2024-2025学年上海七宝中学高二上学期数学期末试卷（2025.01）（含答案）

七宝中学2024学年第一学期高二年级数学期末
2025.1
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．椭圆的右焦点坐标为 .
2．已知球的体积为，则球的表面积为 .
3．若一个圆柱侧面积为，高为2，则这个圆柱的体积为 .
4．若平面与平面都相交，则这三个平面的交线有 条.
5．在三棱锥中，，则点在平面上的投影点是的 心．
6．如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为 .
（第6题） （第7题） （第8题）
7．如图，底面半径为4的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了2周，则圆锥的表面积为 .
8．如图，在四棱台中，底面是菱形，棱平面，，则点到平面的距离为 .
9．球是棱长为1的正方体的外接球，则球的内接正四面体体积为 .
10．已知空间向量满足：，则的最小值为 .
11．已知分别是双曲线渐近线上的两点，且轴，点是坐标原点．现将所在平面沿轴折成平面角为锐角的二面角，翻折后如图，此时．若，则的离心率为 .
12．如图，棱长为1的正方体有一个截面，其中分别在棱上．若是正方形，则截面的面积为 .
二、选择题（本大题共有4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分）
13．已知是空间中两个不重合的平面，是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
14．已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则＂＂是＂＂的（ ）.
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
15．如图，正方体中，分别为线段的中点，联结，对空间任意两点，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称两点可视，下列选项中与点不可视的为（ ）.
A．点 B．点 C．点 D．点
16．已知抛物线，点为抛物线的焦点，点在抛物线上，点为点关于原点的对称点，且，若，则（1）点在一条定直线上：（2）是定值（ ）.
A．（1）正确，（2）不正确 B．（1）不正确，（2）正确
C．（1）正确，（2）正确 D．（1）不正确，（2）也不正确
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.
17．（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分）
已知圆的圆心在轴上，且与直线相切于点．
（1）求圆的方程；
（2）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程．
18．（本题满分14分，第一小题满分8分，第二小题满分6分）
如图，在四棱锥中，平面为的中点，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19．（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分）
水平通常指的是与水平面平行的状态.一个保持水平的桌面能够确保使用的舒适性和稳定性，从而提高工作效率和精度.我们可以使用水平仪检测桌面是否水平，水平仪可以被用于检测某一条直线是否处于水平状态.
（1）请设计一个利用水平仪来检测桌面是否处于水平状态的方案，并借助数学知识来说明其测量原理：
（2）现有一张边长为1米的正方形四脚木桌（四条桌腿的长度均为1米），被放置在倾斜的地面上．通过测量发现，此时桌面的两条对角线分别呈现出和的倾斜角度．为了将这张桌子平稳地放置在地面上并使桌面保持水平，我们需要通过锯短桌腿来进行调整，请提供一个最省力的方案．（答案精确到0.01米）
20．（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分6分，第三小题满分8分）
如图，在平行六面体中，，．点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足．
（1）若三点共线，求的值；
（2）若对角线，求的最大值；
（3）若，直线和的所成角为，求的取值范围．
21．（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分6分，第三小题满分8分）
已知椭圆，点，点是椭圆上的三个动点．
（1）若，求的值；
（2）已知，若，求的取值范围；
（3）已知，请研究面积的最大值．
七宝中学2024学年第一学期高二年级数学期末
2025.1
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．椭圆的右焦点坐标为 .
【答案】（1,0）
2．已知球的体积为，则球的表面积为 .
【答案】
3．若一个圆柱侧面积为，高为2，则这个圆柱的体积为 .
【答案】
4．若平面与平面都相交，则这三个平面的交线有 条.
【答案】1或2或3
5．在三棱锥中，，则点在平面上的投影点是的 心．
【答案】垂
6．如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为 .
【答案】
（第6题） （第7题） （第8题）
7．如图，底面半径为4的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了2周，则圆锥的表面积为 .
【答案】
8．如图，在四棱台中，底面是菱形，棱平面，，则点到平面的距离为 .
【答案】
9．球是棱长为1的正方体的外接球，则球的内接正四面体体积为 .
【答案】
10．已知空间向量满足：，则的最小值为 .
【答案】
11．已知分别是双曲线渐近线上的两点，且轴，点是坐标原点．现将所在平面沿轴折成平面角为锐角的二面角，翻折后如图，此时．若，则的离心率为 .
【答案】
12．如图，棱长为1的正方体有一个截面，其中分别在棱上．若是正方形，则截面的面积为 .
【答案】
二、选择题（本大题共有4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分）
13．已知是空间中两个不重合的平面，是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
14．已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则＂＂是＂＂的（ ）.
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
15．如图，正方体中，分别为线段的中点，联结，对空间任意两点，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称两点可视，下列选项中与点不可视的为（ ）.
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】B
16．已知抛物线，点为抛物线的焦点，点在抛物线上，点为点关于原点的对称点，且，若，则（1）点在一条定直线上：（2）是定值（ ）.
A．（1）正确，（2）不正确 B．（1）不正确，（2）正确
C．（1）正确，（2）正确 D．（1）不正确，（2）也不正确
【答案】C
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.
