广西平百色市果县铝城中学2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

广西平果县铝城中学 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {( , )| = 3}， = {( , )| = 4 }，则 =( )
A. { 2,0,2} B. {(0,0)}
C. {(0,0)，(2,8)} D. {( 2, 8)，(0,0)，(2,8)}
| |
2.当 为第二象限角时， =( )
| |
A. 1 B. 0 C. 2 D. 2
3 , < 1 5
3.设函数 ( ) = { ，若 ( ( )) = 4，则 = ( ) 2 , 1 6
7 3 1
A. 1 B. C. D.
8 4 2
4.函数 ( ) = ( 2 1) 4 +3是幂函数，且在(0, +∞)上单调递增，则 (2) =( )
1 1
A. B. 211 C. 或211 D. 2或2 11
2 2
5.已知 ∈ (0, )，且3 2 + 11 = 16 ，则 2 =( )
4√ 5 2√ 5 2√ 5 4√ 5
A. B. C. D.
9 9 9 9
1
+ 1, < 1,
6.已知函数 ( ) = { 2 若函数 = ( ) 2 在区间( 1,3)内有且仅有两个零点，则实数 的取
1
, ≥ 1.

值范围是( )
1 1 1 1 1 1 1
A. ( , 1] B. ( , ] C. ( , ] D. ( , ]
2 6 2 4 2 3 2
7.函数 ( )满足若 ( ( )) = 9 + 3， ( ) = 3 + 1，则 ( ) =( )
A. ( ) = 3 B. ( ) = 3 C. ( ) = 27 + 10 D. ( ) = 27 + 12

8.已知函数 ( ) = 2 ( + )( > 0)的图象关于直线 = 对称， ( ) = 0，则 的最小值为( )
12 3
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中的假命题是( )
A. ∈ ， 2 + | | > 0 B. ∈ ，( 1)2 > 0
1
C. ∈ ， 2 + = 1 D. ∈ ， + = 2


10.已知函数 ( ) = sin(2 ) + 2，下列说法正确的是( )
3
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A. 函数 ( )的图像可以由 ( ) = 2 + 2的图像向右平移 个单位得到
3
5
B. 函数 ( )的一条对称轴是 =
12

C. 函数 ( )的对称中心是( + , 0)( ∈ )
6 2
5
D. 函数 ( )的单调递增区间是( , + )( ∈ )
12 12
11.已知 、 为正实数， + = 1，则( )
A. √ + √ 的最大值为√ 2 B. 0 < ≤ 1
1 5
C. 的最大值为 D. 4 2 + 2的最小值为
4 +9 25 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若直线 = 2 与函数 = |2 1|的图象有两个公共点，则 的取值范围为______．
13.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数 ，符号[ ]
表示不超过 的最大整数，例如[ ] = 3，[2.1] = 2，定义函数 ( ) = [ ]，则函数 ( )的值域为______．
( +1)
14.已知定义域为 的奇函数 ( )在区间(0, +∞)上为严格减函数，且 (2) = 0，则不等式 ≥ 0的解集为
1
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
计算：
32
(1)log34 log3 + log 8 25
53
3 ； 9
1 1 3 2 2
(2)(2 )2 ( 7.8)0 (3 )3 + ( ) 2．
4 8 3
16.(本小题15分)
sin( )cos(3 )tan( )tan( 2 )
(1)化简： ．
tan (4 )sin(5 + )
12 3
(2)若 、 为锐角，且cos( + ) = ，cos(2 + ) = ，求 的值．
13 5
17.(本小题15分)
为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”.经调查发现，某水果树的单株产量 (单位：
3 2 + 8,0 ≤ ≤ 2
千克)与施用发酵有机肥 (单位：千克)满足如下关系： ( ) = { 30 ，单株发酵有机肥及其
+ 30,2 < ≤ 5

它成本总投入为30 + 60元.已知该水果的市场售价为25元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株
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利润为 ( )(单位：元)．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
18.(本小题17分)

