山东省临沂市“百师联盟”2025届高三上学期期末联考数学试卷（含答案）

山东省临沂市“百师联盟”2025届高三上学期期末联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则
A. B. C. D.
3.已知点是直线上相异的三点，为直线外一点，且，则的值是( )
A. B. C. D.
4.若圆上恰有两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥若一个直角圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，且，则的值是( )
A. 正数 B. 负数 C. D. 不能确定符号
8.已知函数的定义域均是，满足，，，则下列结论中正确的是( )
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知互不相同的个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的个样本数据的方差为，平均数去掉的两个数据的方差为，平均数原样本数据的方差为，平均数，若，则( )
A.
B.
C. 剩下个数据的中位数大于原样本数据的中位数
D. 剩下个数据的分位数不等于原样本数据的分位数
10.已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为( )
A. 的图像关于轴对称 B. 不是的一个周期
C. 在区间上单调递减 D. 当时，的值域为
11.已知，，是函数的三个零点，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若的展开式中的系数为，则的值为 ．
13.已知数列其前项和为，则 ．
14.点，分别为双曲线的左、右焦点，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若为以为底的等腰三角形，则的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
求
若的面积为，求．
16.本小题分
如图，三棱柱中，侧面底面，且，C.
证明：平面
若，，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，点，为椭圆上异于，的两点，面积的最大值为．
求椭圆的方程
设直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过定点．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在处的切线方程
当时，讨论的单调性
若，恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知有限数列，从数列中选取第项、第项、、第项，顺次排列构成数列，其中，，则称新数列为的长度为的子列规定：数列的任意一项都是的长度为的子列若数列的每一子列的所有项的和都不相等，则称数列为完全数列设数列满足，，．
判断下面数列的两个子列是否为完全数列，并说明理由．
数列，，，，数列，，，．
数列的子列的长度为，且为完全数列，证明：的最大值为．
数列的子列的长度，且为完全数列，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以，
由余弦定理有．
因为，所以．
因为，所以．
因为，
所以，即．
因为，所以．
由可得，
．
由正弦定理有，
从而，，
，解得．
16.证明：取的中点，连结、．
因为，，所以，
由于，平面，且，
因此平面．
因为平面，所以．
又因为，所以，
因为平面平面，平面平面，
且平面，所以平面．
因为，所以平面．
因为，且，所以
以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，则
，可得，令，则，
设平面的法向量为，则
，可得，令，则，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：设椭圆的半焦距为，
因为离心率为，
故，
故可设，
故．
设，
则，
当且仅当时等号成立，
故，即，
故．
故，，
所以椭圆方程为：．
设点，，
若直线的斜率为零，则点，关于轴对称，则，不合题意．
设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点，则，
联立消去可得，
，可得，
由一元二次方程的根与系数的关系可得，，
则，
所以
，解得，
即直线的方程为，故直线过定点．
18.解：当 时， ，求导得 ，则 ，而 ，
所以函数 的图象在 处的切线方程为 ．
函数 的定义域为 ，求导得 ，
当 时，由 ，得 或 ，
当 时，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，可得恒成立，则函数 在 上单调递增．
所以当 时，函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；
当 时，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；
当 时，函数 的单调增区间为 ，无单调减区间；
当 时，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ．
当 时，不等式 转化为 ，
令函数 ，求导得 ，
令 ，求导得 ，故函数 在 上严格减，
且 ， ，则函数 在 内存在唯一的零点 ，
当 时， ， ， 在 上严格减，
当 时， ， ， 在 上严格增，
则 ，又 ，即 ，
则 ，即 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 ．

19.解：数列不是完全数列；数列是完全数列．
理由如下：
数列：，，，，中，因为，所以数列不是完全数列；
数列：，，，中，所有项的和都不相等，数列是完全数列．
假设数列长度为，不妨设，各项为．
考虑数列的长度为，，，的所有子列，一共有个．
记数列的长度为，，，的所有子列中，各个子列的所有项之和的最小值为，最大值为．
所以，．
所以其中必有两个子列的所有项之和相同．
所以假设不成立．
再考虑长度为的子列：，，，，，，满足题意．
所以子列的最大长度为．
数列的子列长度，且为完全数列，且各项为．
所以，由题意得，这项中任意项之和不小于．
即对于任意的，有，
即．
对于任意的，，
设，则数列的前项和．
下面证明：．
因为
，
，
．
所以，当且仅当时，等号成立．
所以求的最大值为．
第1页，共1页