2024-2025学年上海上师大闵分高二上学期数学期末试卷（2025.01）（含答案）

上师闵分、宝分2024学年第一学期高二年级数学期末
2025.1
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．直线的倾斜角为________．
2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为________．
3．直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为________．
4．在长方体中，与棱所在直线异面垂直的棱有________条．
5．已知直线与直线的夹角为，则实数________．
6．如图，三棱柱中，、分别是、的中点，设，，，则等于________.
7．某个比赛中甲乙两人通过初赛的概率分别为和，两人独立参加初赛，其中恰有一人通过的概率是________．
8．上师大附中“12.31”活动需要4个不同节目的志愿者服务队，有7名志愿者被分配到这4个服务队，7人中有5名高二学生和2名高一学生，1名高一学生至少需要1名高二学生进行工作的传授，每个服务队至少需要1名高二学生，且2名高一学生不能分配到同一个服务队，则不同的分配方案种数是________．
9．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：与相关的代数问题可以转化为点与点之间距离的几何问题．结合上述观点，可得方程的解是________．
10．已知，是两个不同平面，给出下列四个条件：
①存在一条直线，，；
②存在一个平面，，；
③存在两条异面直线，，，，，；
④存在两条平行直线，，，，，．
其中可以推出的是________．
11．已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是________
12．一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房．以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数．设集合，集合是集合的非空子集，则中所有元素之和为奇数的概率为________．
二、选择题（本题满分18分，共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分）
13．已知，，，若、、三个向量共面，则实数的值等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．在四棱锥中，底面是正方形，侧棱平面，．点为侧棱的中点，又作交于点．则与平面所成角为（ ）
A． B． C． D．
15．有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ）
A．与为对立事件 B．与为相互独立事件
C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件
16．上师大附中闵分-宝分高二年级进行篮球比赛，甲、乙、丙、丁四个班级进入半决赛．规定首先甲与乙比、丙与丁比，这两场比赛的胜利者再争夺冠军．通过小组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下：则甲夺冠的概率为（ ）
甲 乙 丙 丁
甲 0.3 0.3 0.7
乙 0.7 0.6 0.3
丙 0.7 0.4 0.4
丁 0.3 0.7 0.6
A．0.15 B．0.162 C．0.3 D．0.25
三、解答题（本题满分78分，共有5题）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
上师大附中宝分一闵分在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”春”卡各两张，“蛇”卡三张。每个同学从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“蛇”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分．
（1）求学生甲最终获得5分的不同的抽法种数；
（2）求学生乙最终获得7分的概率．
18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
已知直线；
（1）若，求实数的值；
（2）若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，“复兴”桥为人行天桥，其主体结构是由两根等长的半圆型主梁和四根竖直的立柱吊起一块圆环状的桥面．主梁在桥面上方相交于点且它们所在的平面互相垂直，在桥面上的射影为桥面的中心．主梁连接桥面大圆，立柱连接主梁和桥面小圆，地面有4条可以通往桥面的上行步道．设为其中的一根立柱，为主梁与桥面大圆的连接点．
（1）求证：平面；
（2）设为经过的一条步道，其长度为12米且与地面所成角的大小为30°．桥面小圆与大圆的半径之比为，当桥面大圆半径为20米时，求点到地面的距离．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
一束光从光源射出，经轴反射后（反射点为），射到线段，上处．
（1）若，，求光从出发，到达点时所走过的路程；
（2）若，求反射光的斜率的取值范围；
（3）若，求光从出发，到达点时所走过的最短路程．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立．
（1）请你写出柯西不等式的二元形式；
（2）设是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值；
（3）已知无穷正数数列满足：①存在，使得；②对任意正整数、，均有．求证：对任意，，恒有．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.①③； 11. 12.
11．已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是________
【答案】
【解析】∵是空间相互垂直的单位向量，设
又又
其中
当且仅当时取得等号，∴的最小值是4．故答案为：4．
12．一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房．以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数．设集合，集合是集合的非空子集，则中所有元素之和为奇数的概率为________．
【答案】
【解析】由题意得，该蜜蜂爬到1号蜂房的路线数为1，第2号蜂房的路线数为2，
第3号蜂房的路线数为3，第4号蜂房的路线数为5，第5号蜂房的路线数为8，
则第号蜂房的路线数为
所以，
即数列为，其中为偶数，
所以在中偶数项共有675项，奇数项为1349项，
由得，中有个非空子集，
若中元素之和为奇数，则中的奇数共有奇数个，偶数的个数可以随意，
所以满足条件的的个数为（
所以中所有元素之和为奇数的概率为．故答案为：．
二、选择题
13.A 14.D 15.B 16.B
15．有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ）
A．与为对立事件 B．与为相互独立事件
C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件
【答案】B
【解析】由题意，与互斥但不对立，故错；
事件有共5种，则
事件有共4种，则
其中事件有共1种，事件有共2种，
则，所以与相互独立，故对；
，所以与不独立，故错；
因为与可同时发生，所以与不互斥，故错．故选：B．
16．上师大附中闵分-宝分高二年级进行篮球比赛，甲、乙、丙、丁四个班级进入半决赛．规定首先甲与乙比、丙与丁比，这两场比赛的胜利者再争夺冠军．通过小组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下：则甲夺冠的概率为（ ）
甲 乙 丙 丁
甲 0.3 0.3 0.7
乙 0.7 0.6 0.3
丙 0.7 0.4 0.4
丁 0.3 0.7 0.6
A．0.15 B．0.162 C．0.3 D．0.25
【答案】B
【解析】由题意得甲夺冠的概率为：故选：．
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）证明略 （2）米
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
一束光从光源射出，经轴反射后（反射点为），射到线段，上处．
（1）若，，求光从出发，到达点时所走过的路程；
（2）若，求反射光的斜率的取值范围；
（3）若，求光从出发，到达点时所走过的最短路程．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）关于轴的对称点，
由，则此时，所以光所走过的路程即．
（2）对于线段，令其端点，，则，所以反射光斜率的取值范围是．
（3）若反射光与直线垂直，则由.
①当，即时，光所走过的最短路程为点到直线的距离，所以路程．
②当，即时，光所走过的最短路程为线段，其中，
所以．
综上：．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立．
（1）请你写出柯西不等式的二元形式；
（2）设是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值；
（3）已知无穷正数数列满足：①存在，使得；②对任意正整数、，均有．求证：对任意，，恒有．
【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析
【解析】（1）柯西不等式的二元形式为：
设，则当且仅当时等号成立.
（2）由正四面体的体积
得，所以
又由柯西不等式得
，当且仅当时等号成立．
（3）证明：对，记是的一个排列，且满足．
由条件②得：．
于是，对任意的，都有
由柯西不等式
；
从而，对任意的，都有，
所以对任意，恒有．