小 专 题 2 平 行 线 的 性 质 与 判 定 的 综 合 运 用
(
5.
(2024
·福建)在同一平面内，将直尺、含
角的三角板和木工角尺(CD⊥DE) 按如角
示的方式摆放.若
AB//CD,
则
∠
1
=
(
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
题组3
抽象出平行线模型求角度
)类型1 利用平行线的性质与判定求角的度数 题组1 直接利用平行线的性质或判定求角度 1.(2023 ·长沙)如图，直线m//n、点A在直线》 上，点B 在直线m 上，连接AB、过点A 作
AC⊥AB,交直线m 于 点C. 若∠1=40°,则
∠2的度数为 ( )
(
示，已知∠1=102°,则∠2的度数为_
)6.(2023·烟台)一杆秤在称物时的状态如的
A.30° B.40°
C.50° D.60°
(
第6题图
第8题图
7.随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生福
方式已融入人们的日常生活.如图，这是共道
单车车架的示意图，线段
AB,CE,DE
分别
前叉、下管和立管(点C
在
AB
上)
,EF 为后下
叉.已知AB//DE,AD//EF,∠BCE=67,
∠
CEF=137°,
则∠
ADE
的度数为
(
)第1题图 第2题图
2.如图，直线a,b 分别被直线c.d 所截.已知 ∠1+∠2=180°,∠3=108°,则∠4=( )
A.72° B.80°
C.82° D.108°
3.如图，已知直线AB//EF.AB//CD,∠ABE=
50°,EC 平分∠BEF, 则∠DCE的度数为
( )
A.155°
B.145°
C.125°
_
(
A.43° B.53°
C.67°
D.70°
)D.105°
题组2 借助学具的特征求角度 4. (2024 ·盐城)如图，小明将一块直角三角板 摆放在直尺上.若∠1=55°,则∠2的度数为 ( ) A.25° B.35° C.45° D.55° 第4题图 第5题图 8. (2024 ·潍坊)一种路灯的示意图如图所示， 其底部支架AB 与吊线FG 平行，灯杆CD与 底部支架AB 所成的锐角α=15°,顶部支架 EF 与灯杆CD 所成的锐角β=45°,则EF与 FG 所成锐角的度数为 ( ) A.60° B.55° C.50° D.45° 题组4 折叠问题中求角度 9.如图，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点D,C 分别落在 点D',C 的位置.若∠EFB=B 75°,则∠AED '的度数为
10.如图，将一张长方形纸条折叠，若边AB// CD, 则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是 ( )
A.∠1=2∠2
B. ∠1+∠2=90° C. ∠1-∠2=30° D.2∠1-3∠2=30°
11.如图，图1是长方形纸带，将纸带沿EF 折叠 成图2,再沿 BF 折叠成图3.若图1中的 ∠DEF=20°, 则图3中的∠CFE 的度数是
( )
(
E
B G
) (
E
) (
F-
>c
)只 C
(
B
)下
D
(
图3
)图1 图2
A.120° B.140°
C.150° D.160° 类型2 与平行线有关的证明
12.如图，已知AD⊥BC 于 点D,EF⊥BC 于点
F,∠3=∠E. 求证：AD平分∠BAC
13.如图，已知点E,F 在直线AB 上，点G 在线
段CD 上，ED 与FG交于点H,∠C=∠EFG,
∠CED=∠GHD.
(1)求证：AB//CD.
(2)若∠EHF=75°,∠D=35°,求∠AEM 的 度数.
14.【问题情境】在综合与实践活动课上，老师让 同学们以“平行线的等角转化功能”为主题 开展数学活动.已知直线AB//CD,E 是AB 和CD之间的任意一点，连接BE.CE, 请完 成下面任务.
【任务1】(1)如图1.若∠B-∠C=90°, 则线
段BE 与CE 的位置关系是
【任务2】(2)如图2,延长CE 至点F,试说明： ∠1=∠B-∠C (提示：过点E 作 EH//AB). 【任务3】(3)如图3,连接 BD.AC.E 是 ∠ABD和∠ACD的平分线的交点.若∠1= 54°,∠2=66°,请直接写出∠E 的度数.
(
图1
) (
图3
)图2
小专题2 平行线的性质与判定的综合运
1.C 2.A 3.A 4.B 5.A 6.78°7.D 8.A 9.30°10.B
11.A
12.证明：∵AD⊥BC,EFIBC:3 些ADC=∠EFC=90°∴AD//
EF. ∴∠1=∠E. ∠2=∠3.又∵∠3=∠E,∴∠1=∠2. ∴AD 平 分∠BAC.
