7.2 成对数据的线性相关性 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
7.2 成对数据的线性相关性
1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义.
2.了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.
3.会计算样本相关系数，并能根据相关系数的大小判断变量之间相关程度的强弱.
给定两个随机变量(X，Y)的7组成对数据：
利用最小二乘法，可以得到Y关于X的线性回归方程为Y=0.143X+0.102.
这时，X和Y是否具有线性关系呢？
如图可知这7组成对数据均位于单位圆上，所以X和Y不具备线性关系.
当数据不多时，
散点图
变量相关关系
定性推断
但是对一般的情形又如何判断呢？
问题1：如何判断两个随机变量是否具有线性关系呢？
为了解决这个问题，引入（线性）相关系数的概念，通过计算两个随机变量间的（线性）相关系数，来判断它们之间线性相关程度的大小.
以本章第1.2节为例，已知Y关于X的线性回归方程为
由 可知， 一定满足线性回归方程，
∴
①
若X和Y的线性相关性好，则yi和 (i=1，2，3)的差应该不大，最理想的状况应该是
②
记向量u= ，v= ，则③式可记为
v= u .
线性回归方程最理想的状况是向量u，v共线(向量u，v的夹角为0或π).因此，可以用向量u，v夹角的大小来刻画X和Y线性相关的程度，记
由①②式消去 得
③
注：显然|r|≤1.|r|值越接近1，说明X和Y的线性相关性越强；|r|值越接近0，说明X和Y的线性相关性越弱.
问题2：在处理很多实际问题时，常常需要把一组数据x1，x2，...，xn，标准化，即把它转化为均值为0、方差为1的数据.如何实施呢？
令 (i=1，2，...，n)，不难验证x'1，x'2，...，x'n是均值为0、方差为1的数据，称它为原来数据x1，x2，...，xn的标准化.
把x1，x2，...，xn和y1，y2，...，yn分别标准化，得到
此时，向量(x'1，x'2，...，x'n)，(y'1，y'2，...，y'n)的夹角余弦值与向量
u=( …， )，v= 的夹角余弦值相同.
概念生成
一般地，设随机变量X，Y的n组观测值分别为(x1，y1)，(x2，y2)，...，(xn，yn)，记
称r为随机变量X和Y的样本（线性）相关系数.
为了计算的方便，再给出如下式子：
显然，样本（线性）相关系数r的取值范围为[-1，1].
| r |值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强；| r |值越接近0，随机变量之间的线性相关程度越弱.
当r>0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相同，此时称两个随机变量正相关；
当r<0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相反，此时称两个随机变量负相关；
当r=0时，此时称两个随机变量线性不相关.
例1:为了对2020年某校期末成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽取8位，他们的数学、物理成绩对应如下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8
数学成绩x 68 72 78 81 85 88 91 93
物理成绩y 70 66 81 83 79 80 92 89
用变量y与x的样本相关系数r(精确到0.01)说明物理成绩y与数学成绩x的线性相关程度的强弱，并说明它们的变化趋势特征．
参考数据：＝52 957， ≈545.82.
解：＝＝82，
＝＝80，
r＝≈＝≈0.87>0.
所以物理成绩y与数学成绩x的线性相关程度较强，且呈正相关，它们的变化趋势相同．
例2:计算下表两个随机变量之间的样本相关系数r，并谈谈通过计算发现了什么.
x -5 -4 -3 0 3 4 5
y 0 3 4 5 4 3 0
解：
因此，
由此可知，样本数据不具有线性相关性，建立线性回归方程是没有任何意义的.
从图可以看出，表格中的数据都在同一个半圆上，与样本相关系数r的计算结果一致.
注：当r＝0时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系.
1.对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图如图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图如图(2)．由这两个散点图可以判断(　　)
A.变量x与y正相关，u与v正相关
B.变量x与y正相关，u与v负相关
C.变量x与y负相关，u与v正相关
D.变量x与y负相关，u与v负相关
C
2.已知两个变量负相关，且相关程度很强，则它们的相关系数的大小可能是(　　)
A.－0.95 B.－0.13 C.0.15 D.0.96
3.变量X，Y的散点图如图所示，那么X，Y之间的样本相关系数r最接近的值为(　　)
A.1 B.－0.5
C.0 D.0.5
A
C
针对本节课所学内容，说说你都学到了哪些知识？
成对数据的线性相关性
相关系数
应用
r>0，正相关;
r<0，负相关;
r=0，不相关.