福建省漳州市2025届高三毕业班第二次质量检测数学试卷（含答案）

福建省漳州市2025届高三毕业班第二次质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知集合，，若，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.已知，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆台的上、下底面半径分别为，，母线与底面所成角为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
5.某学习小组共名同学，某次模拟考试的数学成绩平均分数为，已知其中名同学的成绩分别为，，，，则这名同学成绩的第百分位数是( )
A. B. C. D.
6.如图，在筒高为的圆柱型筒中，放置两个半径均为的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面与两个小球也相切，平面被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，向量，，若，不共线，记以，为邻边的平行四边形的面积已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.在中，内角，，的对边分别为，，，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中不正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，，，则
10.已知函数，则( )
A. 的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到
B. 的图象关于对称
C. 在上单调递增
D. ，
11.已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则( )
A. 若，则
B. 若，均不为，则
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为抛物线上一点，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为 ．
13.若曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数 ．
14.已知数列，满足：，，若，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列为等差数列，，．
求数列的通项公式．
若，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数．
求函数的极值．
若恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，侧面为等腰三角形，，为的中点，为的中点，，，点在上．
若，证明：平面平面．
若，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
某校开展“强国知识”挑战赛，比赛分为两轮，规则如下：
第一轮为“时事政治”试题，共道试题，至少正确回答道，才能进入第二轮，否则挑战失败第二轮为“科普知识”试题，共道试题，也要至少正确回答道才能算挑战成功，否则挑战失败进入比赛轮次后，该轮次中所有题目均需要作答两轮都挑战成功，可以获得“强国小能手”称号
每个参赛组由两人组成，作答方案有两个：第一种方案是在第一轮和第二轮中，两人依次轮流答题例如：甲先回答第一轮第一题，则乙回答第一轮第二题，甲再回答第一轮第三题若进入第二轮，则由乙回答第二轮第一题，甲回答第二轮第二题，乙再回答第二轮第三题第二种方案是由参赛两人分别回答第一轮所有试题和第二轮所有试题如甲回答第一轮所有试题，则乙回答第二轮的所有试题．
已知某小组由甲、乙两名同学组成，甲同学正确回答第一轮、第二轮中的每道试题的概率分别为，乙同学正确回答第一轮、第二轮中的每道试题的概率分别为，．
若该小组采用第一种方案答题，且甲先回答第一轮中的第一题．
(ⅰ)求该小组在第一轮中就挑战失败的概率．
(ⅱ)已知该小组获得“强国小能手”称号，求甲正确回答了道试题的概率．
无论采用哪一种作答方案，第一轮第一题均由甲作答，以该小组获得“强国小能手”称号的概率大小为决策依据，应该选择哪一种作答方案并说明理由．
19.本小题分
如图，已知，为双曲线的左，右焦点，直线为的一条渐近线，，分别为上位于第二、一象限内的点，，的倾斜角分别为，，且当时，．
求双曲线的标准方程．
若，连接，相交于．
(ⅰ)若，求直线的方程．
(ⅱ)证明：点在以，为焦点的椭圆上，并求出该椭圆的标准方程．
参考答案
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15.解：设等差数列的公差为，
因为，所以，
又因为，则，
所以数列的通项公式；
由知，，
当时，，；
当时，，，
综上，
16.解：函数的定义域为
因为时，， 所以函数在上单调递减，
时，，所以函数在上单调递增；
函数在处取得极小值，无极大值．
恒成立，即，恒成立，
不等式等价于，恒成立，
令，，
，
令，，
易知在上恒成立，
所以函数在上单调递增．
又，，
所以存在唯一，使得，
即，
即，即，
由知，函数在上单调递增，
所以，
所以当时，，则，则函数在上单调递增；
当时，，则，则函数在上单调递减，
所以函数在处取得最大值，
所以，
所以实数的取值范围为

17.解：因为侧面为等腰三角形，，为的中点，
所以，．
又，所以，．
若，则为的中点，连接，
因为，所以．
因为为的中点，，所以所以．
连接，所以．
又，，平面，
所以平面，即平面．
又平面，
所以平面平面．
因为，所以．
又为的中点，为的中点，，
所以，，．
在中，，，，
则．
在中，由余弦定理易求，
则，则有．
结合知．
又因为，，平面，所以平面．
故以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则
令，则，，即，
设平面的法向量为，
则
令，则，，即，
则，
易知平面与平面的夹角为锐角，
所以平面与平面夹角的余弦值为．

18.解：记“甲在第轮正确回答第道题”为，“乙在第轮正确回答第道题”为，
采用第一种方案答题且甲先答题时该小组第一轮比赛至少正确作答道题的概率为，
该小组在第二轮中至少正确作答道题的概率为，
依题意，，
则采用第一种方案答题且甲先答题时，
该小组在第一轮中就挑战失败的概率为；
结合得，
记“采用第一种方案答题且甲先答题时，该小组两轮都挑战成功”为事件，
则，
记“采用第一种方案答题且甲先答题时，甲正确回答了道试题”为事件，
，
又，则；
选择第二种作答方案，甲在第一轮中至少正确作答道题的概率，
乙在第二轮中至少正确作答道题的概率；
采用第二种作答方案，两轮都挑战成功的概率，
结合知，则，
所以选择第二种作答方案该小组获得“强国小能手”称号的可能性更大．
19.解：设，，，
当时，，
即当时，，，
又为双曲线的一条渐近线，即，，
联立可得，，
所以双曲线的标准方程为．
设，，
则关于坐标原点的对称点在双曲线左支上．
因为，所以．
根据对称性，知，，三点共线，且
又，即．
设直线的方程为，与联立，
整理得，
则，恒成立，
则且，即．
因为，
所以，
即，即，
整理得，
即，解得．
又，所以．
所以直线的方程为．
即．
证明：因为，
则易证∽，
则，，
所以
，
又
，
所以．
即点在以，为焦点的椭圆上，
所以椭圆的标准方程为．
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