13.解：(1)证明：∵:∠CED=∠GHD∴CE//FG. ∴∠C=∠FGD. ∵
∠C=∠EFG∴∠FGD=∠EFG.∴AB//CD.(2)∵CE//FG;
∠EHF=∠GHD=75°.∴∠CED=∠GHD=75°.∵AB//CD.
∠D=35°,∴∠HEF=∠D=35°.∴∠AEM=∠CEF=∠CED+ ∠HEF=75°+35°=110° .
14.解：(1)垂直(2)过点E 作EH//AB, 则∠B+∠BEH=180°.∵
∠1+∠BEH+∠CEH=180°∴∠1+∠BEH+∠CEH=∠B+
∠BEH∴∠1+∠CEH=∠B.∵AB//CD.∴EH//CD.∴
∠CEH=∠C∴∠1+∠C=∠B,即∠1=∠B-∠C.(3)∠E=
150° .小专题2平行线的性质与判定的综合运用
10.如图，将一张长方形纸条折叠，若边AB∥
(2)若∠EHF=75°，∠D=35,求∠AEM的
类型【利用平行线的在质与判定求角的度数
5.(2024·建)在同一平面内，将直尺，含
CD,则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是
度数
题组1直接利用平行线的性质或判定求角度
角的三角板和木工角尺(CD.LDE)按如店
1(2023·长沙)如图，直线m∥H点A在直线1
示的方式探放.若AB∥CD,则∠1=(
A.∠1=2∠2
上，点B在直线m上，连接AB,过点A作
A.30°B.45°C.60°D.75°
B.∠1+∠2=909
AC⊥AB,交直线m于点C.若∠1=0°，则
题组3抽象出平行线模型求角度
C.∠1-∠2=30
D.2∠1-3∠2=30
∠2的度数为
6.(2023·烟合】一杆秤在称物时的心如听1山.如图，图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠
A.30°
B.40
示，已知∠1=102°，则∠2的度数为
C.50
成图2，再沿BF折叠成图3.若图1中的
D.60°
∠DEF=20°，则图3中的∠CFE的度数是
14.【问题情境】在综合与实费活动谋上，老师让
同学们以“平行线的等角转化功能”为主题
开展数学活动.已知直线AB∥CD,E是AB
2
和CD之间的任意一点，连接BE,CE,谛完
第1题图
第2要区
成下面任务.
第6题图
第8题图
图1
2
2.如图，直线a.b分别披直线c,d所截.已知
A.120°
B.140°
【任务】(1)如图1，若∠B一∠C=90”,则绕
∠1+∠2=180，∠3=108，则∠4=()
7.随若科技发展，骑行共草单车这种“低破”生
方式已融入人们的日常生话.如图·这是共单
C.150°
D.160
段BE与CE的位橙关系是
A.72
B.80°
【任务2】(2)如图2，延长CE至点F,试说明：
C.82
单车车架的示意图，线段AB,CE,DE分
类型2与平行线有关的证明
D.108°
12.如图，已知AD⊥BC于点D,EF⊥BC于点
∠1=∠B-∠C(提示：过点E作EH∥AB).
前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下
3.如图，已知直线AB∥EF.AB∥CD,∠ABE
【任务3】(3)如图3，连接BD,AC.E是
叉.已知AB∥DE,AD∥EF,∠BCE=r
F,∠3=∠E.求证：AD平分∠BAC
50°，EC平分∠BEF,则∠DCE的度数为
∠ABD和∠ACD的平分线的交点.若∠I=
∠CEF=137,则∠ADE的度数为
54°，∠2=66°，请直接写出∠E的度数.
