江西省吉安市2025届高三上学期期末教学质量检测数学试卷（含答案）

江西省吉安市2025届高三上学期期末教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知数列是以为首项，为公比的等比数列，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，则，( )
A. B. C. D.
5.为响应教育部推出的“德智体美劳全面发展以及五育并举”的相关政策，某高中成立了钢琴兴趣社团，名同学为一小组，若某次钢琴专业知识测试中某小组的名成员测试成绩分别为，，，，，则该组数据的平均数和方差分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.某小区大门口前有一圆台形状的人工喷泉石墩，经测量该石墩的上下底面半径和母线长分别为，，单位：，且该石墩所用材料混凝土的密度约为，则该圆台石墩的质量约为取( )
A. B. C. D.
7.已知函数的最小正周期为，且满足，则( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的右顶点为，右焦点为，点为其渐近线在第一象限上的动点，则当取得最大值时，点的横坐标为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若方程有三个实根，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
10.已知X~N(1,9),且P(Xa)=P(Xb)(a,b均为正数),则( )
A. 0< ab1 B. +4 C. |a-1|>|b-1| D. +-ab1
11.现定义：定义域和值域均为正整数的单调增函数称为“正直函数”，已知正直函数满足，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点作曲线的切线的斜率为________．
13.已知，且，，则________．
14.若，，，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，的面积．
求
若，求B.
16.本小题分
如图，四棱锥中，平面平面，是以为顶点，腰长为的等腰直角三角形，，，．
求证：平面平面
求直线与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
在以为原点的平面直角坐标系中，过点且斜率存在的直线与椭圆交于，两点，设的中点为．
求直线与的斜率之积
求面积的最大值．
18.本小题分
函数，．
求证：函数有且仅有一个零点
讨论函数在区间上的单调性．
19.本小题分
设正边形的外接圆圆心为，且
求证：
若正边形的顶点为定抛物线的顶点，且两相邻顶点，也在此抛物线上，记正边形周长为．
求证：抛物线与正边形只有三个交点
讨论并证明数列的单调性．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.AD
11.
12.
13.
14.
15.解：，
，
，．
又，．
，．
，．
由正弦定理可得．
16.证明：平面平面，且平面平面，
且，平面，
平面，
平面，
，
又，且，且、平面，
平面，
平面，
平面平面．
解：取中点为，连接，，
，，，，
，则．
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：
则，，，，
则，，
设为平面的法向量，
则由，得，则，
设与平面的夹角为，
则．
．
直线与平面所成角的余弦值为．
17.解：由题可设直线，，
联立消去，得．
当，即时，有，
，，即，
可得，．
由可知．
又点到直线的距离，的面积．
设，则，
，，
，
当且仅当，即时等号成立，
的面积最大值为．
18.解：，
单调递增，
，，又，，．
使，有且仅有一个零点．
令，则函数的图象向左平移个单位长度，得函数的图象．
由知，，当时，，当时，，
其中，
当时，，当时，．
当时，，，，则，函数单调递减
当时，，，，则，函数单调递增．
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
19.解：易知，
同理：，，，．
将上面个等式相加，得
，
正边形的个顶点共圆，圆心为点，记该圆为
又点，，抛物线，则与抛物线的交点至少有个．
不妨以抛物线顶点为原点，以抛物线对称轴为轴建立平面直角坐标系．
设抛物线，由对称性知点也在轴上由于抛物线过点两个相邻顶点
不妨设，．
联立得，
令得关于的方程有个解：，．
原方程有个实数解，，．
与抛物线至多有个交点，即抛物线与正边形只有三个交点．
在第问中，正边形中，中心角，
在等腰三角形中，．
直线倾斜角为，
方程为
联立得，
解得，．
故，
．
．，
令函数，
．
令，
则，
设，
，
，
．是减函数，即，，
数列单调递减．
第1页，共1页