2025年·中考一轮复习资料 数学（HDS）
第一节 数与式（1）
知识梳理
（一）正数和负数
1. 正数：像3,1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数；
2. 负数：像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号；
3. 0的意义
（1）0既不是正数，也不是负数；
（2）0是正数与负数的分界线；
（3）0的意义：0不仅可以表示“没有”，还可以表示其他意义；
例如：0℃是一个确定的温度，海拔0m表示海平面的平均高度.
正负数的意义：用正数和负数表示具有相反意义的量时.当已知一个量用正数表示时，与其具有相反意义的量就用负数表示，反之亦然.
例如：规定“盈（＋）”则“亏（－）”，“增加（＋）”则“减少（－）”，“收入（＋）”则“支出（－）”等.
有理数
有理数：整数和分数统称为有理数；
有理数的分类：
数轴
数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；
三要素：原点、正方向、单位长度；
相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数.一般地，a和-a互为相反数，特别地，0的相反数是0.这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0；
相反数的性质：若a，b互为相反数，则a＋b＝0；反之，若a＋b＝0，则a，b互为相反数;
相反数的几何意义：互为相反数的两个数（0除外）在数轴上对应的两个点位于原点的两侧，关于原点对称，且到原点的距离相等.
绝对值
绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作｜a｜.
绝对值的意义
几何意义：一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点到原点的距离.离原点的距离越远，绝对值越大，反之，绝对值越小.
代数意义：①一个正数的绝对值是它本身；②一个负数的绝对值是它的相反数；
③0的绝对值是0.
有理数大小的比较
数轴比较法：左边的数小于右边的数；
绝对值比较法：一般地，正数大于0,0大于负数；两个负数，绝对值大的反而小.
有理数的加减乘除
有理数的加法
加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0；
③一个数同0相加，仍得这个数.
加法运算律：
①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；
符号语言：a＋b＝b＋a
②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；
符号语言：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.
有理数乘法：
有理数乘法法则：
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
②任何数与0相乘，都得0；
有理数的乘法运算律：
①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等；
符号语言：ab＝ba
②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等；
符号语言：（ab）c＝a（bc）
③分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加；
符号语言：a（b＋c）＝ab＋ac
有理数除法法则
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即a÷b＝a×（b≠0）；
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
有理数的乘方
倒数
概念：乘积是1的两个数互为倒数；
性质：一个正数的倒数仍是正数，一个负数的倒数仍是负数，0没有倒数.若a，b（a≠0，b≠0）互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a，b互为倒数.
有理数的乘方
概念：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作“a的n次方”.在中，a叫做底数，n叫做指数.
（2）有理数的乘方运算：
①正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0；
②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
③任何不为0的数的0次幂都等于1.
有理数的混合运算顺序：
①如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行；
②先乘方，再乘除，最后加减；
③同级运算，从左到右进行.
科学记数法（含近似数）
科学记数法的概念：把一个大于10的数表示成a×的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），使用的是科学记数法.对于小于-10的数也可以类似表示.
用科学记数法表示数
准确数：在日常生活和生产实际中，能准确地表示一些量的数，称为准确数.
近似数：与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数；
精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示.一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确度是精确的程度.
例如：2.1是精确到十分位或精确到0.1,2.10是精确到百分位或精确到0.01.故近似数尾部的“0”不能随意去掉.
平方根、算术平方根、立方根
平方根
概念：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根；
表示方法：±
读法：正、负根号a
算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方根等于a，即＝a，那么这个正数x叫做a的算数平方根.规定：0的算术平方根是0.
立方根：
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，这就是说，如果＝a，那么x叫做a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”.
