°，求∠AFG的度数
∴∠NPD+∠BNP=180°(
D.若AE∥CD,则∠1+∠3=180
∴.∠NPD=90°.
5.如图，AB∥CD,∠ABC=∠CDE.若∠CBD=
∴.∠EFG=∠NPG=∠NPD十∠1=
70°，试求∠BDE的度数.请补充求解过程，并
在括号内填上相应的理由，
(3)请根据丙同学所作的辅助线，求∠EFG
的度数.
解：AB∥CD,
∠ABC=∠BCD
∠ABC=∠CDE,
∠
=∠
.BC∥DE(7.3 定义、命题、定理
第1课时 定义与命题
A 基础题
知识点1 定义与命题的概念
1.下列语句中，是命题的是 ( )
A. 你喜欢数学吗
B.取线段AB的中点 C. 美丽的天空
D. 两直线平行，内错角相等
2.下列语句中，属于定义的是 ( )
A.r 与y 的和等于0吗
B.作已知角的平分线
C. 连接两点的线段的长度，叫作这两点间的 距离
D.两点之间，线段最短 知识点2 真、假命题
3.下列命题中，是真命题的是 ( )
A. 邻补角互余 B. 对顶角相等 C.同位角相等
D. 过一点只能作一条直线与已知直线垂直
4.判断命题“若a>b, 则 |a|>|6|” 是真命题还 是假命题.答： (填“真命题"或“假 命题")
知识点3 命题的结构
5.命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两
条直线相互平行”的题设是 ,结论是这两
条直线相互平行.它是 命题(填“真”或
“假).
6.把命题“相等的角是对顶角”改写成“如
果……那么……"的形式：
7. (技材新增习题变式)写出下列命题的题设和 结论.
(1)若m=n, 则m+2=n+2.
(2)同旁内角互补.
(3)等角的余角相等.
(4)若a//b.b//c, 则 a//c.
B 中档题
8.交换下列命题的题设和结论，其中得到的新 命题是假命题的是 (
A. 两直线平行，内错角相等
B.相等的角是对顶角
C. 所有的直角都是相等的
D.若a=b, 则a-1=b-1
9 . 新考向)开放性问题根据图中所给信息，写 出一个真命题：
10.下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题! 是命题的，请先将它改写为“如果 … … 那
么……”的形式，并判断其是真命题，还是 命题 .
(1)同号两数的和一定不是负数.
(2)若x=2, 则10-5x=0.
(3)在直线AB上任取一点P.
7.3 定义、命题、定理
第1课时定义与命题
1.D 2.C 3.B 4.假命题5.在同一平面内，两条直线垂直于同— 条直线真6.如果两个角相等，那么这两个角是对頂角
7.解：(1)題设：m=m 结论：m+2=n+2.(2) 题设：两个角为同旁内 角：结论：这两个角互补，(3)題设：两个角相等：结论：这两个角的余 角也相等。(4)题设：a//b.b//c 结 论 ：a//c.
8.C 9.如果l //l , 那么∠1=∠3(答案不唯一)
10.解：(1)是命題.改写：如果两个数同号，那么这两个数的和一定不 是负数、它是假命题.(2)是命题.改写：如果x=2, 那么10-5x= 0.它是真命题. (3)不是命题.7.3定义、命题、定理
第1深时定义与合题
7(教材新增习题变式)写出下列命题的感设和
基础题一
结论
知识点】定义与命题的概念
(1)若m=,则m十2=m十2.
1.下列语句中，是命题的是
(2)同劳内角互补
(3)等角的余角相等、
A你喜欢数学吗？
(4)若a∥b,b∥c,则a∥e
B取线段AB的中点
C.美丽的天空
D.两宜线平行，内埽角相等
2.下列语句中，瓜于定义的是
A.x与y的和等于0吗？
B.作已知角的平分线
C.连接两点的线段的长度，叫作这两点间的
距离
B中档题=
8,交换下列命题的题设和结论，其中得到的
D两点之间，线段最短
命题是假命题的是
知识点2真、假命题
A.两直线平行，内错角相等
3,下列命题中，是其命题的是
B.相等的角是对顶角
A邻补角互余
C.所有的直角都是相等的
D.若a=b,则4-1=b一1
B.对顶角相等
9.新考向开放性问题根据图中所给信息，写
C.同位角相等
出一个真命题：
D.过一点只能作一条直线与已知直线垂直
4判所命题“若a>b,则lal>lbl”是其命慝还
是假命恩.答：
(填“真命趣”或“假
命题”).