A.155
B.145
-C.125
D.105
A.43°
B.53°
C.67°
D.70
题组2借助学具的特征求角度
8.(2024·罪坊)一种路灯的示意图如图所示，
4.(2024·量城)如图，小明将一块直角三角板
其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与13.如图，已知点E,F在直线AB上，点G在线
摆放在直尺上.若∠1=55°，则∠2的度数为
底部支架AB所成的锐角a=15°，顶部支架
段CD上，ED与FG交于点H,∠C=∠EFG,
()
EF与灯杆CD所成的锐角B=45°，则EP与
∠CED=∠GHD
A.25
B.35
FG所成锐角的度数为
(1)求证：AB∥CD
C.45
D.55
A.60°B.55
C.50
D.45
题组4折叠问题中求角度
9如图，把一个长方形纸片沿
EF新格后，点D,C分别落在
点D',C的位置.若∠EFB=
愿图
75”,则∠AED的度数为小 专 题 1 平行线中的“拐点”问题
【例】如图，如果AB//CD//EF, 那么 ∠BAC+∠ACE+∠CEF= ( ) A.180°B.270°C.360° D.540° 例题图 拓展变式题图 【拓展变式】如图，若AB//CD, 则∠A+ ∠E+∠F+∠C= 万 法 看 导 当两条平行线不是被第三条直线所截，而 是被一条折线所截时，则不能直接应用平行线 的性质，因此需过折线的“转折点”作一条平行 线，利用平行公理的推论得出三条直线互相平 行，从而多次利用平行线的性质解决问题。 变式1 变“外凸”为“内凹” 【变式1】如图，已知AB//CD, 试判断∠B, ∠BED 和∠D之间的数量关系，并说明理由. 【运用】(2023 ·鄂州)如图，直线AB//CD, GE⊥EF 于点E. 若∠BGE=60°, 则∠EFD 的 度数是 ( ) A.60° B.30° C.40° D.70° 变式2 变“平行线间”为“平行线的外部” 【变式2】已知AB/CD,E 为AB,CD 外部的 意一点. (1)如图1,探究∠BED 与∠B,∠D 之间的数办 关系，并说明理由。 (2)如图2,探究∠CDE 与∠B,∠BED 之间的 数量关系，并说明理由. 图1 图2 【运用】(2024 · 巴中)如图，直线m//n, 把一 块含30°角的直角三角板按如图所示的方式放 置.若∠1=40°,则∠2的度数为 ( ) A.70° B.60° C.50° D.40°
变式3 变“一次”为“多次”
【变式3】(1)如图1,AB//CD, 则∠E+∠G
∠B+∠F+∠D(填“>"“<”或“=”)。
_
(2)如图2,若AB//CD, 则∠E ,∠E ,…,∠E. 与∠B,∠D,∠F,∠F ,…,∠F.- 之间有 什么数量关系 请直接写出结论.
图1 图2
区针对训练
1.(2023 ·海南)如图，直线m//n, 在直角三角 形ABC中，∠B=90°, 点 C 在直线n 上.若
∠1=50°,则∠2的度数是 ( )
A.60° B.50° C.45° D.40°
2.为保护中学生的视力，某公司推出了护眼灯，
其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图 所示，其中BC⊥AB,ED//AB. 经使用发现， 当∠DCB=140° 时，台灯光线最佳，则此时
∠EDC的度数为 ( )
A.130° B.120° C.110° D.100°
第2题图 第3题图
3.如图，已知直线AB//CD,∠1=60°,∠1=
2∠F,则∠2= ( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
4.如图，这是我们生活中经常接触的小刀，其刀 柄是一个直角梯形(挖去一个半圆),刀片上 下是平行的，转动刀片时会形成∠1,∠2,则 ∠1+∠2=
第4题图 第5题图
5.如图，若AB//CD,BF 平分∠ABE,DF 平分
∠CDE,∠BED=92°,则∠BFD=
6.新考向》综合与实践问题情境：
图1 图2 图3 图4
如图1,已知∠B+∠E+∠D=360°, 试探究 直线AB 与CD 有怎样的位置关系，并说明 理由.
小明给出下面正确的解法：
直线AB与CD 的位置关系是AB//CD. 理由：过点E 作EF//AB(如图2所示), ∴∠B+∠BEF=180°(依据1). ∵∠B+∠BED+∠D=360°℃已知) ∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=360° . ∴∠FED+∠D=180° . ∴EF//CD(依据2). ∵EF//AB,
交流反思：
(1)上述解答过程中的“依据1”“依据2”“依据 3”分别指什么
依据1 : 依据2:
依据3 : 类比探究：
(2)如图3,当∠B,∠E,∠F,∠D 满足条件 时，
有AB//CD. 拓展延伸：
(3)如图4,当∠B,∠E,∠F,∠D 满足条件
时，
有AB//CD.
小 专 题 1 平行线中的“拐点”问题
【例】 C【 拓展变式】 540°
【变式1】解：∠BED=∠B+∠D理. 由如下：过点E 作EF//AB. 则
∠B=∠BEF.∵AB//CD. ∴EF//CD. ∴∠DEF=∠D. ∵∠BED=
∠BEF+∠DEF∴∠BED=∠B+∠D.
【运用】 B
【变式2】解：(1)∠B-∠BED+∠D. 理由如下：过点E 作EF // AB. ∴∠BEF=∠B.∵AB//CD.∴EF//CD.∴∠D=∠DEF.
∠BEF=∠BED+∠DEF∴∠B=∠BED+∠D.(2)∠CDE=∠B
+ ∠BED.理由如下：过点E 作EF//AB.∴∠B=∠BEF.∵AB//
CD. ∴EF//CD.∴∠CDE=∠DEF.∵∠DEF=∠BEF+∠BED. ∴
∠CDE=∠B+∠BED. 【运用】 A
【变式3】解：(1)=,(2)∠B+∠F +∠F +…+∠F-r+∠D=
∠E +∠E +…+∠E..