（2）性质：①正数的立方根是正数；②负数的立方根是负数；③0的立方根是0；④任何实数都只有一个立方根，其符号与被开方数相同；⑤立方根等于本身的数是0，±1；
开平方、开立方
开平方：求一个数a的平方根的运算；
开立方：求一个数的立方根的运算；
实数及其分类
1.无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数；
2.无理数分为正无理数和负无理数；
3.实数：有理数和无理数统称为实数；
4.实数的分类：
实数的运算
中考真题
2015年·长春数学中考真题
1．（3分）﹣3的绝对值是（ A ）
A．3 B．-3 C． D．-
2．（3分）在长春市“暖房子工程”实施过程中，某工程队做了面积为632000m2的外墙保暖.632000这个数用科学记数法表示为（ B ）
A． B． C． D．
9．（3分）比较大小： 1．（填“＞”、“=”或“＜”）
2016年·长春数学中考真题
1.（3分）﹣5的相反数是（ ）
A. B. C. －5 D. 5
2．（3分）吉林省在践行社会主义核心价值观活动中，共评选出各级各类“吉林好人”45000多名，45000这个数用科学记数法表示为（ ）
A. 45× B. 4.5× C. 4.5× D. 0.45×
2017年·长春数学中考真题
1．（3分）3的相反数是（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
2．（3分）据统计，2016年长春市接待旅游人数约67000000人次，67000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．67×106 B．6.7×105 C．6.7×107 D．6.7×108
9．（3分）计算： × = ．
2018年·长春数学中考真题
1．（3分）﹣ 的绝对值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣5 D．5
2．（3分）长春市奥林匹克公园即将于2018年年底建成，它的总投资额约为2500000000元，2500000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.25×1010 B．2.5×1010 C．2.5×109 D．25×108
9．（3分）比较大小： 3．（填“＞”、“=”或“＜”）
2019年·长春数学中考真题
1．（3分）如图，数轴上表示-2的点A到原点的距离是（ ）
A．-2. B．2. C． D．
2．（3分）2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275 000 000人次，275 000 000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．27.5×107 B．0.275×109 C．2.75×108 D．2.75×109
9．（3分）计算:3 - =
2020年·长春数学中考真题
1.（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（ ）
A．﹣1 B．﹣1.5 C．﹣3 D．﹣4.2
2.（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．79×103 B．7.9×104 C．0.79×105 D．7.9×105
2021年·长春数学中考真题
1．（3分）﹣（﹣2）的值为（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
2．（3分）据报道，我省今年前4个月货物贸易进出口总值为52860000000元人民币，比去年同期增长28.2%．其中52860000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.5286×1011 B．5.286×1010 C．52.86×109 D．5286×107
2022年·长春数学中考真题
2. （3分）长春轨道客车股份有限公司制造的新型奥运版复兴号智能动车组，车头采用鹰隼形的设计，能让性能大幅提升，一列该动车组一年运行下来可节省1800000度电，将数据1800000用科学记数法表示为（ ）
A.18× B.1.8× C.1.8× D. 0.18×
4. （3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. a＞0 B. a＜b C. b－1＜0 D. ab＞0
2023年·长春数学中考真题
（3分）实数、、、数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（ ）
B．
C． D．
2．（3分）长春龙嘉国际机场T3A航站楼设计创意为“鹤舞长春”，航站楼的造型如仙鹤飞翔，蕴含了对吉春大地未来发展的美好愿景．本期工程按照满足年旅客吞吐量人次目标设计的，其中这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2024年·长春数学中考真题
1．根据有理数加法法则，计算2+（﹣3）过程正确的是（ ）
A．+（3+2） B．+（3﹣2） C．﹣（3+2） D．﹣（3﹣2）
5．不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，则a＞c
C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc D．若a＞b，c＞0，则
基础训练
用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A.-3 B. 1 C. 2 D. 3
－的绝对值是（ ）
A.－10 B. C. － D. 10
-3的倒数是（ ）
A.－ B. C. －3 D. 3
下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ）
A.北京-4.6℃ B.上海5.8℃ C.天津-3.2℃ D.重庆8.1℃
计算-5+3的结果是（ ）
A.-2 B. -8 C. 2 D. 8
“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器，“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是-180℃、最高温度是150℃，则它能够耐受的温差是（ ）
A.-180℃ B.150℃ C.30℃ D.330℃
若（-3）×□的运算结果为正数，则□内的数字可以为（ ）
A.2 B.1 C.0 D.-1
央视新闻2024年5月31日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超52 000 000 000度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能.将数据52 000 000 000用科学记数法表示为（ ）
A.5.2× B. 0.52× C.52× D.5.2×
9.2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作报告》.截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机126.7万架，运营无人机的企业达1.9万家.将126.7万用科学记数法表示为（ ）
A.1.267× B.1.267× C.1.267× D.1.267×
10.目前全国最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是A4纸厚度的六分之一.已知1毫米＝1百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ）
A.0.15×纳米 B.1.5×纳米 C.15×纳米 D.1.5× 纳米
11.下列实数中，是无理数的是（ ）
-3 B.0 C. D.
