2024-2025学年皖中名校联盟合肥八中第一学期高二年级期末检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年皖中名校联盟合肥八中第一学期高二年级期末检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.如图，是三棱锥的底面的重心．若、、，则的值为( )
A. B. C. D.
3.若两平行直线与之间的距离是，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，是空间中的一个单位正交基底规定向量积的行列式计算： ，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量若向量，，则平面的法向量为( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列满足，，记为其前项和，则( )
A. B. C. D.
6.已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
7.如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 ( )
A. B. C. D.
8.已知曲线，则下列结论中错误的是 ．
A. 曲线与直线无公共点
B. 曲线上的点到直线的最大距离是
C. 曲线关于直线对称
D. 曲线与圆有三个公共点
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线，则下列选项正确的有( )
A. 若，则为椭圆
B. 若为焦点在轴上的椭圆，则
C. 若为双曲线，则
D. 若，则为焦点在轴上的双曲线
10.已知数列的前项和为，则下列说法正确的是( )
A. B. 取得最小值时或
C. D. 的最小值为
11.在空间直角坐标系中，已知向量，点，设点，下面结论正确的是 ．
A. 若直线经过点，且以为方向向量，是直线上的任意一点，则
B. 若点，都不在直线上，直线的方向向量是，若直线与异面且垂直，则
C. 若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则
D. 若平面经过点，且为平面的法向量，则平面外存在一点使得成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为等差数列，为其前项和若，则__________．
13.如图，已知矩形中，，，现将沿对角线折成二面角，使，则异面直线和所成角为___________．
14.已知，轴于点，为射线上任意一点，轴于点，点为直线上一点，且，直线与直线相交于点已知点，，则的最大值为_______________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的前项和为，且．
当为何值时，数列为等比数列，并求此时数列的通项公式；
当时，设，求数列的前项和．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．
求圆的方程；
设过点的直线与圆交于，两点，且，求的方程．
17.本小题分
已知椭圆：的离心率为，其四个顶点构成的四边形面积为．
求椭圆的标准方程；
若是上异于，的一点，不垂直于轴的直线交椭圆于，两点，．
证明：为定值；
的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．
18.本小题分
如图，平行六面体中，点在对角线上，，平面平面．
求证：；
若在底面上的投影是，且，，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，令为关于轴的对称点，记的坐标为
求的值；
求证：数列是等差数列，并求；
求的面积．
参考答案
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15.解：因为的前项和，所以，，，
所以，，，
若是等比数列，则，求得．
当时，，
又当时，，
则当时，也适合此通项公式即，，
由于对都成立，所以此时数列为等比数列，
所以当时，数列为等比数列，此时数列的通项公式为；
当时，，，
则，
，
所以，
故．
16.解：曲线与坐标轴的交点分别为，，，
设圆的方程为，
代入点坐标可解得，，，
从而圆的方程为，
即
得圆心到直线距离为，
当直线斜率不存在时，方程为，满足题意，
直线斜率存在时，设直线，即，
由题，解得，
所以直线方程为，即，
综上，从而直线方程为或者

17.由题意可知椭圆的四个顶点构成的四边形面积为，且，
所以，，椭圆的方程是
由题意可得，，设，可得，
即，则
因为，，则
易知直线的斜率存在，设直线，，，
联立直线和，可得，
可得，，
，
由，
可得
由弦长公式可得，
点到直线的距离为，
所以，
综上可知，的面积为定值．
18.证明：连交于，连．
在平行六面体中，且，所以四边形是平行四边形，且，又，分别为，的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，于是，
因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，
因为，都经过点，所以，，三点共线．
所以∽，，则
解：因为，，则平行四边形是菱形，
所以，，
又在底面上的投影是，，，以点为原点，
分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，于是，又，所以，，
设平面的法向量为，
则
于是可得，
不妨令，则，
平面的一个法向量为，，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：因为点在抛物线上，可得，解得
证明：由知：，即，，
因为点在抛物线上，则，且，
过，且斜率为的直线，
联立方程组
可得，
解得或，
所以，可得，
所以数列是以首项为，公差为的等差数列，
所以，．
由知：，，，
过点作轴于点，则四边形为直角梯形，
可得梯形的面积为：
，
同理可得，
又由梯形的面积为：
，
则的面积为：
．

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