针对训练
1,D 2.A 3.C 4.90'-5.46
6. (1)两直线平行，同旁内角互补同旁内角互补，两直线平行平行
于同一条直线的两条直线平行(2)∠B+∠E+∠F+∠D=S40°
(3)∠B+∠E+∠D-180°+∠F小专题1平行线中的“拐点”问题
变式3变”一次"为“多次”
F<
【例】如图，如果AB∥CD∥E下，那么|变式2变平行线间“为“平行线的外部”
【变式3】(1)如图1，AB∥CD,则∠E+∠G
∠B十∠F+∠D(填>“<"或“=").
∠BAC+∠ACE+∠CEF=
【变式2】已知AB∥CD,E为AB,CD外部能(2)如图2，若AB∥CD,则∠EB,∠E,∠E
第1愿图
第5题图
A.180°B.270°C.360°D.540°
意一点
与∠B,∠D,∠F,∠F,,∠F.1之间有
5.如图，若AB∥CD,BF平分∠ABE,DF平分
(1)如图1，探究LBED与∠B,∠D之间的数
什么数量关系？请直接写出结论。
∠CDE,∠BED=92°，则∠BFD=
4
关系，并说明理由，
B
6.新考向综合与实腰问题情境：
(2)如图2，探究∠CDE与∠B,∠BED之间
C D
数量关系，并说明理由。
G≤
例煙图
角展变式匿图
图2
C D
C D
【拓展变式】如图，若AB∥CD,则∠A+
图1图2图3图4
∠E+∠F+∠C=
如图1，已知∠B+∠E+∠D=360°，试探究
可老6自++一
直线AB与CD有怎样的位置关系，并说明
图1
针对练国
当两条平行缘不是被第三条直线所找，而
理由
1.(2023·海南)如图，直线m∥n,在直角三角
是被一条折埃所获时，则不能宜接应用平行缘
小明给出下面正确的解法：
形ABC中，∠B=90°，点C在直线n上.若
的性质，因此需过折线的“转新点”作一条平行
直发AB与CD的位置关系是AB∥CD
∠1=50°，则∠2的度数是
理由：过点E作EF∥AB(如副2所示)，
线，利用平行公理的推论得出三条直线互相平
A.60
.∠B+∠BEF=180(依器1).
行，从而多次利用平行线的性质解夹问思。
B.50°
:∠B十∠BED+∠D=360(巳知)，
变式1变“外凸”为“内凹”
C.45
,∠B+∠BEF+∠FED十∠D-30'
D.40
∠FED+∠D=180°，
【变式1】如图，已知AB∥CD,试判断∠B,
2.为保护中学生的视力，某公司推出了护眼灯，
,EF∥CD(依2)，
∠BED和∠D之间的数量关系，并说明理由，
其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图
EF∥AB,
所示，其中BCLAB,ED∥AB,经使用发现，
∴AB∥CD(依据3).
当∠DCB=140°时，台灯光线最佳，则此时
交流反思：
∠EDC的度数为
(1)上述解答过程中的“依据1“依据2m依据
A.130°B.120°
C.110°D.100°
3分别指什么？
E
依据1：
依据2：
依据3：
类比探究：
【运用】(2023·鄂州)如图，直线AB∥CD,
【运用】(2024·巴中)如图，直线m∥n,犯-
第2瑟图
第3竖图
(2)如图3，当∠B,∠E,∠F,∠D满足条件
GE⊥EF于点E,若∠BGE=60°，则∠EFD的
3.如图，已知直线AB∥CD,∠1=60°，∠1-
时，
块含30角的直角三角板按如图所示的方式放
2∠F,则∠2=
(
有AB∥CD
度数是
置.若∠1=40°，则∠2的度数为
A.20°B.25°C.30°D.35
拓展延伸：
A.60°
A.70
B.30°
(3)如图4，当∠B,∠E+∠F,∠D满足条件
B.60
4,如图，这是我们生活中经常接触的小刀，其刀
C.40°
柄是一个直角梯形（挖去一个半圆），刀片上
C.50°
时，
下是平行的，转动刀片时会形成∠1，∠2，则
有AB∥CD.
D.70°
D.40°
∠1+∠2=数学活动折纸中的数学
1.如图，已知四边形纸片ABCD, 按如图所示的折纸方法，能折出经过点A 且平行于BC的折痕吗
说说你的理由.
2.请同学们准备一张长方形纸片，我们来折一折.
