2024-2025学年四川省眉山市仁寿县高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省眉山市仁寿县高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.直线的一个方向向量是( )
A. B. C. D.
3.已知直线与直线：，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.如图，三个元件，，正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是( )
A. B. C. D.
5.七巧板是中国民间流传的智力玩具，已基本定型为由下面七块板组成；五块等腰直角三角形其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形，一块正方形和一块平行四边形可以拼成人物、动物、植物、房亭，楼阁等种以上图案，现从七巧板的五块三角形中任意取出两块；则两块板恰好是全等三角形的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知直线：与圆：相交于，两点，当面积最大时，实数的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
7.如图，在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，则直线到平面的距离为( )
A. B.
C. D.
8.若点在圆外，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，为两个随机事件，以下命题正确的是( )
A. 若与对立，则
B. 若与互斥，，则
C. 若，且，则与相互独立
D. 若与相互独立，，则
10.若直线与曲线恰有一个交点，则的值可能为( )
A. B. C. D.
11.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，，则( )
A.
B.
C. 平面
D. 异面直线与夹角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被整除的概率是______．
13.过点且与圆：相切的直线方程为______．
14.如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，，在下底面圆上，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知三角形的顶点坐标为，，．
求过点且与边平行的直线；
求边上的高所在的直线方程．
16.本小题分
已知直线：和圆：．
判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长；
求过点且与圆相切的直线方程．
17.本小题分
甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”游戏剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀，规定每局中：
三人出现同一种手势，每人各得分；
三人出现两种手势，赢者得分，输者负分；
三人出现三种手势均得分当有人累计得分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响．
求甲在一局中得分的概率；
求游戏经过两局后甲恰得分且为唯一获胜者的概率．
18.本小题分
如图，在平行六面体中，平面，，，
求证：；
求三棱锥的体积；
线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是．
求曲线的方程；
已知斜率为的直线与曲线相交于两点，异于原点直线，的斜率分别为，，且，
证明：直线过定点，并求出点的坐标；
若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：因为，由直线的点斜式方程可得，
化简可得．
由可知，，则边上的高所在的直线斜率为，
由直线的点斜式方程可得，
化简可得．
16.解：由圆：可得，圆心，半径，
圆心到直线：的距离为，
所以直线与圆相交，
直线被圆截得的弦长为．
若过点的直线斜率不存在，则方程为，
此时圆心到直线的距离为，满足题意；
若过点且与圆相切的直线斜率存在，
则设切线方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
所以切线方程为，即，
综上，过点且与圆相切的直线方程为或．
17.解：根据题意，画出树状图，如图：
所以每局中共有种情况，其中甲在一局中得分的情况有出手势顺序按甲乙丙：
剪刀、剪刀、布、剪刀、布、剪刀、剪刀、布、布、
石头、石头、剪刀、石头、剪刀、石头、石头、剪刀、剪刀、
布、布、石头、布、石头、布、布、石头、石头、
一共有种情况，所以甲在一局中得分的概率．
游戏经过两局后甲恰得分且为唯一获胜者的情况有种：
第一局甲得分，第二局甲得分：
则乙第一局得负分，第二局得分；则丙第一局得负分，第二局得分；
由中树状图可知满足情况有：
第一局：剪刀、布、布、石头、剪刀、剪刀、布、石头、石头、
第二局：剪刀、剪刀、剪刀、布、布、布、石头、石头、石头
此时概率为种情况，
第一局甲得分，第二局甲得分，则第一局乙丙得分，第二局乙丙得负分，
则乙第一局得分，第二局得负分；则丙第一局得分，第二局得负分；
由中树状图可知满足情况有：
第一局：剪刀、剪刀、剪刀、布、布、布、石头、石头、石头
第二局：剪刀、布、布、石头、剪刀、剪刀、布、石头、石头、
此时概率为，
综上所述：游戏经过两局后甲恰得分且为唯一获胜者的概率．
18.解：证明：由题，在平面内过点作的垂线，垂足为，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，
所以，，
由得，所以，
又因为，所以，解得，
所以，，
则，，
所以，
所以；
因为，由知，所以，
如图，过点作于，
则，
因为平面，平面，
所以平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以
；
由得平面的一个法向量为，
假设存在点满足条件，设，，
则，
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，则，，所以，
所以，
因为平面与平面的夹角为，
所以，解得，
又因为，所以舍去，
所以线段上不存在点使得平面与平面的夹角为．
19.解：不妨设，，
因为为线段的中点，
所以，，
因为点的轨迹方程为，
所以，
整理得曲线的方程为；
证明：不妨设直线的方程为，，，，
联立，消去并整理得，
因为，
解得，
由韦达定理得，，
所以
，
解得，
所以直线的方程为，
此时直线过定点；
证明：因为为定值，且为直角三角形，为斜边，
所以当点是的中点时，为定值，
因为，，
由中点坐标公式得．
故存在定点，使得为定值．
第1页，共1页