江西省部分学校2025届高三1月金太阳模考数学试卷（含答案）

江西省部分学校2025届高三1月金太阳模考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且直线，直线，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.若函数在上单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，决定购入污水过滤系统对废水进行过滤处理已知过滤过程中废水中的污染物浓度与过滤时间小时的关系为为废水中最初污染物浓度，，为常数如果过滤了个小时废水中的污染物浓度变为最初的，那么废水中的污染物浓度变为最初的还需要( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角的多面体在古希腊时期人们就已经发现正多面体仅有种，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体如图，是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，棱长为，点为正八面体内切球球面上的任意一点，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某市高一年级举行了一次数学竞赛，从所有参加竞赛的名学生中随机抽取了一部分学生，经统计这部分学生的成绩全部介于至之间，将成绩数据按照，，，，分组，作出频率分布直方图如图所示，则( )
A.
B. 估计全市高一年级数学竞赛成绩不低于分的有人
C. 估计全市高一年级数学竞赛成绩的中位数约为
D. 估计全市高一年级数学竞赛成绩的平均分是
10.已知抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为，直线经过交于点，，分别过，作的切线，且两切线交于点，则( )
A. 的方程为
B. 若，则的中点到轴的距离为
C. 是直角三角形
D. 若的中点为，则直线与轴垂直
11.已知，分别为定义在上的函数和的导函数，且，，若是奇函数，则( )
A. 的图象关于点对称 B. 为的周期
C. 的图象关于直线对称 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知展开式中各项的系数和为，则展开式中含项的系数为 ．
13.已知函数，若在区间上有极大值无极小值，则的取值范围是 ．
14.某批零件的尺寸服从正态分布，且，规定时零件合格，从这批产品中抽取件，若要保证抽取的合格零件不少于件的概率不低于，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求
设的平分线交线段于点，若，证明：为直角三角形．
16.本小题分
已知是各项均为正数的数列的前项和，，．
求的通项公式
设，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足，，，，平面．
证明：平面
在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为若存在，求出点的位置若不存在，说明理由．
18.本小题分
已知双曲线的渐近线与圆相切，圆心是的一个焦点．
求的方程
过点的直线与的右支交于，两点，，分别为的左、右顶点，直线与交于点．
(ⅰ)证明：在定直线上
(ⅱ)若直线与交于点，求的值．
19.本小题分
拉格朗日是十八世纪著名的数学家，在数学领域作出了重大贡献，人们常把很多数学领域中新的发现用他的名字命名如对一组数据互不相等进行研究时，记，，，，时，，，称为这组数据的拉格朗日插值多项式．
试求数据，，的拉格朗日插值多项式的表达式
对于中求出的，若函数满足．
(ⅰ)研究的单调性
(ⅱ)若有两个零点，求的取值范围．
参考答案
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15.解：因为，所以．
由余弦定理，得，
又因为，所以．
证明：因为是的平分线，所以，
设的边上的高为，则由，，
得，即，
由余弦定理，得，
所以，从而，故为直角三角形．
16.解：因为，所以．
因为，所以，即，由，解得．
由，，所以数列是首项为，公比为的等比数列所以．
当为奇数时，
当为偶数时，，
所以
．

17.解：证明：因为且，所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为菱形，所以．
因为平面，平面，所以，
又，，平面，，所以平面，
又平面，所以，
又，，平面，，所以平面．
解：因为平面，平面，所以，又，，以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，所以，，，．
设平面的法向量为，则
令，得，，所以．
假设线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
设，，
则，，解得或．
所以线段上存在点，当或时，使得直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：圆的方程化为标准形式为，所以圆心，半径，
则的半焦距，
又的两条渐近线方程为，即，由题意，知，所以，，，
所以的方程为．
证明：设直线的方程为：，，，易知，，，，
联立方程消去得，
则，，
，．
因为是上的点，所以，
则，
联立直线，直线的方程，得，
所以
．
解得，故点在定直线上
解：由双曲线对称性可知，点也在直线上，设，
点在直线上，所以，
点在直线上，所以，
所以
．
19.解：对于数据，，，有，
，，
所以，
即，
由知，所以，
，若，则，，在上单调递减
若，则，当时，，在上单调递增
当时，，在上单调递减．
综上所述，时，在上单调递减
时，在上单调递增，在上单调递减
因为函数有两个零点，所以关于的方程，即，
亦即有两个不同实数解．
令，则，
当时，，在上单调递减，且当时，
当时，，在上单调递增，所以当时，取得最大值．
作出函数的图象以及直线，如图所示：
由图可见，当且仅当，即时，直线与函数的图象有两个公共点，
所以实数的取值范围是
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