7.1.2 一元线性回归方程 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
7.1.2 一元线性回归方程
1.会求一元线性回归方程并能根据线性回归方程进行预测.
对于给定的两个变量X和Y（如身高和体重），
假设有n对观测值(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，...，(xn，yn)，拟合的直线是Y=a+bX，
样本点与这条直线的距离为
希望a，b的取值能使上式达到最小.这个方法称为最小二乘法.
先研究简单的情形，考虑3对数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，
下面用向量的方法解决这个问题.
即：求a，b的值，使得偏差yi-(a+bxi)(i=1，2，3)的平方和最小，
[y1-(a+bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2+[y3-(a+bx3)]2达到最小.
用向量的语言描述问题.
“求a，b的值，使得偏差yi-(a+bxi)(i=1，2，3)的平方和最小”
等价于
“求a，b的值，使得向量 (y1-(a+bx1)，y2-(a+bx2)，y3-(a+bx3))的长度最小”
(y1-(a+bx1) ， y2-(a+bx2) ， y3-(a+bx3))
=(y1 ， y2 ， y3)-(a+bx1 ， a+bx2 ， a+bx3)
=(y1 ， y2 ， y3)-[(a ， a ， a)+(bx1 ， bx2 ， bx3)]
=(y1 ， y2 ， y3)-[a(1 ， 1 ， 1)+b(x1 ， x2 ， x3)]
其中， 均为已知向量.
问题转化为：求a，b的值，使 的长度最小.
用向量的方法思考问题.
如图， 和 成确定一个平面，记作α.
由平面向量基本定理可知，对任意的a，b， 都在平面α内；反之，平面α内的任意向量都可以用 来表示.
当a，b变化时， 的端点M是平面α内的一个动点.
如图， ，其中，点Y是平面α外的一个定点.
要使 最小，即 最小，由点到平面距离的定义，
当 ⊥α时，线段MY的长度最短，
即 与平面α垂直时， 的长度最小.
根据线面垂直的判定定理，要使 与平面α垂直，只需其与平面α内的两个不共线的向量 和 均垂直.
用向量的方法解决问题.
求 最小时的a，b的值，就是求 与 和 的数量积分别为0时的a，b的值，即
用向量的坐标表示，即
记
化简，得
则
如果把它的解记作 得到：
①
②
①，②两式推广到n对数据(x1，y1)，(x2，y2)，...，(xn，yn)仍然成立，即：使
达到最小的a，b取值为
其中，
概念讲解
直线方程 称作Y关于X的线性回归方程，相应的直线称作Y关于X的回归直线(如图)， 是这个线性回归方程的系数.
根据表中身高、体重的数据，利用上述方法得到身高和体重满足的线性回归方程为Y=0.648X-55.139.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
身高/cm 165 157 155 175 168 157 178 160 163
体重/kg 52 44 45 55 54 47 62 50 53
由此可知，一个身高166cm的15岁男生，他的体重大致为52.429kg.
同理，一个身高175cm的15岁男生，他的体重大致为58.261kg.
注意：身高和体重之间并没有函数关系，得到的线性回归方程只是对其变化趋势的一种近似描述.对一个给定身高的人，人们可以用这个方程来估计这个人的体重.
例1:如果某位同学10次考试的物理成绩y与数学成绩x如下表所示.
(1)求出y关于x的回归直线方程；
数学成绩x 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76
物理成绩y 80 87 75 86 100 79 93 68 85 77
解：(1)将每个x的值都减去80可得-4，2，-8，7，13，-2，9，-14，1，-4.
这些数字的平均数为0，因此=80.
将每个y的值都减去80可得0，7，-5，6，20，-1，13，-12，5，-3.
这些数字的平均数为3，因此=83.
因此
回归直线方程为
例1:如果某位同学10次考试的物理成绩y与数学成绩x如下表所示.
(1)求出y关于x的回归直线方程；
数学成绩x 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76
物理成绩y 80 87 75 86 100 79 93 68 85 77
例1:如果某位同学10次考试的物理成绩y与数学成绩x如下表所示.
(2)该同学的数学成绩每提高3分，物理成绩估计能提高多少分？
数学成绩x 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76
物理成绩y 80 87 75 86 100 79 93 68 85 77
(2)由回归系数 可知，x每增大1个单位时， 增大1.1个单位.
因此，数学成绩每提高3分，物理成绩估计能提高的分值为
1.1×3=3.3.
(1)画出散点图．从直观上分析数据间是否存在线性相关关系．
(2)计算 等相关数据．
(3)代入公式求出 中参数 的值．
(4)写出回归方程并对实际问题作出估计．
求线性回归方程的步骤：
归纳总结
1.为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，由最小二乘法求得线性回归方程为＝0.67x＋54.9.若已知x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝150，则y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝(　　)
A.75 B.155.4
C.375 D.466.2
C
2.正常情况下,年龄在18岁到38岁的人,体重y(kg)对身高x(cm)的回归方程为
0.72x-58.2,张红同学(20岁)身高为178 cm,她的体重应该在________kg左右.
3.对具有线性相关关系的变量x和Y,测得一组数据如下表:
若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5,则这条回归直线方程
为　　 　　.
69.96
x 2 4 5 6 8
Y 30 40 60 50 70
根据本节课所学，回答下列问题：
1.用什么方法求回归直线方程中，，公式是什么？
2.求回归直线方程的步骤是什么？