(1)如图1,将长方形纸片ABCD 沿直线EF 进行翻折，使点A,B 的对应点A',B'落在长方形纸片 的外部，请问∠A'ED 与∠B'FC 之间有怎样的数量关系 试说明理由.
(2)如图2,将长方形纸片ABCD 沿直线 EF 进行翻折，使点A的对应点A'落在长方形纸片的外 部，点B 的对应点B'落在长方形纸片的内部，则(1)中的结论还成立吗 试说明理由.
(3)如图3,将长方形纸片ABCD 沿直线 BE 进行翻折，使点A 的对应点A '落在长方形纸片的内 部，请问∠A'ED 与∠A'BC之间有怎样的数量关系 试说明理由.
(4)如图4,将长方形纸片ABCD 沿直线BE 进行翻折，使点A 的对应点A '落在长方形纸片的外 部，则(3)中的结论还成立吗 试说明理由(提示：可考虑先使用量角器测量角度，猜想数量关 系后再思考原因).
图1 图2 图3 图4
平
数学活动折纸中的数学
1.解：能.AF 即为经过点A 且平行于BC 的折痕.理由：由翻折可知， BC⊥DE.AFLDE∴∠AGD=∠BED=90°.∴AF//BC.
2.解：(1)∠A'ED=∠B'FC.理由：∵四边形ABCD是长方形，∴AD //BC. ∴A'E//B'F.∴∠A'ED=∠EGF.∠EGF=∠B'FC.I
∴∠A'ED=∠B'FC.(2)(1) 中的结论还成立：理由：∵将长方形纸 片沿直线EF 进行翻折∴∠AEF=∠A'EF,∠BFE=∠EFB'. ∵
AD//BC∴∠AEF=∠EFC.∠DEF=∠BFE.∴∠A'EF=
∠EFC,∠DEF点∠EFB'∴∠A'EFr∠DEF=∠EFC-
∠EFB’.即∠A'ED=∠B'FC. (3)∠A'ED+∠A'BC=90: 理由i ∵将长方形纸片沿直线BE 进行翻折，∴∠A=∠EA'B=90° 、 过点
A'作A'F//BC,则A'F//BC//AD.∴∠A'ED=∠EA'F,∠CBA'
= ∠FA'B.∴∠A'ED+∠A'BC=∠EA'F+∠FA'B=∠EA'B= 90°. (4)(3)中的结论不成立.理由：过点A'作A'F//BC, 则A'F// BC//AD. ∴∠FA'B=∠A'BC.∠A'ED=∠FA'E.∵∠BA'E=
∠A=90°∴∠A'ED-∠A'BC=∠EA'F-∠FA'B=∠EA'B=
90° .数学活动折纸中的数学
1如图，已知四边形纸片ABCD,按如图所示的折纸方法，能折出经过点A耳平行于BC的折痕则？
说说你的理由。
2.请同学们准备一张长方形纸片，我们来折一折.
(1)如图1，将长方形纸片ABCD沿直线EF进行翻折，使点A,B的对应点A',B落在长方形纸片
的外部，请问∠A'ED与∠BFC之间有怎样的数量关系？试说明理由.
(2)如图2，将长方形纸片ABCD沿直线EF进行翻折，使点A的对应点A‘落在长方形纸片的外
部，点B的对应点B落在长方形纸片的内部，则(1)中的结论还成立吗？试说明现由.
(3)如图3，将长方形纸片ABCD沿直线BE进行翻折，使点A的对应点A'落在长方形纸片的内
部，请问∠AED与∠ABC之间有怎样的数量关系？试说明理由.
(4)如图4，将长方形纸片ABCD沿直线BE进行翻折，使点A的对应点A'落在长方形纸片的外
部，则(3)中的结论还成立吗？试说明理由（提示：可考虑先使用量角器量角度，猎想数量关
系后再思考原因)，
图1
图2
图3
图4
中
数学活动
折纸中的数学
1.解：能.AF即为经过点A且平行于C的折班.由x由且折可知，
BC.LDE.AF⊥DE.∠AGD=∠BED-90..AF∥EC
2,屏，(1)∠AED=∠FFC,理由：：四边形ABCD是长打形，”AD
HBC.∴A'E∥EF,∴∠A'ED=∠EGF,∠EGF ∠BFC.