10.下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命！
知识点3命题的结构
是命题的，诮先将它改写为“如果…到
5.命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两
么”的形式，并判断其是真命题，还是发
条直线相互平行"的题设是
命题，
,结论是这两
(1)同号两数的和一定不是负数，
(2)若x=2,则10-5x=0.
条直线相互平行.它是
命题（块“真"或
(3)在直线AB上任取一点P,
“假”).
6把命题“相等的角是对顶角”政写威“如咖
果…那么…”的形式
7.3定义、命题、定理
第1课时定义与命题
L.D2CB4.仅合驱5.在同一平而内，两条直线垂直于月一
条直使其6.如果西个角胡等，那么这两个角盘对原角
7,钥(1)题设1m=nu结论：叫十2一划+2.(2)面设：两个角为问旁内
角1结论，这两个角互补，(3》哑设：两个角相等1的论，站网个角的条
角也担辱.()西设a∥b,b∥c的论，a∥k,
&C9.如朵1∥.那么∠1■∠3（答案不唯一】
1息，师：(1)是命厦.改写：如果丐个数同号：郢么这两个致的和一定不
是负数，它是能命面.《)局命西，改写，如果x一2，趣么10一5x=
0.它是直命.(3)不是命画.第 2 课 时 定 理 与 证 明
(
础
题
) (
A
基
)
知识点1 定理的概念
1.命题“对顶角相等”是 ( )
A. 假命题 B. 定义
C. 定 理 D. 基本事实
2.下列说法错误的是 ( )
A. 命题不一定是定理，定理一定是命题
B. 定理不可能是假命题
C. 真命题是定理
D. 如果真命题的正确性是经过推理证实的， 那么这样得到的真命题就是定理
3.如图所示，用两个相同的三角板可以过点P 作出直线m 的平行线n, 能解释其中道理的定
理 是 ( )
A.同位角相等，两直线平行
B. 内错角相等，两直线平行
C.同旁内角互补，两直线平行 D. 对顶角相等，两直线平行
知 识 点 2 证 明
4. 新考向)开放性问题)要说明命题“若a >1,
则a>1" 是错误的，可以举的反例是a= (写出一个值).
5.如图，直线L 分别与直线AB,CD 相交于点 P,Q,PM⊥l 于 点P,∠1+∠2=90° . 求证：
AB//CD.
请完成证明过程，并在括号内填写推理依据.
证明：∵PM⊥L(已知),
∴ =90°( ).
∴∠APQ+∠2=90° .
∵∠1+∠2=90°(已知),
∴∠ =∠1( ). ∴AB//CD( ).
B 中档题
6.关于“垂线段最短”,有下列说法：①是命题； ②是假命题；③是真命题；④是定理.其中正 确的是 (填序号).
7.命题“两直线平行，内错角的平分线互相平 行”是真命题吗 如果是，请给出证明；如果 不是，请举出反例.
C 综合题
8 . 新考向开放性问题|如图，现有以下3个论 断：①AB//CD;②∠B=∠C;③∠E=∠F.
请以其中2个论断为题设，另一个论断为结 论构造命题.
(1)请写出所有的真命题.
(2)请选择其中一个命题加以证明.
第 2 课 时 定 理 与 证 明
1.C 2.C 3.B 4.-2(答案不唯一)
5.MPQ 垂直的定义 APQ 同角的余角相等 同位角相等，两直
线平行 6.①③④
7.解：是真命题.证明如下：已知：如图，AB//CD,BE.CF 分别平分
∠ABC 和∠BCD. 求证：BE//CF. 证明：∵AB//4_ CD∴∠ABC=∠BCD.∵BE.CF 分别是∠ABC. ∠BCD 的 平 分 线 ∴. ∠BCF ∴∠EBC=∠BCF.∴BE//CF.