如图，数轴上大概表示的点是（ ） A.点A B.B点 C.C点 D.D点
中国是世界上最早使用负数的国家.负数可以广泛应用到生产和生活中，若零上3℃记作+3℃，则零下2℃记作 ℃。
计算：-（-2024）＝ ；
计算：＝ ；
16的算术平方根是 ；
比较大小： 2.（选填“＞”“＜”或“＝”）
27的立方根是 .
计算：（-1）×3＋＋－.
20.计算：＋2sin60°＋|－2|－.2025年·中考一轮复习资料 数学（HDS）
第一节 数与式（1）
知识梳理
（一）正数和负数
1. 正数：像3,1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数；
2. 负数：像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号；
3. 0的意义
（1）0既不是正数，也不是负数；
（2）0是正数与负数的分界线；
（3）0的意义：0不仅可以表示“没有”，还可以表示其他意义；
例如：0℃是一个确定的温度，海拔0m表示海平面的平均高度.
正负数的意义：用正数和负数表示具有相反意义的量时.当已知一个量用正数表示时，与其具有相反意义的量就用负数表示，反之亦然.
例如：规定“盈（＋）”则“亏（－）”，“增加（＋）”则“减少（－）”，“收入（＋）”则“支出（－）”等.
有理数
有理数：整数和分数统称为有理数；
有理数的分类：
数轴
数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；
三要素：原点、正方向、单位长度；
相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数.一般地，a和-a互为相反数，特别地，0的相反数是0.这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0；
相反数的性质：若a，b互为相反数，则a＋b＝0；反之，若a＋b＝0，则a，b互为相反数;
相反数的几何意义：互为相反数的两个数（0除外）在数轴上对应的两个点位于原点的两侧，关于原点对称，且到原点的距离相等.
绝对值
绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作｜a｜.
绝对值的意义
几何意义：一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点到原点的距离.离原点的距离越远，绝对值越大，反之，绝对值越小.
代数意义：①一个正数的绝对值是它本身；②一个负数的绝对值是它的相反数；
③0的绝对值是0.
有理数大小的比较
数轴比较法：左边的数小于右边的数；
绝对值比较法：一般地，正数大于0,0大于负数；两个负数，绝对值大的反而小.
有理数的加减乘除
有理数的加法
加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0；
③一个数同0相加，仍得这个数.
加法运算律：
①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；
符号语言：a＋b＝b＋a
②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；
符号语言：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.
有理数乘法：
有理数乘法法则：
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
②任何数与0相乘，都得0；
有理数的乘法运算律：
①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等；
符号语言：ab＝ba
②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等；
符号语言：（ab）c＝a（bc）
③分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加；
符号语言：a（b＋c）＝ab＋ac
有理数除法法则
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即a÷b＝a×（b≠0）；
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
有理数的乘方
倒数
概念：乘积是1的两个数互为倒数；
性质：一个正数的倒数仍是正数，一个负数的倒数仍是负数，0没有倒数.若a，b（a≠0，b≠0）互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a，b互为倒数.
有理数的乘方
概念：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作“a的n次方”.在中，a叫做底数，n叫做指数.
（2）有理数的乘方运算：
①正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0；
②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
③任何不为0的数的0次幂都等于1.
有理数的混合运算顺序：
①如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行；
②先乘方，再乘除，最后加减；
③同级运算，从左到右进行.
科学记数法（含近似数）
科学记数法的概念：把一个大于10的数表示成a×的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），使用的是科学记数法.对于小于-10的数也可以类似表示.
