2024-2025学年吉林省长春市吉大附中实验学校高三（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省长春市吉大附中实验学校高三（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.满足的集合的个数为( )
A. B. C. D.
2.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.若圆台上、下底的面积分别为，，高为，则圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
4.已知函数有两个极值点，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5.某校为了宣传青少年身心健康的重要性，随机抽查了高一、高二、高三的名同学进行了跑步测试，按照最终测试成绩的分数进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，估计该名同学测试得分的上四分位数为( )
A. B. C. D.
6.在平行四边形中，已知，分别为，的中点，直线，交于，若，则( )
A. B. C. D.
7.记首项为的数列的前项和为，且是以为公差的等差数列，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
8.三棱锥中，，为中点，且，，和均为面积为的锐角三角形，则当三棱锥的体积取得最大值时，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，若，，为纯虚数，为实数，则( )
A. B. 的虚部为 C. D.
10.已知函数的部分图象如图所示，，，，则( )
A.
B.
C. 为奇函数
D. 当在上恰有个零点时，
11.已知为坐标原点，抛物线：，：，，点，分别在，上均异于点，，的焦点分别为，，若，则下列说法正确的有( )
A. B. 当时，
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记为正项等比数列的前项和，且，，则数列的公比为______．
13.若，且，是的两个根，则 ______．
14.已知函数为单调函数，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，设内角、、的对边分别为，，，已知，，，为外接圆上一点、、、按逆时针方向排列．
求及圆的半径；
求四边形面积的最大值．
16.本小题分
在一次聚会临近结束时，公司通过摸球抽奖的方式对优秀员工发放奖金先在一个密闭不透光的箱子中装入个标有一定金额的球除标注的金额不同外，其余均相同，其中标注的金额为元、元、元的球分别有个、个、个，每个优秀员工每次从箱子中随机摸出个球，记下摸出的球上的金额数，摸次规定：摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的奖金总金额．
若，设第一个摸球的优秀员工获得的金额，求的分布列和数学期望；
若，采用有放回方式摸球，设事件“一个优秀员工获得的总金额不超过元”，事件“一个优秀员工获得的总金额不低于元”，求．
17.本小题分
如图四边形是边长为的菱形，，平面外的点，满足，，，四点共面，且底面，．
证明：；
若，，求与平面所成的角的余弦值．
18.本小题分
已知函数，其中．
时，求曲线在点处的切线方程；
若方程在区间上有两个不等的实根，求的取值范围．
19.本小题分
已知为椭圆上一点，对于上任意两点，，我们定义，关于的生成点的形成过程：过作平行于的直线交于异于的一个点若与重合，则为在处的切线；若与处切线平行，则交点为，记为，且对，记，称为关于的生成点列．
已知，，直接写出和的坐标；
若，，，且，，均在第一象限，证明：，，；
已知为上异于的一点，且在第一象限内，若关于的生成点列中至少有一点是，求出所有满足题意的点的坐标．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.根据题意可知，，
故，设圆的半径为，
根据正弦定理知，，即．
由知，，即，
可得，，
在中，
，
即，当且仅当时等号成立，
故，
故四边形的面积．
16.解：由题意，的所有可能取值为，，，
则，，，
所以的分布列如下表所示：
．
采用有放回方式摸球，每次摸到元的概率为，
每次摸到元的概率为，每次摸到元的概率为，
事件包含种情况，即两次均摸到元，故，
故，
事件包含种情况，两次均摸到元；一次摸到元，一次摸到元；
一次摸到元，一次摸到元；
所以，
所以．
17.解：证明：四边形是边长为的菱形，，
平面外的点，满足，，，四点共面，且底面，，
连接，与相交于点，连接，
四边形是边长为的菱形，，且，
底面，平面，
，
其中，，，四点共面
，，平面，
平面，
平面，，
又，由三线合一可知；
过点作，交于点，
底面，底面，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
四边形是边长为的菱形，，
，均为等边三角形，
故，
，，故，
底面，平面，
，又，，
其中，设，
设，则，
解得，故，
又，故，解得，故，，
，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设与平面所成的角大小为，
则，，
，
与平面所成的角的余弦值为．
18.解：时，，，
，
故，又，
故切线方程为，即；
，即，所以，
又，所以，
，，
令，，
则，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
又，当趋向于时，趋向于，
，
故要想方程在区间上有两个不等的实根，则，
又，故．
19.解：设，
易知，
所以过点且与平行的直线为，
即，
易知直线与椭圆交点为，
即，；
因为，
所以，
易知椭圆在点处的切线方程为，
过点作此切线的平行线交椭圆于点异于点；
则，，
设，
易知，
设过点且与直线平行的直线方程为，椭圆在该点处的切线方程为，
联立，
解得，，
则，
故，，；
证明：若，，，且，，均在第一象限，
设为椭圆上一点，
设，，下面记对应的参数，
因为，
所以，
所以，，，
若在椭圆上，
设，
即，
若，，，，，
若，
此时，
整理得，
则，，
所以，，
若，，，，，
因为，，
所以．
设，，，，
设，
因为，
所以，
所以，
即，
若，
此时，；
若，
此时，
结合图形可知，
所以，，
若，
则仍然成立，
同理得，，
则，，；
因为为上异于的一点，
对任意，成立，
当时，
则时，，满足结论；
当时，都有，
所以当时，由点与的连线与点与的连线平行，
由知，，，
所以
，，，
所以当时，也成立，
综上所述，对任意，成立，
若关于的生成点列中至少有一点是，
则存在正整数，使得，
可得，
因为在第一象限，
所以，
解得．
则所有满足题意的点的坐标为．
第1页，共1页