8.解：(1)命题1:由①②得到③;命题2:由①③得到②:命题3:由②③ 得到①. (2)命题1证明如下：∵AB//CD∴∠B=∠CDF.∵∠B
=∠C∴∠C=∠CDF.∴CE//BF.∴∠E=∠F. 命题2证明如 下：∵AB//CD. ∴∠B=∠CDF. ∵∠E=∠F. ∴CE//BF. ∴∠C
=∠CDF.∴∠B=∠G. 命题.3.证明如下：∵∠E=∠F.∴CE// BF. ∴∠C=∠CDF.∵∠B=∠C∴∠B=∠CDF.∴AB//C第2课时
定里与法明
7.命题“两直线平行，内错角的平分线互相平
基础题一
行”是真命题吗？如果是，请给出证明：如果
知识点】定理的概念
不是，诸举出反例
1.命题对顶角相等”是
A.假命题
B.定义
C.定现
D基本事实
2.下列说法错误的是
A.命题不一定是定理，定理一定是命题
B.定理不可能是假命题
C.真命题是定理
D.如果真命题的正豌性是经过推理证实的，
那么这样得到的真命题就是定理
3.如图所示，用两个相同的三角板可以过点P
作出直线忧的平行线H,能解释其中道理的定
理是
A同位角相等，两直线平行
B.内错角相等，两直线平行
C综合题一
C.同旁内角互补，两直线平行
8.新考向开放性阿题如图，现有以下3个论
D.对顶角相等，两直线平行
断：①AB∥CD:②∠B=∠C:③∠E=∠F.
知识点2证明
请以其中2个论断为题设，另一个论断为结
4.新考向开放性问题要说明命题“若a2>1,
论构造命题.
则a>1”是错误的，可以举的反例是a=
(1)请写出所有的真命题.
(号出一个值).
(2)诗选择其中一个命题加以证明.
5.如图，直线l分别与直线AB,CD相交于点
P,Q,PML1于点P,∠1+∠2=90°.求证：
AB∥CD.
请完成证明过程，并在括号内填写推理依据。
证明：PM⊥l(已知)，
M
2
∠
=90°(
∠APQ+∠2=90.
一D
:∠1+∠2=90（已知），
∠
=∠1(
.
.AB∥CD(
B中档题一
6,关于“乖线段最短”，有下列说法：①是命题1
②是假命题；③是真命题；④是定理.其中正
确的是
(域序号).
第2课时定理与证明
1,C1.C3.B4.一2（答案不t一）
S.MPQ
恶直的定文APQ)角的余角相$
问位角相等，训直
效平行
6①0④
7.解：是真奇题.正明如下：已知，如田AB∥CD,BE,CF分到平分
∠ABC和∠BCD.求正：BE∥CF正明："AB∥A
CD,∠ABC-∠BCD."BE,CF分别是∠AEC.
∠BCD的平分战，÷∠EBC=子∠ABC,∠BCF
-∠BCD.∴LEBC-∠BCR..BE/CF.
8解：(1)奇题1：由①②母到⑦，角团2：由小图得到必命题3±由⑦@
很到①.(2)合E1正明如下：AB∥CD,∠B-∠CDF.∠B
=∠C.∠C=∠CDF.CE∥BF.∠En∠F奇题2旺明如
下："AB//CD,∠B=∠CDF.:∠E=∠F,.CE∥BF.∠C
-∠CDF.∠B=∠G.金题.3证朗如下：∠E口∠F,CE
BF,∴∠C=∠CDF.￥∠B=∠C.∠B=∠CDF.∴AB∥C7.4
知识点1 认识平移
1.下列现象是平移的是 ( )
A.电梯从一楼升到顶楼
B.卫星绕地球运动 C.对折一张纸
D.树叶从树上落下
2.“十四冬”于2024年2月27日在内蒙古自治 区正式闭幕.下列选项中，可以由吉祥物“安
(
(
)
)达”平移得到的是
(
D
) (
C
) (
A
) (
B
)安达
知识点2 平移的性质
3.如图，将三角形ABC 平移得到三角形DEF, 则下列结论中不一定成立的是 ( ) A.BE//CF
B.AD=CF
C.BE=EF
D.S三角形ABC=S 三角形DEF
4. (2023 ·怀化)如图，平移直线AB 至CD, 直 线AB,CD 被直线 EF 所截.若∠1=60°,则
∠2的度数为 ( )
A.30° B.60° C.100° D.120°
第4题图 第5题图
5.如图，将三角形ABC 沿射线BC的方向平移， 得到三角形 DEF. 若 EF=13,EC=8, 则平移 的距离为
6.如图，将三角形ABC沿射线AB 的方向平移
2 cm到三角形DEF 的位置.
