安徽省六安市2025届高三上学期教学质量检测数学试卷（含答案）

安徽省六安市2025届高三上学期教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
4.已知数列，分别满足，，则下列说法错误的是( )
A. 数列是公比为的等比数列 B. 数列是公差为的等差数列
C. 数列的前项和为 D. 数列是等比数列
5.已知，两地的距离是根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在假设油价是元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是元，那么最经济的车速是．
A. B. C. D.
6.已知向量，，下列选项正确的为( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 的最小值为
D. 若与垂直，则
7.已知双曲线的右焦点为，，为直线上关于坐标原点对称的两点，为双曲线的右顶点，若，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知关于的方程有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于函数和，下列选项正确的是( )
A. 与有相同的最小正周期
B. 的图象可由的图象向右平移个单位得到
C. 与在上的最大值相等
D. 与的图象有相同的对称轴
10.已知函数与的图象有两个交点，，其中，且，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知棱长为的正四面体满足，，，，则下列选项正确的是( )
A.
B. 当时，
C. 当时，的最小值为
D. 当时，的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设是等比数列的前项和，，，则 ．
13.已知圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，圆锥的底面半径为，高为，当该圆锥的体积取得最大值时， ．
14.为抛物线上一动点，过作圆的一条切线，为切点，点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，在边上，，，．
当时，求的面积
当时，求线段的长度．
16.本小题分
如图，直线平面，，点为线段的中点，点在线段上，，，．
证明：
若，，，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
法国著名数学家加斯帕尔蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长，这个圆被称为蒙日圆已知椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为，作直线 与椭圆交于，两点，与椭圆的蒙日圆交于，两点．
已知，直线斜率为，若直线，的斜率满足，求直线的方程
若椭圆的左右焦点分别为，，直线过坐标原点求证：
18.本小题分
已知函数
求曲线在点处的切线方程
若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围
若，，求证：．
19.本小题分
已知表示数列，，，，，中最大的项，按照以下方法：，，，，得到数列，则称数列为数列的“数列”．
若，写出，，，
若数列满足，且，．
(ⅰ)求
(ⅱ)求的前项和．
参考答案
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15.解：当时，，，
由题易得为等边三角形，
，，
设，则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
，
，解得，
，，．
16.解：证明：，，，，四点共面，
，且平面，平面，
平面，
因为，所以，，，，四点共面，
又平面，平面平面，
；
由平面，且，
所以，，两两垂直，如图所示，以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，．
，，，，
，，，，，，
点为线段的中点，且，
点为线段的中点，
，且为线段的中点，
，，则，
设平面的法向量为，
，，
由
取，得，，即．
设直线与平面所成角为，
，，
直线与平面所成角的正弦值为．

17.解：由椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为，
，，解得，，
故椭圆的方程为．
设直线方程为，设，，
联立方程
消去整理得，
其中，
，，
因为，且，
所以，
化简得，
即，解得，且满足，
所以直线方程为．
证明：因为直线与椭圆交于，两点，
与椭圆的蒙日圆交于，两点，
设，，且，
因为
，
，
所以，证毕．
18.解：解：由题得，，，，
所以，曲线过点的切线方程为．
设，，，
当，即时，，在单调递增．
因为，所以恒成立，不满足．
当，即时，由得，
当，，单调递减，
因为，所以，，
即，所以满足．
综上所述，实数的取值范围为
证明：由，
得在单调递减，在单调递增，
设，，且，
先证当，，
设，
，，所以，即，
式，
再证，，
设，，
所以，，单调递减，
又因为，所以，，，
式
由式得，所以．
19.解：解：由题得：，，，，
且当时，数列单调递减，
所以，，，．
由，两边同时乘以整理得：，
所以数列为等差数列．
又因为，，可得数列的公差为，
所以，，即．
当为奇数时，，
当为偶数时，．
当且为偶数时，，
所以，数列单调递减，
由“数列”定义得：．
由可知，当为偶数时，，，，．
，
，，
由，式得：，
整理得：．
当为奇数时，为偶数，，
所以
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