2024-2025学年广东省深圳市龙华区高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省深圳市龙华区高二（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知直线：和直线：，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为( )
A. B. C. D.
4.如图，在四面体中，是的中点，，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知，则“为正项等比数列”是“为等差数列”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7.长方体中，底面是边长为的正方形，若直线与所成角的余弦值为，则的长为( )
A. B. 或 C. D. 或
8.已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，若，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点，则( )
A. 的焦点在轴上 B. 的方程为
C. 的焦点到其渐近线的距离为 D. 直线与有两个公共点
10.已知为数列的前项和，且，，，则( )
A. 为常数列 B. 为单调递增数列
C. D. 的前项和恒小于
11.如图，已知椭圆：，其左、右焦点分别为，，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线交椭圆的长轴于点，平分过点作的垂线，垂足为，延长、交于点，若，，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 椭圆的离心率为
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ______．
13.已知，是双曲线的左、右焦点，是抛物线的焦点，若是等边三角形，则该抛物线的方程为______．
14.如图，在第一象限，圆均与直线和相切，且圆与圆外切，设第个圆的半径为，面积为，则 ______，若，则 ______用含的式子表示
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的三个顶点分别是，，，求：
线段的垂直平分线的方程；
的外接圆的方程．
16.本小题分
如图，在直四棱柱中，，，点为棱的中点．
证明：平面；
若，求直线到平面的距离．
17.本小题分
在圆：上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点在圆上运动，是线段的中点当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合
求点的轨迹方程；
设直线与点的轨迹相交于不同的两点、，若，问是否存在实数使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，点在上，且．
证明：平面平面；
求与平面所成角的正弦值；
若棱上一点满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求．
19.本小题分
已知数列，，，，且，，若是一个非零常数列，则称是一阶等差数列；若是一个非零常数列，则称是二阶等差数列．
若，，，试写出二阶等差数列的前项，并求；
若，且满足，
判断是否为二阶等差数列，并证明你的结论；
记数列的前项和为，若不等式时于恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：根据题意，可得，所以的垂直平分线的斜率，
结合的中点为，可得的垂直平分线方程为，即；
设的外接圆的方程为，
根据题意，可得，解得，
所以的外接圆的方程为．
16.证明：连接，交于点，连接，，则是的中点，
因为点为棱的中点，所以，，
又，，
所以，，即四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
解：由直棱柱的性质可知：，，
因为，所以，，两两互相垂直，
故以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为则，
令，得，
由知平面，
所以直线到平面的距离等价于点到平面的距离，即．
17.解：设，，
此时，
因为点是线段的中点，
所以，，
当时，点与点重合，
此时也满足，，
因为在圆上，
所以，
可得，
即，
则点的轨迹方程为；
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
设，，
由韦达定理得，，
设的中点为，
可得，，
因为，
所以，
所以，
因为，，
所以，
解得，
其与相矛盾．
故不存在实数，使得．
18.证明：因为平面，平面，所以，
又，，、平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面．
解：以为原点，，所在直线分别为，轴，作为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
设与平面所成角为，则，，
所以与平面所成角的正弦值为．
解：由知，，平面的一个法向量为，
所以，，
所以，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
因为平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，，
整理得，即，
解得或舍负，
所以．
19.解：若，，，
则，即，
由，可得，
则，可得，，解得，
由，可得，
上式对也成立，即有，；
若，且满足，可得，
即，即有，
可得数列是首项和公比均为的等比数列，即有，即，
可得，，不为非零常数，故不为二阶等差数列；
数列的前项和，
不等式，即，即为对恒成立．
设，，
当时，，当时，可得，即有，
可得数列中最小项为，
则，即有，则实数的取值范围是
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