用科学记数法表示数
准确数：在日常生活和生产实际中，能准确地表示一些量的数，称为准确数.
近似数：与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数；
精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示.一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确度是精确的程度.
例如：2.1是精确到十分位或精确到0.1,2.10是精确到百分位或精确到0.01.故近似数尾部的“0”不能随意去掉.
平方根、算术平方根、立方根
平方根
概念：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根；
表示方法：±
读法：正、负根号a
算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方根等于a，即＝a，那么这个正数x叫做a的算数平方根.规定：0的算术平方根是0.
立方根：
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，这就是说，如果＝a，那么x叫做a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”.
（2）性质：①正数的立方根是正数；②负数的立方根是负数；③0的立方根是0；④任何实数都只有一个立方根，其符号与被开方数相同；⑤立方根等于本身的数是0，±1；
开平方、开立方
开平方：求一个数a的平方根的运算；
开立方：求一个数的立方根的运算；
实数及其分类
1.无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数；
2.无理数分为正无理数和负无理数；
3.实数：有理数和无理数统称为实数；
4.实数的分类：
实数的运算
中考真题
2015年·长春数学中考真题
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．3 B．-3 C． D．-
2．（3分）在长春市“暖房子工程”实施过程中，某工程队做了面积为632000m2的外墙保暖.632000这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）比较大小： 1．（填“＞”、“=”或“＜”）
2016年·长春数学中考真题
1.（3分）﹣5的相反数是（ ）
A. B. C. －5 D. 5
2．（3分）吉林省在践行社会主义核心价值观活动中，共评选出各级各类“吉林好人”45000多名，45000这个数用科学记数法表示为（ ）
A. 45× B. 4.5× C. 4.5× D. 0.45×
2017年·长春数学中考真题
1．（3分）3的相反数是（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
2．（3分）据统计，2016年长春市接待旅游人数约67000000人次，67000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．67×106 B．6.7×105 C．6.7×107 D．6.7×108
9．（3分）计算： × = ．
2018年·长春数学中考真题
1．（3分）﹣ 的绝对值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣5 D．5
2．（3分）长春市奥林匹克公园即将于2018年年底建成，它的总投资额约为2500000000元，2500000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.25×1010 B．2.5×1010 C．2.5×109 D．25×108
9．（3分）比较大小： 3．（填“＞”、“=”或“＜”）
2019年·长春数学中考真题
1．（3分）如图，数轴上表示-2的点A到原点的距离是（ ）
A．-2. B．2. C． D．
2．（3分）2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275 000 000人次，275 000 000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．27.5×107 B．0.275×109 C．2.75×108 D．2.75×109
9．（3分）计算:3 - =
2020年·长春数学中考真题
1.（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（ ）
A．﹣1 B．﹣1.5 C．﹣3 D．﹣4.2
2.（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．79×103 B．7.9×104 C．0.79×105 D．7.9×105
9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费 元．
2021年·长春数学中考真题
1．（3分）﹣（﹣2）的值为（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
2．（3分）据报道，我省今年前4个月货物贸易进出口总值为52860000000元人民币，比去年同期增长28.2%．其中52860000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.5286×1011 B．5.286×1010 C．52.86×109 D．5286×107
2022年·长春数学中考真题
2. （3分）长春轨道客车股份有限公司制造的新型奥运版复兴号智能动车组，车头采用鹰隼形的设计，能让性能大幅提升，一列该动车组一年运行下来可节省1800000度电，将数据1800000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. （3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
2023年·长春数学中考真题
（3分）实数、、、数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（ ）
B．
C． D．
2．（3分）长春龙嘉国际机场T3A航站楼设计创意为“鹤舞长春”，航站楼的造型如仙鹤飞翔，蕴含了对吉春大地未来发展的美好愿景．本期工程按照满足年旅客吞吐量人次目标设计的，其中这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2024年·长春数学中考真题