.∠A'ED一∠BFC.(2)(1)中的结论压成立题由：格长方形纸
片沿觐EF进行图折，∠AEF■∠A'EF,∠BFE=∠EFBE.:
AD/BC.,∠AEF■∠EFC.∠DEF ∠BFE,∴∠A'EFn
∠EFC.∠DEF点∠EF.∠A'EF-P∠DEF■∠EFC一
∠EFB.即∠A'ED-∠BFC.〔3)∠A'ED+∠A'BC=0.由i
"路长方打形纸片沿直线BE进行里折，“∠A=∠EAB■0，过点
A作A'P∥BC,则.A'F∥BC∥AD.∠A'ED-∠EA'F,∠CBA
-∠EAB.∠A'ED十∠A'BC=∠EA'F+∠FA'B=∠EA'B=
90'.(4)(3)中的结论不成立，四由：过点A作A'F∥C,则A'F∥
BC∥AD.,∠FA'B=∠A'BC.∠A'ED=∠FA'E.∠BAE-
∠A=g0'+∠A'ED=∠A'BC=∠EA'F-∠FA"B=∠EA'Bm
90,章 末 复 习 ( 一 ) 相 交 线 与 平 行 线 10.欢欢观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻
的情形抽象成数学问题：如图，已知AB// (2)若∠AOC:∠OOE=2:3, 求∠DOF 的 度 CD,∠A=92°,∠C=115°,则∠E 的度数是
01考点针对练 考点1 与相交线有关的概念和性质 1. (2024 ·广西)已知∠1与∠2是对顶角，若 ∠1=35°,则∠2= 2.如图，直线AB,CD 相交于点O, 若∠EOD= 40°,∠BOC=130°, 则射线OE 与直线AB的 位置关系是
11.如图，AB//CD,E 是直线AB 上一点，CE 平 分∠ACD,CF⊥CE,∠1=28°. (1)求∠ACE的度数. 考点2 平行线的性质与判定 (2)若∠2=62°,求证：CF//AG. 6.如图，已知在音符中，AB//CD. 若∠BAcs 104°,则∠ACD 的度数为 ( A.76° B.78° C.82° D.104° 第6题图 第7题图 7.(2024 ·兰州)如图，小明在地图上量得∠1≈
第2题图 第3题图 3.下列说法不正确的是 () A. ∠1 与∠4是同位角 B. ∠3 与∠5是同旁内角 C. ∠3 与∠4是内错角 D. ∠3 与∠6是同位角 4.如图，AB⊥BC, 垂足为B,AB=4.5,P 是射 线BC 上的动点，则线段AP 的长不可能是 ( )
∠2,由此判断幸福大街与平安大街互相平考点3 定义、命题与定理 行，他判断的依据是 ( 12.新考向 开放性问题如图，已知下列三个 A.同位角相等，两直线平行 条件：①∠1+∠2=180°;②∠3=∠A;
A.6 B.5 C.4.5 D.4.4
B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.对顶角相等 8.如图，将一张长方形纸片对折两次，则形成的 两条折痕之间的位置关系是 () ③∠B=∠C. 从中选出两个作为题设，另一 个作为结论，可以组成三个命题.从中选择 一个真命题，写出已知、求证，并证明. 已知： 求证： (填序号). 考点4 平移 13.第33届夏季奥林匹克运动会在世界公认的 浪漫之都——巴黎举办，奥运会吉祥物“弗 里热”的图片如图所示.把它进行平移，能得 到的图形是 ( )
5. 如图，直线AB,CD 相交于点0,OE⊥AB,OF 平分∠AOD. (1)若∠BOD=40°,求∠COF 的度数.
A.平行 B.垂直 C.平行或垂直 D.无法确定 9. (2023 ·金华)如图，已知∠1=∠2=∠3=
50°,则∠4的度数是 () A.120° B.125° C.130° D.135°
A B C D
14.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边 长均为1个单位长度.
(1)画出将三角形ABC 先向右平移7个单 位长度，再向下平移1个单位长度得到 的三角形A'B'C'.
(2)若连接AA',BB', 则线段AA '与BB '的 位置关系是
(3)求三角形A'B'℃'的面积.
02 新课标 · 新情境 · 新题型
15.新考向》传统文化如图1,汉代的《淮南万 毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下， 则见四邻矣.”这是古人利用光的反射定律 改变光路的方法.如图2,为了探清一口深井 的底部情况，在井口放置一面平面镜可改变 光路.已知∠ABE=∠FBM, 当太阳光线 AB与地面CD 所成夹角∠ABC=50°时，要 使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射人 深井底部，则需要调整平面镜EF, 使之与地
面的夹角∠EBC= ( )
图1 图2
A.60° B.70° C.80° D.85°
16.新考向情境素材如图1,将一条对边互相 平行的围巾折叠，并将其抽象成相应的数学 模型，如图2,AB//CD, 折痕分别为AD, CB. 若 ∠DAB=2∠GCB,DF//CG, 则
∠ADF= .
