3.4基本不等式（一）学生学案
【学习目标】
1．理解基本不等式的内容及证明．
2．能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小．
3．会初步运用基本不等式证明简单的不等式．
4. 经历探究过程，感悟数形结合的数学思想.
【新课探究】
探究一：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
问题1：设直角三角形的长为a、b，那么正方形的边长为_________;面积为_________,4个直角三角形的面积和是___________.
问题2：根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们可得到一个怎样的不等式____________________
问题3：4个直角三角形的面积和与正方形的面积有相等的情况吗？何时相等？图形怎样变化？
问题4：你能给出它的证明吗？
归纳小结：（重要不等式），对于任意的实数a,b,都有____________;当且仅当_________________。
探究二：
问题5：既然对于任意的实数a,b,都有a2＋b2 ≥2ab,如果a>0，b>0，用，分别代替a2＋b2≥2ab中的a，b会得到怎样的不等式？
问题6：如何证明不等式≤(a>0，b>0)?
归纳小结：
若a>0,且b>0,那么__________________________________________,我们把这个不等式叫做基本不等式（又叫均值不等式）。
问题7：如下图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP，PB.你能利用这个图形得出基本不等式≤的几何解释吗？
定理解读：（1）基本不等式的几何意义：
（2）平均数解释：
（3）定理成立的条件是___________；结论是_____________。
巩固练习：
例1 已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2 ≥ ab＋bc＋ca.
变式练习1：已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a＋b＋c>＋＋
总结：
例2 已知x、y都是正数．求证：＋ ≥ 2.
变式练习2：
总结：
课堂练习：
1．已知a>0，则4a+的最小值是 （ )
A．2 B．2 C．4 D．5
2．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是 ( )
A．6 B．4 C．2 D．8
【课堂知识再梳理】我学到了什么?
1．重要不等式
如果a，b∈R，那么a2＋b2??≥?2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．
2．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：________________?.
(2)等号成立的条件：当且仅当___________时取等号．
3．算术平均数与几何平均数
(1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为______；
(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数?_______它们的几何平均数．
4．基本不等式的常用推论
(1) ；
(2)＋ ≥ _____.??????(a，b同号)；
(3)当ab>0时，＋ ≥ ____；当ab<0时，＋ ≤? ____.???；
(4)a2＋b2＋c2??___?ab＋bc＋ca (a，b，c∈R).
课后探究作业：
探究函数的最值.
《基本不等式》教案
(高一年级下册·必修5第三章第四节)
成都华西中学数学组 张 宇
一、【教材分析】
1、教学内容
本节课内容是人教A版教材必修5第三章《不等式》第四节,其教学内容为基本不等式的证明及简单应用。
2、地位与作用
本节是在已学不等式性质基础上对不等式进一步认识的重要内容之一，它为选修4-5《不等式选讲》中用以研究不等式提供了一种重要依据。因此本节课起着承上启下的作用。同时本节课给出了《不等式》中2个最重要的不等式，它的探究方法对后续的《不等式选讲》的学习有着方法上的指导意义。
二、【学情分析】
1、知识基础：高一年级学生已在初中学习过一元一次不等式等基础知识，并能用这些知识解决相关问题，对不等式证明的书写较为熟悉。
2、认知水平与能力：高一年级学生已初步学会了简单的逻辑推理方法，掌握了一些基本的数学思想方法，能在教师的引导下独立地解决一些基本问题。
3、任教班级学生特点：我班学生基础知识比较薄弱、但是思维较活跃，能比较容易接受教材上的内容，但是要求应用所学的知识解决问题的能力还不足，逻辑推理能力和用数学语言进行正确表达的能力还有待进一步提高。
三、【目标分析】
教学目标
依据教材的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：
（1）知识与技能
①理解基本不等式的内容及证明；
②能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；
③进一步学会用数学语言对不等式证明进行正确规范地书写。
（2）过程与方法
①在利用赵爽弦图进行推导重要不等式和基本不等式的过程中，经历观察、分析、猜想、论证，形成对两个不等式关系的良好认识；
②在推理论证的过程中进一步理解从特殊到一般和数形结合等数学思想方法的重要性，并学会应用解决相关问题；
（3）情感态度与价值观
①在学习过程中感受不等式证明的严谨性，从而培养严谨的学习态度；
②通过对赵爽弦图的了解渗透数学文化。
2、教学重点及难点
重点：理解基本不等式的含义及证明
难点：基本不等式等号成立条件的运用
重、难点解决的方法策略
本课在设计上采用由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略，通过学生自主思考和互动研讨，经历观察、分析、猜想、论证的过程，自己推导出2个不等式同时，借助多媒体的直观演示，强化学生对重要不等式、基本不等式的理解认识，从而突出重点。为了强化学生对基本不等式的理解认识，在应用上，注意通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突破教学难点。
四、【教学模式与教法、学法】
本课采用“合作——探究”教学模式。
教师的教法突出活动的安排与问题的引导。
学生的学法突出合作学习、探究发现与归纳建构。
五、【过程设计】
结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：
视频欣赏 猜想证明
前后呼应 推论应用
教学过程：
教学
环节
活 动
说 明
一、创设情境：
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
引入新课，板书课题：基本不等式（一）.