(1)找出图中所有的平行线.
平 移
(2)找出图中与AD 相等的线段，并写出武 长度.
(3)若∠ABC=65°,求∠BCF 的度数.
知识点3 平移作图
7.下列平移作图错误的是 ( )
A B C D 8.如图，平移三角形ABC,使点A 移动到点A' 的位置.
(1)画出平移后的三角形A'B'C'.
(2)AA'和BB'的位置关系是
_,
数量关系是
(
B
中
档
题
一
)
9.如图，射线a,b 分别与直线l 交于点A,B, ∠1=44°,∠2=66°,将射线a 沿直线L向右平 移，当射线a 经过点B 时，∠3= (( )
A.66° B.68° C.70° D.72°
10.如图，把一个平行四边形纸板的一边紧靠数 轴平移，则点P 平移的距离PP' 为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 11.如图所示，现将上面的阴影方格块与下面的 两个阴影方格块合成一个完整的长方形，应 将上面的阴影方格块 ( ) A.先向右平移1格，再向下平移3格 B.先向右平移1格，再向下平移4格 C.先向右平移2格，再向下平移4格 D.先向右平移2格，再向下平移3格 (
第11题图
)第12题图 12. (2024 ·东营改编)如图，将三角形DEF 沿 FE 方向平移3 cm 得到三角形ABC.若三角 形DEF 的周长为24 cm, 则四边形ABFD 的周长为 ( ) A.27 cm B.30 cm C.33 cm D.36 cm 13.如图，直角三角形 DEF 是由直角三角形 ABC沿着BC方向平 移得到的.若AB=B 6 cm,BE=3cm,DH=2cm,则图中阴影 部分的面积为 14.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形 组成的网格中，三角形ABC的顶点A,B,C 在网格的格点(网格线的交点)上，将三角形 ABC 先向右平移3个单位长度，再向上平移 2个单位长度得到三角形A B C . (1)在网格中画出三角形A B C . (2)三角形A B C 的面积为_____.
(
选
专
)题 ①利 用 平 移 的 性 质 解 决 周 长 及 面 积 问 题 的 基 本 模 型 -
(
【模型展示】
)2.如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在 长方形地块内修筑同样宽的小路(图中阴影 部分),余下部分为绿化.若小路的宽为 2m, 则绿化的总面积是
(
周长=2
(a+b)
) (
S
白=
(a-x)(b-I)
)3.某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了 如图所示的三种图形.现计划用铁丝按照图
国针对训练同 1.如图，在一块长为mm、 宽为nm 的长方形 地面上，有一条弯曲的柏油马路(阴影部 分),马路任意位置的水平宽度都是1m, 其 他部分都是草地，则草地的面积为 m 第1题图 第2题图 形制作相应的造型，则关于所用铁丝的长
度，下列说法正确的是 ( ) b→ 丙
乙
A.甲方案所用铁丝最长 B.乙方案所用铁丝最长 C.丙方案所用铁丝最长 D.三种方案所用铁丝一样长
7.4 平 移 1.A 2.D 3.C 4.B 5.5.
6.解：(1)AE//CF.AC//DF,BC//EF.(2)AD=CF=BE=2 cm.
(3)∵AE//CF.∠ABC=65°∴∠BCF=∠ABC=65°.
