2024-2025学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
4.已知，，动点在直线上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
6.已知空间四点，，，，则四面体的体积为( )
A. B. C. D.
7.将个不同的小球全部放入个不同的盒子中，共有种不同的方法，若，其中，，则( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线交双曲线于，两点，若，的内切圆半径分别为，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间中，下列说法正确的是( )
A. 若，，则，
B. 若是空间向量的一组基底，则可以构成空间向量的另一组基底
C. “向量，，共面”是“直线，，共面”的充要条件
D. ，分别是直线，的方向向量，“与不平行”是“与异面”的必要条件
10.已知名男生和名女生参加两项不同的公益活动，下列说法正确的是( )
A. 活动前人站成一排，甲在最左边，乙不在最右边，有种不同的方法
B. 人依次进行自我介绍，甲和乙不相邻做介绍，有种不同的方法
C. 将人全部分配到两项活动中，每项活动既有男生又有女生，有种不同的方法
D. 活动后从人中选出人介绍活动体会，至少两名男生，有种不同的方法
11.“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基首先提出的，是一种使用在几何度量空间的几何学用语在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的曼哈顿距离为，若点，点，直线，和的方程分别是，和，则下列叙述正确的是( )
A.
B. 点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值为
C. 若动点满足，则的轨迹围成图形的面积是
D. 若动点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值等于，则的轨迹与直线围成的封闭图形面积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知三条直线，，相交于一点，则 ______．
13.平行六面体中，，，，则的长是______．
14.已知曲线是双曲线，曲线是椭圆，其离心率分别是和，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在的展开式中，求；
含的项；
各项系数和用数字作答；
系数最大的项是第几项？
16.本小题分
已知圆：，点，圆与直线相切．
若圆与圆相交，求的取值范围；
若圆与圆公共弦的长度为，求的值．
17.本小题分
已知抛物线：，过点倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点．
若，求的值；
若，求面积的取值范围．
18.本小题分
如图，在等腰梯形中，，，将沿翻折至，使得平面平面．
求异面直线与所成角的余弦值；
求直线与平面所成角的正弦值；
点在棱不包含端点上，且平面与平面所成角的余弦值为，求的值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴的椭圆过点和点，，，，是椭圆上异于顶点的四个点，直线与相交于点，直线的斜率存在且过点．
求椭圆的标准方程；
若，求直线的方程；
记，分别为直线与直线的斜率，求的值．
参考答案
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15.解：在的展开式中，
含的项为；；
在的展开式中，令，
则各项系数和；
设系数最大的项是第项，
则，
则，
即，
即系数最大的项是第项和第项．
16.解：由题意可得圆的半径为，则，
所以圆的方程为，
圆：，圆心，半径，
圆心距，
要使两个圆相交，可得，
可得，
即实数的取值范围为；
联立，整理可得：，
即两个圆的相交直线方程为：，
设圆心到直线的距离，
所以相交弦长，
即，整理可得，
解得或，
解得或．
17.解：设，，
若，
此时直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以；
设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
所以，
又点到直线的距离，
所以的面积，
因为，
所以，
则．
故的面积的取值范围为．
18.解：过作垂直于，所以，
所以，，
所以，，所以，
取中点，中点，
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，
又因为，所以，
以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
，
设平面的一个法向量分别为，，，
由，
令，则，
所以，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
设平面的一个法向量为，
令，
则，，
所以，
令，则，，
所以，
又因为平面的一个法向量为，
所以，
整理得，
解得或舍，
所以．
19.解：设椭圆的方程为，
因为椭圆过点和，
所以，
解得，，
则椭圆的标准方程为；
设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
所以
，
解得，
则直线的方程，
即；
设直线的方程为，，
由知，
解得，
所以，
同理得，，
因为直线斜率存在且过点，
所以，
则．
故．
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