17．（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分）
已知圆的圆心在轴上，且与直线相切于点．
（1）求圆的方程；
（2）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程．
【答案】（1） （2）或．
【解析】（1）由题意，设圆心，半径，
因为圆与直线相切于点，
则，解得（2分）
则圆心为（4分）
所以圆的方程为（6分）
（2）由题意，圆心到直线的距离为，且经过点，
①若直线的斜率不存在，其方程为，
圆心到直线的距离为，显然符合题意；（8分）
②若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，解得（10分）
则此时直线的方程为，即（12分）
综上，直线的方程为或．（14分）
18．（本题满分14分，第一小题满分8分，第二小题满分6分）
如图，在四棱锥中，平面为的中点，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）因为平面平面所以．（2分）
由题知，，所以，
由余弦定理得，
所以，又，所以，即（4分）
因为平面，所以平面（6分）
因为平面，所以平面平面（8分）
（2）由（1）知，在平面内的射影为，所以在平面内的射影也为，故直线与平面所成角即为（10分）
因为，所以，
所以，又因为为的中点，所以，所以（12分）
所以（14分）
19．（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分）
水平通常指的是与水平面平行的状态.一个保持水平的桌面能够确保使用的舒适性和稳定性，从而提高工作效率和精度.我们可以使用水平仪检测桌面是否水平，水平仪可以被用于检测某一条直线是否处于水平状态.
（1）请设计一个利用水平仪来检测桌面是否处于水平状态的方案，并借助数学知识来说明其测量原理：
（2）现有一张边长为1米的正方形四脚木桌（四条桌腿的长度均为1米），被放置在倾斜的地面上．通过测量发现，此时桌面的两条对角线分别呈现出和的倾斜角度．为了将这张桌子平稳地放置在地面上并使桌面保持水平，我们需要通过锯短桌腿来进行调整，请提供一个最省力的方案．（答案精确到0.01米）
【答案】（1）见解析（2）三条桌腿，分别锯掉0.02米，0.10米，0.12米．
【解析】（1）在桌面上找两条相交直线和，且（2分）
（只要说明两条直线相交即可得2分，选择对角线或者桌边都可，意思到了就给分）
利用水平仪来检测这两条直线是否处于水平：
若直线水平面，且直线（4分）
由面面平行的判定定理，桌面.（6分）
若直线不平行，或直线不平行，则桌面不平行.
（2）解答一：假设桌腿的粗细忽略不计，且对角桌腿间的距离和．
不妨设对角线的倾斜程度为，对角线的倾斜程度为.
假设不锯桌腿，要使得水平面，则桌腿需要锯掉，
即.（8分）同理，.（10分）
此时对角线和的交点在线段上的投影为（如图所示），为了使得桌子平稳地放置在地面上，则.
由梯形的中位线定理可知，，
所以，.（12分）
所以三条桌腿，分别锯掉0.02米，0.10米，0.12米．
（锯掉三条桌腿的答案不唯一，在不锯桌腿的假设下，只需要满足，，其中即可）
解答二：假设桌腿的粗细忽略不计，且对角桌腿间的距离和．
以对角线和的交点为原点，以平面与水平面的交线为轴，以与水平面的交线为轴，以坚直方向为轴，建立空间直角坐标系.
设水平面，倾斜地面.由题意可知，未锯腿时的桌面平行于地面，即．
不妨设（8分）
设地面的一个法向量为，
令，则，即（10分）
可以通过旋转桌面，使得，此时只需要锯两条桌腿．
则平面与平面的夹角（12分）
则桌腿分别锯掉米．（14分）
说明解答二只需要锯掉两条桌腿，比起解答一锯掉三条桌腿更省力.所以解答一只能得6分．
20．（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分6分，第三小题满分8分）
如图，在平行六面体中，，．点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足．
（1）若三点共线，求的值；
（2）若对角线，求的最大值；
（3）若，直线和的所成角为，求的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）设基向量，则．
因为，所以．
因为三点共线，设，即，解得．
所以（4分）（用公理3也可以证明是的中点）
（2）因为，且，
所以（6分）
配方得即（8分）
故，即．所以的最大值为．．．．．．．（10分）
（3），
则，即．
即（12分）
．（14分）
令
解法二：因为，所以．
又因为，所以，即．
所以，直线和的所成角为．（12分）
当点和点重合时，最小为0，即最大为1．
当点和点重合时，最大，即最小．
（16分）
此时．所以，．（18分）
解法三：如图，以点为原点，为轴，为轴，建立空间直角直角坐标系．
则．
由点，得，
则．
又，
则（12分）．
令
21．（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分6分，第三小题满分8分）
已知椭圆，点，点是椭圆上的三个动点．
（1）若，求的值；
（2）已知，若，求的取值范围；
（3）已知，请研究面积的最大值．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由题意可知，代入椭圆，得到，化简得到．（4分）
（2）设，由题意可知，，则（6分）
又有代入椭圆，得到，
化简得，所以（8分）因为，所以.（10分）
（3）假设直线的斜率存在，设直线为．
将代入椭圆得，.
由韦达定理，，则，．
由题意可知，，则，
化简得.
代入得，推得，
因为点与点不重合，所以.（14分）
所以，
下面求点到直线的最大距离：设平行于直线的椭圆切线，
将代入椭圆得，，
即，切线到直线的距离为．
当点在这条切线上时，点到直线的距离最大，（16分）
所以面积的最大值．
若直线的斜率不存在，则．
由，得到，化简得，所以.
所以直线．所以，且当点时，点到直线的距离最大，.所以面积的最大值.
综上所诉，面积的最大值（18分）