江西省新余市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试卷（新余一模）（含答案）

江西省新余市2025届高三上学期第一次模拟考试
数学试卷（新余一模）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的实轴长为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.等比数列中，已知，，则( )
A. B. C. D.
4.已知是锐角，则“直线与平面所成角的大小为”是“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”的条件．
A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
5.已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以的比分赢得胜利．假设年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用局胜制先胜局者胜，比赛结束，已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为，则“莎头”组合再次以获胜的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是( )
A. 若，则对任意的都有
B. 若的图象关于直线对称，则
C. 若在上单调递增，则的取值范围是
D. 若方程在上恰有两个不同的实数解，则的取值范围是
8.已知表示，中最大的数，设函数，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，则 ．
A. B.
C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限
10.下列说法中正确的是( )
A. 若样本数据，，，的平均数为，则数据，，，的平均数为
B. 随机变量服从正态分布，若，则
C. 某校高三班进行米体侧，男生人，跑完平均用时秒，方差为，女生人，跑完平均用时秒，方差为，则该班级的体侧成绩方差大于
D. 若随机事件，满足：，，，则事件与相互独立
11.如图，在棱长为的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点不包含端点，则( )
A. 四面体的外接球的表面积为
B. 存在点，使，，，四点共面
C. 过且与垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为
D. 点是四边形内的动点，且直线与直线夹角为，则点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，，若与是共线向量，则实数________．
13.的展开式中的系数为，则的值为________．
14.课内我们已经学习了一元二次方程的韦达定理．实际上，一元三次方程也有对应的韦达定理：一元三次方程的三根为，，满足：，，已知，，满足：和，其中，，互不相等，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，已知角，，的对边分别是，，，且．
求角的大小；
若，边上的高为，求三角形的周长．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，平面平面．
求证：；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数，其中，．
当，时，求在点处的切线方程；
当时，恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
平面直角坐标系中，点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数．
求点的轨迹方程；
若不过点的直线交曲线于，两点；
若以，为直径的圆过点，证明：直线过定点；
作，为垂足．是否存在定点，使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
19.本小题分
设，，若，且不存在，，，使得，，依次成等差数列，则称为的简单集，元素个数最多的简单集称为的最大简单集，的最大简单集的元素个数记为．
写出的所有最大简单集，并求；
设，，证明：，并求；
设，，若对任意，都有恒成立，证明：．
参考答案
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15.解：因为，由正弦定理可得：，
又因为，
即，可得，
在中，，则，可得，且，所以；
由三角形面积公式得，代入得：
，所以，
由余弦定理得：，
解得：或舍去，即，所以的周长为．
16.由题可得：，
，
，，
又平面平面，
且平面平面，平面
平面
平面
且，，平面
平面，平面，
所以
取线段的中点，连接，平面，再取线段的中点，连接，如图所示建立空间直角坐标系
平面的法向量，
点，，
设平面的法向量有，可得
令，则，
，
故平面与平面夹角的余弦值为
17.当，时，且时
，，
，，
化简得：
故在点处的切线方程为；
时，
，
是偶函数
要使在上恒成立，只需在上恒成立即可，
，
，
当时，有，此时恒成立，
当时，，
，
，且在上单调递增
，使得当时，恒成立，
即在上单调递减，
，，这与恒成立不相符，舍去
综上：当时，恒成立
18.根据题意可得，
等式两边同时平方整理得；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立，得，
则，，，
因为点在以，为直径的圆上，所以，
因为，，，
所以，，
则，
当直线的斜率存在时，由已知，
所以，
整理得，，
即，即或，
当时，直线的方程为，过点，不符合题意
当时，直线的方程为，恒过点．
当直线的斜率不存在时，，，，
可知，，，则，由，得，解得或舍去，
所以直线的方程为，过点．
综上所述，直线恒过点；
因为，为垂足，为定值，
所以点在以，为直径的圆上，取的中点，则，
所以存在定点，使得为定值．

19.解：由题意可知的最大简单集为或，．
设，若为的最大简单集，
且，则．
由于为的简单集，为的简单集，
由最大简单集的定义可知，，
故．
因此当，时，．
下面求
由于，由可知．
其中中最多只能取三个数：，，或，，
中最多也只能取三个数：，，或，，．
若，共四种情况．
在，，，，，和，，，，，中，，，成等差数列．
在，，，，，和，，，，，中，，，成等差数列．
故
若，则和恰有一个集合有三个数，
依据对称性，不妨设该集合为，三个数为，，或，，．
则中选两个数，且不能选否则，，成等差数列，
故只有三种情况：，，，．
若为，，
在，，，，中，，，为等差数列
在，，，，中，，，为等差数列．
经检验，选，和，也均存在等差数列．
故
又为简单集，
故．
一方面，对，，，若是的最大简单集，
则必为的简单集，故．
所以当时，由可知，，
又因为为简单集，所以，即时，．
所以不成立．
另一方面对于，由可知，．
若，
因为，所以在中最多选个数，故，必选
同理，在中最多选个数，故，必选
此时，最大简单集中不能出现，，，，因此，必选
而中，，，成等差数列，故
对于，由可知，．
同理，若，则，，，必属于最大简单集，
此时，最大简单集中不能出现，，，，
则在，，，中需选个数，共种情况，均包含等差数列，
故
下面用数学归纳法证明：当时，对任意，都有恒成立．
由及上面分析可知，，
，．
假设当，时，有，
则当时，由可知．
故当时，命题也成立．
根据可知，原命题成立．
因此命题得证．
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