2024-2025学年上海行知中学高二上学期数学期末试卷（2025.01）（含答案）

行知中学2024学年第一学期高二年级数学期末
2025.1
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．椭圆：的离心率为________．
2．直线恒过定点________．
3．已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为________．
4．某学生参加两次英语高考，已知第一次超过130分的概率是0.5，第二次超过130分的概率是0.7，两次都超过130分的概率是0.3，则两次考试中至少有一次超过130分的概率为________．
5．的二项展开式中的常数项为________．
6．若椭圆的左焦点在抛物线（）的准线上，则的值为________．
7．已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是________．
8．设直线和圆相交于点，则弦的长度是________．
9．已知，则________．
10．有4名学生报名参加“行知杯”足球赛和“灵辰杯”篮球赛两项比赛，每人至少报一项，每项比赛参加人数不限，则不同的报名结果有________种．
11．如图，已知直四棱柱的所有棱长等于1，，和分别是上下底面对角线的交点，在线段上，，点在线段上移动，则三棱锥的体积最小值为________．
12．抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是________．
二、选择题（本题共4个小题，13~14题每题4分，15~16题每题5分，满分18分）
13．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，，，
14．行知中学高二年级有10位同学在某竞赛中获奖，现排成两排拍照，每排5人，则不同的排列种数是（ ）
A． B． C． D．
15．下列事件是必然事件的是（ ）
A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签
B．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱
C．平行于同一条直线的两条直线互相平行
D．有公共点的两个圆相切
16．已知圆：，：，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
三、解答题（本题共5小题，17~19题每题14分，20~21每题18分，满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，四棱锥的体积为，为的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成的角的大小．（结果用反三角表示）
18．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：
①每位学生每天最多选择1项；
②每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：
时间 周一 周二 周三 周四 周五
课后服务 音乐、阅读、体育、编程 口语、阅读、编程、美术 手工、阅读、科技、体育 口语、阅读、体育、编程 音乐、口语、美术、科技
（1）若学生甲仅在周一和周二参加了课后服务课程，写出实验的样本空间；
（2）若学生乙一周内有三天参加了课后服务课程，共选择了阅读、体育、编程3项，则共有多少种不同的选择方案？并求这些方案中事件：“周一选择阅读”发生的概率．
19．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
树林的边界是直线（如图所在直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于的垂线上的点点点处，米，若兔子沿方向以4米每秒的速度向树林逃跑，同时狼沿线段（）方向以2米每秒的速度进行追击，若狼到达处的时间不多于兔子到达处的时间，狼就会吃掉兔子．
（1）求兔子被狼吃掉的点的区域面积；
（2）若兔子要想不被狼吃掉，求锐角（）的取值范围．
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数，为正整数．
（1）当，且时，求的值；
（2）当，且时，从，，，…，中任取一个数，求取到的数为有理数的概率；
（3）当，且时，若对任意的，，都有，求正整数的值．
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆：，过右焦点作两条互相垂直的弦，设中点分别为．
（1）写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的长轴长；
（2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；
（3）若弦的斜率均存在，求面积的最大值．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.；
7.； 8.； 9.； 10.； 11. 12.
11．如图，已知直四棱柱的所有棱长等于1，，和分别是上下底面对角线的交点，在线段上，，点在线段上移动，则三棱锥的体积最小值为________．
【答案】
【解析】因为直四棱柱的底面是菱形，，边长为1，所以平面，且，所以到平面的距离为.
因为，点是线段上的动点，所以当的面积取得最小值时，三棱锥的体积有最小值.
将平面单独画图可得，当点到的距离最小时，的面积有最小值.
过点作，可得直线上方的点到的距离比直线上的点到的距离小，而线段上除点外的所有点都在直线下方，到的距离比点到的距离大，即当点在点时，的面积取得最小值，且三棱锥的体积有最小值，连接，则，
所以到的距离.
因为，所以到直线的距离为，
所以，
所以，故答案为．
12．抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是________．
【答案】
【解析】设，连接，由抛物线定义，得.
在梯形中，．
由余弦定理得，，配方得，.
又∵，∴，得到，
所以，即的最大值为.
二、选择题
13. C 14.B 15.C 16.A
16．已知圆：，：，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【解析】如图，
∵圆，动圆C满足与外切且与内切，若M为上的动点，设圆的半径为，由题意得
∴点C的轨迹是以为焦点，长轴长为16的椭圆，∴其方程为：，
∵，即CM为圆的切线，要最小，只要最小，
设此时点的坐标为，则
.
∵，∴，故选：A.
三、解答题
17.（1）证明略；（2）.
18. （1），
， .
（2）若是选择周二、三、四这3天：有3种；
若是选择周一、三、四这3天：有种；其中事件：“周一选择阅读”有1种方案；
若是选择周一、二、四这3天：有种；其中事件：“周一选择阅读”有1种方案；
若是选择周一、二、三这3天：有3种；其中事件：“周一选择阅读”有1种方案；
所以总共有22种方案，事件：“周一选择阅读”有3种方案，概率为.
19.（1）；（2）.
20．【答案】（1）；（2）；（3）或675.
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆：，过右焦点作两条互相垂直的弦，设中点分别为．
（1）写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的长轴长；
（2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；
（3）若弦的斜率均存在，求面积的最大值．
【答案】（1），
（2）证明见解析，定点为；（3）
【解析】（1）由椭圆方程可知：右焦点坐标，椭圆的长轴长为．
（2）证明：当直线斜率均存在且不为0时，
设，直线方程为，则
联立，
则有．
将上式中换为，可得．
若，则直线斜率不存在，此时直线过点．
下证动直线过定点，若直线斜率存在，
则．
直线方程为．
令，得此时直线也过定点．
当两条直线其中一条斜率不存在，一条直线斜率为0时，
不妨设直线斜率不存在，直线斜率为0，此时，
则直线的方程为，显然过点．
综上，动直线恒过定点．
（3）由（2）可知直线过定点
令.
，即在上严格减，∴时，取得最大值．