现实模型：
生活实例
模 型
直 观
用实际生活引入新课.
议
练
活
动
课
堂
总
结
二、探究新知
（一）探究一：
问题1：设直角三角形的长为a、b，那么正方形的边长为_________;面积为_________,4个直角三角形的面积和是___________.
问题2：根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们可得到一个怎样的不等式____________________
问题3：4个直角三角形的面积和与正方形的面积有相等的情况吗？何时相等？图形怎样变化？
问题4：你能给出它的证明吗？
归纳小结：（重要不等式），对于任意的实数a,b,都有____________;当且仅当_________________。
探究二：
问题5：既然对于任意的实数a,b,都有a2＋b2 ≥2ab,如果a>0，b>0，用，分别代替a2＋b2≥2ab中的a，b会得到怎样的不等式？
问题6：如何证明不等式≤(a>0，b>0)?
归纳小结：
若a>0,且b>0,那么_____________________,我们把这个不等式叫做基本不等式（又叫均值不等式）。
问题7：如下图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP，PB.你能利用这个图形得出基本不等式≤的几何解释吗？
“半径不小于半弦”
定理解读：（1）基本不等式的几何意义：
（2）平均数解释：
（3）定理成立的条件是___________；结论是_____________。
三、知识应用
例1 已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2 ≥ ab＋bc＋ca.
变式练习1：已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a＋b＋c>＋＋
总结：
例2 已知x、y都是正数．求证：＋ ≥ 2.
变式练习2：
总结：
课堂练习：
1．已知a>0，则4a+的最小值是 （ )
A．2 B．2 C．4 D．5
2．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是 ( )
A．6 B．4 C．2 D．8
四、课堂总结
1、课堂小结：
教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容．（采用填空形式）
2、课后作业：
教材100页练习共4个题目.
3、课后思考题：
探究函数的最值.
观察图形，学生自己完成学案上问题。
通过观察，得出结论，小组合作，自己完成证明；
小组相互交流证明过程，解决问题。
学生小组合作自行验证结论，过程中引导学生感悟数学整体代换的思想方法，进而体会逻辑证明的必要性.
证明过程印证了不等式的正确性，并能加深学生对基本不等式的理解
学生单独解答，并完成结论。
几何解释的目的是让学生体会数形结合的基本数学思想。
学生自己完成证明.
展示个别学生的证明过程，指出学生错误和需要注意的地方，体会证明的逻辑性以及严谨性.尤其是变式1中等号不能取得。
学生单独作答
本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明：
（1）回顾本节所学数学知识。
（2）体会数学整体代换的数学思想。
通过ICM的大会图标，学生较容易观察出面积之间的关系，引入基本不等式很直观
通过整体代换变形得到基本不等式，是学生难点，但是要引导学生感悟数学整体代换的思想方法，
几何直观解释让学生体会数形结合的数学思想
例1和变式训练，主要是让学生学会用新知识解决问题，实际上学生大多习惯采用作差法证明，这是正常现象，感知利用基本不等式证明的简洁后，例2和变式2就顺利成章的完成了
引导学生进行回顾总结，归纳本节课内容，完善认知结构
板书设计：
六、【教学反思】
根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课的教学有如下反思：
（1）根据新课程课堂教学活动的基本理念：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”，因此，我在本科教学设计中突出了学生的小组合作，自主探索，鼓励学生积极参与互动交流，所以绝大多数学生能很好地掌握基本不等式，并能用于解决相关问题，形成了较好的数学学习经验。
（2）本课设计特别强调数学知识和技能的训练，渗透“整体代换”和“数形结合”两种数学思想与方法，不等式的推导与例题后变式训练以及一题多解、一题多变的训练模式都是为了这两个目的而设计的。
（3）本课在教学中始终贯穿学法指导，特别是通过对赵爽弦图的引入，得到基本不等式，最后有用几何图形直观解释基本不等式，不仅有利于学生形成数学“数”与“形”的链接，而且让学生感悟到数学文化。
（4）本节课充分利用了多媒体技术，使课堂教学情景化、直观化，生动活泼，趣意盎然。把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。
课件24张PPT。第三章 不等式§3.4 基本不等式： （一）1．理解基本不等式的内容及证明．
2．能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小．
3．会初步运用基本不等式证明简单的不等式．
4. 经历探究过程，感悟数形结合的数学思想。明目标、知重点探要点、究所然(1)那么正方形ABCD的边长为_________
(2)面积为__________
(3)4个直角三角形的面积和是__________探要点、究所然探要点、究所然探要点、究所然探要点、究所然探要点、究所然探要点、究所然探要点、究所然探要点、究所然探要点、究所然探要点、究所然探要点、究所然 两个正数的算术平均数
不小于它们的几何平均数 探要点、究所然探要点、究所然探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺C 1234当堂测、查疑缺1234当堂测、查疑缺B1234归纳、总结、记疑点≥ a>0，b>0 a＝b 归纳、总结、记疑点不小于 2 2 －2 ≥ 本节课内容结束
请完成作业