1．根据有理数加法法则，计算2+（﹣3）过程正确的是（ ）
A．+（3+2） B．+（3﹣2） C．﹣（3+2） D．﹣（3﹣2）
5．不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，则a＞c
C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc D．若a＞b，c＞0，则
基础训练
用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A.-3 B. 1 C. 2 D. 3
－的绝对值是（ ）
A.－10 B. C. － D. 10
-3的倒数是（ ）
A.－ B. C. －3 D. 3
下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ）
A.北京-4.6℃ B.上海5.8℃ C.天津-3.2℃ D.重庆8.1℃
计算-5+3的结果是（ ）
A.-2 B. -8 C. 2 D. 8
“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器，“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是-180℃、最高温度是150℃，则它能够耐受的温差是（ ）
A.-180℃ B.150℃ C.30℃ D.330℃
若（-3）×□的运算结果为正数，则□内的数字可以为（ ）
A.2 B.1 C.0 D.-1
央视新闻2024年5月31日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超52 000 000 000度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能.将数据52 000 000 000用科学记数法表示为（ ）
A.5.2× B. 0.52× C.52× D.5.2×
9.2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作报告》.截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机126.7万架，运营无人机的企业达1.9万家.将126.7万用科学记数法表示为（ ）
A.1.267× B.1.267× C.1.267× D.1.267×
10.目前全国最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是A4纸厚度的六分之一.已知1毫米＝1百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ）
A.0.15×纳米 B.1.5×纳米 C.15×纳米 D.1.5× 纳米
11.下列实数中，是无理数的是（ ）
-3 B.0 C. D.
如图，数轴上大概表示的点是（ ） A.点A B.B点 C.C点 D.D点
中国是世界上最早使用负数的国家.负数可以广泛应用到生产和生活中，若零上3℃记作+3℃，则零下2℃记作 ℃。
计算：-（-2024）＝ ；
计算：＝ ；
16的算术平方根是 ；
比较大小： 2.（选填“＞”“＜”或“＝”）
27的立方根是 .
计算：（-1）×3＋＋－.
20.计算：＋2sin60°＋|－2|－.(共38张PPT)
中考一轮
复习
人的一生只有三天，昨天，今天和明天。
昨天，已经过去，一去不复返。
今天，它正在你的脚下，分分秒秒地在缩短。
明天，它是未来，它是希望。
目 录
C O N T E N T
01
02
03
04
数与式
方程（组）与不等式（组）
函数
图形的初步认识
05
三角形
06
四边形
07
图形的变化
08
圆
09
统计与概率
√
专题一 数与式
第一节 实数
2025年中考一轮复习·数学（HDS）
知识梳理
兵马未动，粮草先行
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
终点
WIN
2. 负数：像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号；
（一）正数和负数
1. 正数：像3,1.8%，3.5这样 的数叫做正数；
2. 负数：像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样 叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号；
3. 0的意义
（1）0既不是 ，也不是 ；
（2）0是 的分界线；
（3）0的意义：0不仅可以表示“ ”，还可以表示其他意义；
例如：0℃是一个确定的温度，海拔0m表示海平面的平均高度.
大于0
在正数前加上符号“-”（负）的数
正数
负数
正数和负数
没有
2. 负数：像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号；
4. 正负数的意义：用正数和负数表示具有相反意义的量时.当已知一个量用正数表示时，与其具有相反意义的量就用 表示，反之亦然.
负数
例如：规定“盈（＋）”则“亏（－）”，“增加（＋）”则“减少（－）”，“收入（＋）”则“支出（－）”等.
2. 负数：像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号；
整数和分数统称为有理数
（二）有理数
1. 有理数： ；
2.有理数的分类：
（1）按概念分类：
（2）按性质分类：
2. 负数：像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号；
原点
（三）数轴
1.数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴；
正方向
单位长度
2.三要素： 、 、 ；
原点
正方向
单位长度
2. 负数：像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号；
（四）相反数
1.只有 的两个数叫做互为相反数.一般地，a和-a互为相反数，特别地，0的相反数是 .这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0；
符号不同
0
2.相反数的性质：若a，b互为相反数，则 ；反之，若 ，则a，b互为相反数;
a＋b＝0
a＋b＝0
3.相反数的几何意义：互为相反数的两个数（0除外）在数轴上对应的两个点位于原点的 ，关于原点 ，且到原点的距离 .