(
图2
)图1
章末复习(一)相交线与平行线 1.35'2.OE⊥AB 3.D 4.D
5.解：(1)∵∠BOD=40°,∴∠AOD-180°-∠BOD=140°. ∵OF 平 分 ∠AOD∴ ∵∠COA-
∠BOD=40°∴∠COF-∠COA+∠AOF=40°+70°=110°.(2)∵
∠AOC:∠COE-2:3. ∴ 设∠AOC-2r,∠OOE-3x. ∵OE⊥
AB∴∠EOA=90°∴∠AOC+∠COE=90°.∴2x+3x=90, 解得
x=18. ∴∠AOC=2x'=36°.∵∠AOF=∠DOF.∠AOF+∠DOF
+ ∠AOC=180°,∴2∠DOF+36°=180°.∴∠DOF=72° . 6.A 7.B 8.A 9.C 10.23*
11.解：(1)∵AB//CD.∴∠DCE-∠1=28°.∵CE 平 分 ∠ACD∴ ∠ACE=∠DCE=28°. (2) 证明：∵CF⊥CE∴∠FCE=90°. 又 ∵ ∠ACE=28',∴∠FCH=∠FCE-∠ACE=62°.∵∠2=62°,∴
∠FCH=∠2.∴CF//AG.
12:解：①②③证明：∵∠1+∠2=180°∴AD//EF∴∠3=
∠D.∵∠3=∠A∴∠A=∠D.∴AB//CD.∴∠B-∠C. ( 答 案 不唯一)
13.D
14.解：(1)图略. (2)AA'//BB'(3)
15.B 16.60°章末复习（一）相交线与平行线
10.欢欢观案“抖空竹”时发现，可以将某一时刻
14.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边
(2)若∠A0C:∠C0E=2:3,求∠DOF的度数
的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥
长均为1个单位长度
0四考点针对练
CD,∠A=92,∠C=115,则∠E的度数是
(1)画出将三角形ABC先向右平移7个单
考点1与相交线有关的概念和性质
位长度，再向下平移1全单位长度得到
1.(2024·广西)已知∠1与∠2是对顶角，若
的三角形A'B'C
∠1=35，则∠2=
(2)若连接AA',BB+则线段AA'与BB'的
2.如图，直线AB,CD相交于点O,若∠EOD=
位置关系是
40°，∠B0C=130°，则射线0E与直线AB的
(3)求三角形A'B'C的面积.
位置关系是
11.如图，AB∥CD,E是直线AB上一点，CE平
分∠ACD,CF⊥CE+∠1=28
(1)求∠ACE的度数
考点2平行钱的性质与判定
(2)若∠2=62°，求证：CF∥AG.
6.如图，已知在音符中，AB∥CD.若∠BAC
104,则∠ACD的度数为
第2题图
A.76°
02新课标·新情境·新题型
第3题图
B.78°
C.82
D.104
15.新考向)传统文化如图1，汉代的淮南万
3.下列说法不正确的是
李神大街、
毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下
A.∠1与∠4是同位角
列见四邻矣，”这是古人利用光的反射定种
B.。∠3与∠5是同旁内角
平安大街
改变光路的方法.如图2，为了探游一口深井
C.∠3与∠4是内错角
的底部特况，在井口放置一面平面镜可改变
D.∠3与∠6是同位角
第6题图
第7题图
光路.已知∠ABE=∠FBM,当太阳光线
4.如图，ABI BC,垂足为B,AB=4.5,P是射
7.(2024·兰州)如图，小明在地图上量得∠1=
AB与地面CD所成夹角∠ABC=0时，要
线BC上的动点，则线段AP的长不可能是
∠2，由此判断幸描大街与平安大街互相平考点3定义、命题与定理
使太阳光缓经反射后刚好垂直于地面射人
行，他判断的依据是
(
】12.新考向开放性问题如图，已知下列三个
深井底部，则需要调整平面镜EF,使之与地
A.6
A同位角相等，两直线平行
条件：①∠1十∠2=180°：②∠3=∠A；
面的夹角∠EBC=
B.5
B.内错角相等，两直线平行
③∠B=∠C,从中选出两个作为题设，另
C.同旁内角互补，两直线平行
个作为结论，可以组成三个命题.从中选择
C.4.5
D.对顶角相等
一个其命题，写出已知，求证，并证明.
D.4.4
已知：
,求证
(填序号)
8.如图，将一张长方形纸片对折两次，则形成的
5.如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,OF
两条折痕之间的位置关系是
平分∠AOD.
