2024-2025学年上海延安中学高二上学期数学期末试卷（2025.01）（含答案）

延安中学2024学年第一学期高二年级数学期末
2025.1
一、填空题（本大题满分39分）本大题共有13题，每题3分．
1．若过点、的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为________．
2．已知直线与直线垂直，且经过点，则直线的方程为________．
3．已知圆，直线被圆截得的弦长为________．
4．直线与的夹角为________．
5．已知点、，为线段上一点，若，则点的坐标
为________．
6．已知一正方体的表面积为24，若球与此正方体的各个面均相切，则该球的体积是_______.
7．已知，若点是直线上的任意一点，则的最小值为________.
8．已知两条平行直线，间的距离为，则________．
9．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是________．
10．已知直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的一般式方程为________．
11．在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点满足，则________．
12．在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使三点共线的的值是________．
13．如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是________．
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分．
14．如图，在长方体中，为棱的中点．若，，，则等于（ ）.
A． B．
C． D．
15．设，，向量，，，且，，
则（ ）.
A． B． C．2 D．8
16．已知点，，，则外接圆的方程是（ ）.
A． B．
C． D．
17．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等
于（ ）.
A． B．
C． D．
三、解答题（本大题满分49分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
18．如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为10，8，15（单位：cm），球的直径为5cm，
（1）求该组合体的体积；（4分）
（2）求该组合体的表面积．（4分）
19．如图所示，平行六面体中，,，，．
（1）用向量，，表示向量，并求；（4分）
（2）求．（4分）
20．在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为．
（1）求点坐标；（4分）
（2）求直线的方程．（4分）
21．三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点．
（1）求证：平面；（4分）
（2）求二面角的正弦值；（5分）
（3）求点到平面的距离．（4分）
22．已知圆和圆．
（1）若圆与圆相交，求的取值范围；（4分）
（2）若直线与圆交于、两点，且，求实数的值；（4分）
（3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标．（4分）
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12. 13.
12．在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使三点共线的的值是________．
【答案】
【解析】∵为中点，为的中点，
三点共线，故答案为：．
13．如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是________．
【答案】
【解析】如图，七面体为正方体截去三棱棱的图形，
由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时，
该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线上，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，
设球心，故
设平面的法向量为，则有，可取，
则球心到平面的距离为
因为球与三个正方形面和等边三角形面相切，所以，解得，
所以这个七面体内部能容纳的最大的球半径是．故答案为：．
二、选择题
14.A 15.B 16. 17.A
17．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等
于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】建立如图所求的直角坐标系，得，则直线方程为，
且的重心为，即，
设关于直线的对称为，则，解得，
则，易知关于轴的对称点为，根据光线反射原理知四点共线，所以直线QR的方程为，，即
又直线QR过，所以，解得或（舍去），
所以，所以．故选：A．
三、解答题
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20.（1） （2）
21．三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点．
（1）求证：平面；（4分）
（2）求二面角的正弦值；（5分）
（3）求点到平面的距离．（4分）
【答案】（1）见解析 （2） （3）
【解析】（1）证明：在三棱台中，平面，
易证直线两两垂直，所以以点为原点，，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，由，
得，，
则．因为，点直线，
所以．又平面平面，所以平面．
（2）由（1）得．
设平面的法向量，则
令，则，得．
设平面的法向量，则
令，则，得．
设二面角的大小为，则
所以二面角的正弦值．
（3）由（1）知，，由（2）知平面的一个法向量，
所以点到平面的距离．
22．已知圆和圆．
（1）若圆与圆相交，求的取值范围；（4分）
（2）若直线与圆交于、两点，且，求实数的值；（4分）
（3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标．（4分）
【答案】（1） （2） （3）或．
【解析】（1）由题意得，圆的圆心，圆的圆心，半径为，
∵圆与圆相交，
即解得：，
（2）设点，直线与圆圆立，
得，由得，
解得：，
（3）由题意得，
设，直线和的方程分别为，
即，由题意可知，圆心到直线的距离等于到直线的距离，则，
化简得
则有或，故或．