两侧
对称
相等
2. 负数：像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号；
（五）绝对值
1.绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的 叫做数a的绝对值，记作 .
2.绝对值的意义
（1）几何意义：一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点到原点的距离.离原点的距离越远，绝对值 ，反之，绝对值越小.
（2）代数意义：①一个正数的绝对值是 ；
②一个负数的绝对值是 ；
③0的绝对值是 .
距离
越大
|a|
它本身
它的相反数
0
2. 负数：像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号；
当绝对值符号里的数的正负性不能确定时，要分类讨论
即对于任何有理数a，都有|a|＝
a＞0，
a
a＝0，
0
a＜0，
－a
2. 负数：像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号；
（六）有理数的大小比较
1.数轴比较法： 小于 ；
2.绝对值比较法：
一般地， 大于0,0大于 ；
两个负数，绝对值大的反而 .
左边的数
正数
负数
小
右边的数
2. 负数：像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号；
（七）有理数的加减乘除
1.有理数的加法
取相同的符号
绝对值
（1）加法法则：
①同号两数相加， ，并把 相加；
③一个数同0相加，仍得这个数.
符号
减去
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的 ，并用较大的绝对值 较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得 ；
0
③一个数同0相加， .
仍得这个数
（2）加法运算律：
①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置， ；
符号语言： .
和不变
a＋b＝b＋a
③一个数同0相加，仍得这个数.
（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
相反数
②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加， ；
符号语言： .
2.有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的 .
和不变
3.有理数乘法：
（1）有理数乘法法则：
①两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把 相乘；
正
负
绝对值
③一个数同0相加，仍得这个数.
ab＝ba
（ab）c＝a（bc）
②任何数与0相乘，都得 ；
（2）有理数的乘法运算律：
①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等；
符号语言： ；
②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个
数相乘，积相等；符号语言： ；
0
倒数
③分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加；符号语言： ；
4.有理数除法法则
（1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 ，即a÷b＝a×
（b≠0）；
（2）两数相除，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 .0除以任何一个不等于0的数，都得 .
a（b＋c）＝ab＋ac
正
负
相除
0
2. 负数：像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号；
（八）有理数的乘方
1.倒数
乘积是1的两个数
正数
（1）概念： 互为倒数；
（2）性质：一个正数的倒数仍是 ，一个负数的倒数仍是 ，0 .若a，b（a≠0，b≠0）互为倒数，则ab＝ ；反之，若ab＝ ，则a，b互为倒数.
2.有理数的乘方：求n个相同因数的 的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做 .一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作“a的n次方”.在中，a叫做 ，n叫做 .
负数
没有倒数
1
1
积
幂
底数
指数
2. 负数：像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号；
（2）有理数的乘方运算：
①正数的任何次幂都是 ，0的任何正整数次幂都是 ；
②负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ；
③任何不为0的数的0次幂都等于 .
（2）有理数的混合运算顺序：
①如有括号，先做括号内的运算，按 括号、 括号、 括号依次进行；
②先 ，再 ，最后加减；
③同级运算，从左到右进行.
正数
0
负数
负数
1
小
中
大
算乘方
算乘除
2. 负数：像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号；
（九）科学记数法（含近似数）
1.科学记数法的概念：把一个大于10的数表示成 的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），使用的是科学记数法.对于小于-10的数也可以类似表示.
2.用科学记数法表示数
a×
2. 负数：像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号；
3.准确数：在日常生活和生产实际中，能准确地表示一些量的数，称为准确数.
4.近似数：与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数；
5.精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示.一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确度是精确的程度.
例如：2.1是精确到十分位或精确到0.1,2.10是精确到百分位或精确到0.01.故近似数尾部的“0”不能随意去掉.
2. 负数：像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号；
（十）平方根、算术平方根、立方根
1.平方根
（1）概念：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根；
（2）表示方法：±
（3）读法：正、负根号a
2.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方根等于a，即＝a，那么这个正数x叫做a的算数平方根.规定：0的算术平方根是0.