图1
图
(1)若∠BOD=40°，求∠CO的度数，
A.60°
B.70°
C.80°
D.85
16.希考向情境赛材如图-1，将条对边互相
A平行
B.垂直
考点4平移
平行的围巾折叠，并将其抽象成相应的数学
C.平行或垂直
D.无法确定
13,第33届夏季奥林匹克运动会在世界公认的
棋型，如图2，AB∥CD,折痕分别为AD,
9.(2023·金华)如图，已知∠1=∠2=∠3
浪漫之都一巴黎举办，典运会胄样物“弗
CB.若∠DAB=2∠GCB,DF∥CG,则
50°，则∠4的度数是
里热”的图片如图所示，把它进行平移，能得
∠ADF=
A.120
到的图形是
B.125°
C.130°
D.135综合与实践过直线外一点画已知直线的平行线 综合与实践
过直线外一点吾已知直线的平行线
素材1 工具：一块三角板， 一把直尺. 操作步骤： 第一步：将三角板的一边AB放在已知直线!上，使得AB与1重合： 第二步：将直尺贴紧三角板的另一边AC: 第三步：直尺固定不动，沿着直尺料向上移动三角板ABC,使AB经过点P; 第四步：沿AB百直线a. 如围1所示，则直线a即为所求直线 A P B O Q C A O B C 图 1
素材2 工具：一把直尺， 一个量角器、 操作步骤： 第一步：利用直尺，过点P画一条直线CD、与直线AB相交于点Q; 第二步：利用量角器，测量∠PQB的度数a; 第三步：利用量角器，百∠CPE=∠PQB=a; 第四步：利用直尺，过P,E两点画直线、 如图2所示，则直线PE即为所求直线 /C α P E α A Q B D 图2
问题解决
任务1 素材1和素材2的盲图依据是
任务2 请在困3中通过仿照素材1或素材2,从三角板、直尺、量角器中选择一种或 两种工具(同种工具数量不限),设计一种不同的画围方法，并在围3中画出 示意困(要求：写出使用的工具及操作步骤，示意图中体现所画直线或角 即可) 图3
任务3 聪明的小庄发现，通过折纸也可以我出平行线.如图4,直线L是正方形纸片 上一条直线，P是直线1外一点，通过折纸，得到过点P的直线与直线L平 行.请在图中画出这条平行线，并保留折疯，不必说明折纸步骤 (
P
) (
L
)图4
综合与实践过直线外一点 画已知直线的平行线
解：任务1:同位角相等，两直线平行任务2:工具：一把直尺，一个量 角器.操作步骤：第一步；利用直尺，过点P 面一条直线 MN, 与 直 线 AB 相交于点 ·F: 第二步，利用量角器，测量∠PFB 的度数日：第三步： 利用量角器，画∠FPR=∠PFB=β1 第四步：利用直尺，过P.R 两 点
商直线：图略。任务3图略.综合与实践过直线外一点画已知直线的平行线
综合与实践
过直找外一点厨已如直发的平行故
工具，一块三角板，一花立尺
操作步聚，
第一岁：米三角板的一边AB煮在已直拽【上，袋得AB与1重合：
素材1
第二步：林直尺贴紧三角报的男一地AC:
第三步：直尺固定不动，沿术直尺斜向上#菊三角粽ABC,使A日经过点P:
第四步：沿AB百直接a.
如图1所示，对直线。可另所求立找
图
工其：一花直尺，一个爱角器.
揀作步家：
a
装一沙：羽用直尺，过点P百一秦直战CD,与直些AB料交于族Q1
素精2
第三步：剂用开角器，罔量∠PQ卵的废数e:
煞三步：刑用量角，邑∠CPE=∠PQB=a
然四步：刑用直尺，过P,E商点吾直我
如图2所示，则壶线PE甲为所求直投
图2
月莫篇央
任券1
素村1和素琳2的百图然招是
清在图3中通过货日素材1安紫花2，从三角板、直尺量舟居中选择一种成
任旁2
两种工具（同种工具数量不服》，设计一种不同韵益旧方法，井在旧3中西出
示意图（要求：写出使用的工具及操作步果，示老跟中体现所西直找我角
理可)
B
图3
路到的小庄发现，道过折纸也可以线出平行复，女田4，直授！是正方形纸片
任务3
上一条直发，P是直战【外一点，通过新纸，得到过点P的立最与直投【平
行.诗在图中盖出这条平行线，并保留折痕，不必荒明折纸步聚
图4
综合与实贱
过直线外一点
画已知直线的平行线
屏，任务1：同位角相亭，两直线平行任务2：工具：一把直尺。一个爱
雅恶，排作步骤：第一步利用直尺，过点P西一条直级MN,与直钱
AB相交于点F,第二步：利用屉角步，测量∠PFB的匪数B:第三步，
利用量角忍，五∠FPR一∠PF日一1第四步：利用直尺，过P,R两点
面效图略.任务3图略.