已知函数 ( ) = 2 2 + 2√ 3 sin( + ).求：
2
(1) ( )的最小正周期；
(2) ( )的单调减区间？
2
(3) ( )在区间[0, ]上值域？
3
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = 2(4
+ 1) + 为偶函数．
(1)求实数 的值；
(2)证明：函数 ( )在区间[0, +∞)上单调递增；
(3)若函数 ( ) = 2 + 2 + 1，当 ∈ [ , ]时，函数 ( )与函数 ( ( ))的值域相同，求 的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】(0, )
2
13.【答案】[0,1)
14.【答案】[ 3, 1]
32
15.【答案】解：(1)原式= 3(4 ÷ × 8) 5
59 = 2 9 = 7；
9
3 9 9 1
(2)原式= 1 + = ．
2 4 4 2
( ) ( )
16.【答案】解：(1)原式= =
tan ( sin )
3
(2) ∵ 、 为锐角，∴ + ∈ (0, )，2 + ∈ (0, ).
2
12 3
∵ cos( + ) = ，cos(2 + ) = ，
13 5
5 4
∴ sin( + ) = ，sin(2 + ) = ．
13 5
∴ = cos((2 + ) ( + )) = cos(2 + )cos( + ) + sin(2 + )sin( + )
12 3 5 4 56
= × + × = ．
13 5 13 5 65
25(3 2 + 8) (30 + 60),0 ≤ ≤ 2
17.【答案】解：(1)由题意， ( ) = { 30 ，
25( + 30) (30 + 60),2 < ≤ 5

75 2 30 + 140,0 ≤ ≤ 2
故 ( ) = { 750 ；
30 + 690,2 < ≤ 5

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1
(2)当0 ≤ ≤ 2时， ( ) = 75 2 30 + 140 = 75( )2 + 137，
5
1
其对称轴为 = ，
5
1 1
又| 0| < |2 |，
5 5
故当 = 2时，函数 ( )取得最大值 (2) = 380；
750 750
当2 < ≤ 5时， ( ) = ( + 30 ) + 690 ≤ 690 2√ 30 = 390，

750
当且仅当 = 30 ，即 = 5时取等号，

所以 ( )的最大值为390．
因为390 > 380，
所以当施用肥料为5千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为390元．

18.【答案】解：(1) ( ) = 2 2 + 2√ 3 sin( + )
2

= 1 2 + √ 3 2 = 2 (2 ) + 1，
6
2
所以 ( )的最小正周期 = = ；
2
3
(2)令 + 2 ≤ 2 ≤ + 2 ( ∈ )
2 6 2
5
解得 + ≤ ≤ + ( ∈ )，
3 6
5
因此 ( )的单调递减区间为[ + , + ]( ∈ )．
3 6
2 7
(3)当 ∈ [0, ]时，2 ∈ [ , ]，
3 6 6 6
1
所以sin(2 ) ∈ [ , 1]，所以 ( ) ∈ [0,3]．
6 2
19.【答案】解：(1)由已知 ( )是偶函数，代入 ( 1) = (1)．
5
则log25 + = log2 ，解得 = 1． 4
4 +1
故 ( ) = 2(4 + 1) =

2( ) = 2(2 + 2
)．
2
经检验此时满足 ( ) = ( )．
可得 = 1．
(2)任取0 ≤ 1 < 2，
2 1+2 1 2 1 2 2+2 1 2 2 2
1(1 2 2 1) 2 2(1 2 2 1)
因为 1 = = 2 2+2 2 2 2+2 2 2 2+2 2
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(2 1 2 2)(1 2 2 1)
= ， 2 2+2 2
因为2 2 + 2 2 > 0，2 1 ≥ 1，2 2 < 1，2 1 2 2 > 0，1 2 2 1 < 0．
2 1+2 1 2 1+2 1
可得 < 1， 2 2+2 2 2( ) < 0， 2 2+2 2
2 1+2 1
则 ( 1) ( 2) = 2(2
1 + 2 1 ) log(2 2 + 2 2 ) = 2(2
)，
2+2 2
即 ( 1) ( 2) < 0，
综上，证得 ( )在[0,+∞)单调递增．
(3)由(2)可得， ( ) ≥ (0) = 1，又有 ( ) = ( 1)2 + 2 ≤ 2，若要满足当 ∈ [ , ]时， ( )与 ( ( ))
的值域相同，则 ( ) ≤ 2且 ( ( )) ≥ 1
由 ( )在( ∞, 1)单调递增，在(1, +∞)单调递减，且 (0) = 1， (2) = 1，
根据 ( )的单调性，0 ≤ ( ) ≤ 2且0 ≤ ( ) ≤ 2；
又由 ( ) ≥ (0) = 1，则只需要满足 ( ) ≤ 2且 ( ) ≤ 2即可．
4 +1
( ) = 2(4
+ 1) = 2( ) = 2(2 + 2 ) ≤ 2，2
+ 2 ≤ 4，
2
整理得(2 )2 4 (2 ) + 1 ≤ 0，
解得2 √ 3 ≤ 2 ≤ 2 + √ 3，
2(2 √ 3) ≤ ≤ 2(2 + √ 3)，. 2(2 √ 3) ≤ ≤ 2(2 + √ 3)
的最大值为2 2(2 + √ 3).
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