2. 负数：像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号；
3.立方根：
（1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，这就是说，如果＝a，那么x叫做a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”.
（2）性质：①正数的立方根是正数；②负数的立方根是负数；③0的立方根是0；④任何实数都只有一个立方根，其符号与被开方数相同；⑤立方根等于本身的数是0，±1；
2. 负数：像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号；
4.开平方、开立方
开平方：求一个数a的平方根的运算；
开立方：求一个数的立方根的运算；
2. 负数：像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号；
（十一）实数及其分类
1.无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数；
2.无理数分为正无理数和负无理数；
3.实数：有理数和无理数统称为实数；
4.实数的分类：
2. 负数：像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号；
（十二）实数的运算
中考真题
2015-2024年
长春市十年中考数学真题
2015年·长春数学中考真题
1.﹣3的绝对值是（ ）
A．3 B．-3 C． D．-
2.在长春市“暖房子工程”实施过程中，某工程队做了面积为632000m2的外墙保暖.632000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．63.2× B．6.32× C．63.2× D．0.632×
9.比较大小： 1．（填“＞”、“=”或“＜”）
A
B
＞
2016年·长春数学中考真题
1.﹣5的相反数是（ ）
A.- B. C. －5 D. 5
2.吉林省在践行社会主义核心价值观活动中，共评选出各级各类“吉林好人”45000多名，45000这个数用科学记数法表示为（ ）A．45× B．4.5× C．4.5× D．0.45×
D
B
2017年·长春数学中考真题
1.3的相反数是（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
2.吉林省在践行社会主义核心价值观活动中，共评选出各级各类“吉林好人”45000多名，45000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．67× B．6.7× C．6.7× D．6.7×
9.计算×= ．
A
C
2018年·长春数学中考真题
1.﹣的绝对值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣5 D．5
2.长春市奥林匹克公园即将于2018年年底建成，它的总投资额约为2500000000元，2500000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.25× B．2.5× C．2.5× D．25×
9.比较大小 3．（填“＞”、“=”或“＜”）
B
C
＞
2019年·长春数学中考真题
1.如图，数轴上表示-2的点A到原点的距离是（ ）
A．-2. B．2. C．- D．
2.2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275 000 000人次，275 000 000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．27.5× B．0.275× C．2.75× D．2.75×
9.计算:3－ = .
B
C
2
2020年·长春数学中考真题
1.如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（ ）
A．﹣1 B．﹣1.5 C．﹣3 D．﹣4.2
2.为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．79× B．7.9× C．0.79× D．7.9×
C
B
2021年·长春数学中考真题
1.﹣（﹣2）的值为（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
2.据报道，我省今年前4个月货物贸易进出口总值为52860000000元人民币，比去年同期增长28.2%．其中52860000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.5286× B．5.286× C．52.86× D．5286×
C
B
2022年·长春数学中考真题
2.长春轨道客车股份有限公司制造的新型奥运版复兴号智能动车组，车头采用鹰隼形的设计，能让性能大幅提升，一列该动车组一年运行下来可节省1800000度电，将数据1800000用科学记数法表示为（ ）A.18× B.1.8× C.1.8× D. 0.18×
4.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. a＞0 B. a＜b C. b－1＜0 D. ab＞0
B
B
2023年·长春数学中考真题
1.实数a、b、c、d数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（ ）
A．a B．b C．c D．d
2.长春龙嘉国际机场T3A航站楼设计创意为“鹤舞长春”，航站楼的造型如仙鹤飞翔，蕴含了对吉春大地未来发展的美好愿景．本期工程按照满足年旅客吞吐量人次目标设计的，其中这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.38× B．38× C．38× D．3.8×
B
D
2024年·长春数学中考真题
1．根据有理数加法法则，计算2+（﹣3）过程正确的是（ ）
A．+（3+2） B．+（3﹣2） C．﹣（3+2） D．﹣（3﹣2）
5．不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c
B．若a＞b，b＞c，则a＞c
C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc
D．若a＞b，c＞0，则
D
A