7.C
8:解：(1)图略。(2)AA'//BB AA'=BB' 9.C 10.C 11.C 12.B 13.15 cm
14.解：(1)图略 微专题1
1.(mn-n)2.560m 3.D7.4平移
10.如图，把一个平行四边形纸板的一边紧推数
13.如图，直角三角形
轴平移，则点P平移的距离PP'为
DEF是由直角三角形
基题一
(2)我出图中与AD相等的线段，并写出其
ABC沿若BC方向平
长度
移符到的.若AB=
知识点1认识平移
(3)若∠ABC=65°，求∠BCF的度数
-3-2-】012345
6cm,BE=3cm,DH=2cm,则图中阴影
1,下列现象是平移的是
A.2
B.3
C.4
D.5
山.如图所示，现将上面的朗形方格块与下面的
部分的面积为
A.电梯从一楼升到顶楼
两个阴影方格块合成一个完整的长方形，应
14.如图，在由边长为】个单位长度的小正方形
B.卫星绕地球运动
将上面的阴彩方格块
组成的网格中，三角形ABC的顶点A,B,C
C,对折一张纸
A.先向右平移1格，再向下平移3格
在网格的格点（阿格线的交点）上+将三角形
D.树叶从树上落下
B.先向右平移1格，再向下平移4格
C.先向右平移2格，再向下平移4格
ABC先向右平移3个单位长度，再向上平移
2.“十四冬”于2024年2月27日在内紫古自治
D.先向右平移2格，再向下平移3格
2个单位长度得到三角形A,BC,
区正式闭荒.下列选项中，可以由吉祥物“安
(1)在网格中画出三角形A,B,C
达”平移得到的是
知识点3平移作图
(2)三角形A,B,C1的面积为
7.下列平移作图带误的是
安达
0
第H题图
第12题图
知识点2平移的性质
12.(2024·东营改编)如图，将三角形DEF沿
A
0
FE方向平移3cm得到三角形ABC.若三角
3.如图，将三角形ABC平移得到三角形DEF
8.如图，平移三角形ABC,使点A移动到点A'
形DEF的周长为24cm,划四边形ABFD
则下列结论中不一定成立的是
的位置
的周长为
A.BE∥CF
(1)画出平移后的三角形A'B'C
A.27 cm
B.30 cm
B.AD-CF
C.33 cm
D.36 cm
(2)AA'和BB的位置关系是
C.BE-EF
数母关系是
@幻利用平移的性质解决周长及面积问题的基本模型+一
D.S三角系ABC=S三S0CF
【模型展示】
2如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在
长方形地块内修筑同样宽的小路（图中阴影
+.(2023·怀化)如图，平移直线AB至CD,直
帝分)：余下部分为绿化.若小路的宽为
线AB,CD被直线EF所截.若∠1=60°，则
2m,则绿化的总而积是
∠2的度数为
3,某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了
A.30°
B.60
C.100°D.120
周长=2(a+b)
S=(a一x)(b-x)
如图所示的三种图形.现计划用铁丝按照图
国针对训练
形制作相应的造型，则关于所用铁丝的长
1.如图，在一块长为mm、宽为nm的长方形
度，下列说法正确的是
地面上，有一条弯曲的柏油马路.（阴影部
B中档题一
分)，马路任意位置的水平宽度都是1m,其
他部分都是草地，则草地的面积为
m2
第4题图
第5题图
9.如图，射线a,b分别与直线l交于点A,B,
30m
女母中
5.如图，将三角形ABC沿射线BC的方向平移，
∠1=44°，∠2=66°，将射线a沿直线1向右平
得到三角形DEF.若EF=13,EC=8,则平移
移，当财线a经过点B时：∠3=
(
A,甲方案所用铁丝最长
的距离为
A.66"
B.乙方案所用铁丝最长
第1题图
第2题图
C.丙方案所用铁丝最长
6.如图，将三角形ABC沿射线AB的方向平移
B.68
D.三种方案所用铁丝一祥长
2cm到三角形DEF的位置
C.70
(1)找出图中所有的平行线
D.72