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【押题密卷】2025年中考数学（南京卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分．每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意）
1．郑和地铁站总建筑面积达17100m2，公共区装修风格简洁明快，以海丝蓝为装饰色，将茉莉花、海浪等造型融入车站装修．数据17100用科学记数法表示为（ ）
A．1.71×102 B．1.71×104 C．171×102 D．0.171×105
2．下列运算正确的是（ ）
A．(3a2)3＝27a6 B．(a3)2＝a5
C．a3 a4＝a12 D．a6÷a3＝a2
3．已知一个正方形的面积是6，那么它的边长是（ ）
A．36 B．24 C． D．以上皆不对
4．为防范新型毒品对青少年的危害，某校开展青少年禁毒知识竞赛，小星所在小组5个学生的真实成绩分别为80，86，95，96，98，由于小星将其中一名成员的96分错记为98分，则与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的（ ）
A．平均数变小，中位数变大 B．平均数不变，众数不变 C．平均数变大，中位数不变 D．平均数不变，众数变大
5．估计的值在（ ）．
A．1和2 之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5 之间
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．﹣4的相反数是 ，﹣2﹣（+5）的绝对值是 ．
8．计算4﹣3的结果是 ．
9．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
10．已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是___．
11．如图，在△ABC中，∠B=70°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，当点B的对应点D恰好落在AC边上时，∠CAE的度数为 .
12．如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=2016，n2﹣n=2016，那么代数式n2+mn+m的值为 ．
13．甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断：
①甲的成绩更稳定；
②乙的平均成绩更高；
③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是 ．（填序号）
14．如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接，，，．若，，则的周长为 ．
15．如图，四边形是的内接四边形，对角线、交于点，，的半径为1，当时，则的取值范围 ．
16．如图，在矩形中，．分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和．作直线分别与交于点，则 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）化简：．
18．（7分）解方程：．
19．（8分）如图，平行四边形中，点E，F分别在的延长线上，且，连接．求证：．
20．（8分）某人的钱包内有10元、20元和50元的纸币各1张，从中随机取出2张纸币．
（1）求取出纸币的总额是30元的概率；
（2）求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率．
21．（8分）小明、小亮和小丽想要了解他们所生活的小区里小朋友的年龄情况，小明调查了当天在院子里玩耍的小朋友，情况如图1；小亮调查了他所居住的二单元的小朋友，情况如图2；
小丽调查了每个单元一楼的两家住户家中小朋友的年龄，数据（单位：岁）如下：
3，16，14，15，17，8，4，6，9，7，17，12，2，13，6，5，12，14，3，15，5，16，1，1．
这个小区中小朋友的年龄情况到底如何？你认为的调查方式好一些？为什么？如果你去调查的话，你有没有更好的方式？
22．（8分）如图，中，，以为直径的半圆与交于点D，与交于点E．
(1)求证：点D为的中点；
(2)求证：．
23．（8分）“车祸猛于虎”数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在学校某路段公路旁边选取一点 A，再在笔直的车道 l上确定点 D，使 与l 垂直，测得 的长为 15 米，在l上点D的两侧取点B，C（如图），测得 （参考数据：
(1)求的长．（结果保留一位小数）
(2)学校路段车辆限速为40千米/时，若某车从D到B用时3秒，该车是否超速 并说明理由．
24．（9分）某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元．
(1)求两种客房每间定价分别是多少元？
(2)酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？
25．（8分）如图，已知，点M是上的一个定点．
(1)尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N；
(2)在（1）的条件下，若，则所作的的半径是 ．
26．（8分）如图①，正方形ABCD的边长为2，点P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PD，△PAB为等边三角形．
（1）求点P到边AD，AB的距离之和；
（2）如图②，连结BD交PA于点E，求△PBD的面积以及的值．
27．（10分）如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，－1），另一顶点B坐标为（－2，0），已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A'D'∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A'D'与y轴重合时运动停止．
（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；
（2）若运动过程中直尺的边A'D'交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；
（3）如图②，设点P为直尺的边A'D'上的任一点，连接PA、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ＝时，线段PA、PB、PC之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系．
（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D'在抛物线外．）
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【押题密卷】2025年中考数学（南京卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分．每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意）
1．郑和地铁站总建筑面积达17100m2，公共区装修风格简洁明快，以海丝蓝为装饰色，将茉莉花、海浪等造型融入车站装修．数据17100用科学记数法表示为（ ）
A．1.71×102 B．1.71×104 C．171×102 D．0.171×105
【答案】B
【分析】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法表示的方法进行求解是解决本题的关键．
根据把一个大于10的数记成的形式的方法，即“a满足，n为原数的整数位数减1”进行求解即可得出答案．
【详解】解：．
故答案为：B．
2．下列运算正确的是（ ）
A．(3a2)3＝27a6 B．(a3)2＝a5
C．a3 a4＝a12 D．a6÷a3＝a2
【答案】A
【分析】根据同底数幂的除法的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判断即可．
【详解】解：∵(3a2)3＝27a6，∴选项A符合题意；
∵(a3)2＝a6，∴选项B不符合题意；
∵a3 a4＝a7，∴选项C不符合题意；
∵a6÷a3＝a3，∴选项D不符合题意．
故选：A．
3．已知一个正方形的面积是6，那么它的边长是（ ）
A．36 B．24 C． D．以上皆不对
【答案】C
【分析】本题考查平方根，根据题意，设正方形的边长为，表示出正方形的面积是6，利用平方根定义求解，结合几何意义即可得到答案，熟记平方根定义是解决问题的关键．
【详解】解：设正方形的边长为，
，解得或（负值舍去），
故选：C．
4．为防范新型毒品对青少年的危害，某校开展青少年禁毒知识竞赛，小星所在小组5个学生的真实成绩分别为80，86，95，96，98，由于小星将其中一名成员的96分错记为98分，则与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的（ ）
A．平均数变小，中位数变大 B．平均数不变，众数不变
C．平均数变大，中位数不变 D．平均数不变，众数变大
【答案】C
【分析】分别求出实成绩的中位数、众数、平均数，统计成绩的中位数、众数、平均数，进行比较即可得出答案．
【详解】所在小组真实成绩的中位数为95，没有众数，平均数为，由于小星将其中一名成员的96分错记为98分，则统计成绩的中位数为95，众数为98，平均数为，
∴与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的中位数不变，众数改变，平均数变大．
故选：C．
5．估计的值在（ ）．
A．1和2 之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5 之间
【答案】B
【分析】首先估算的取值范围，再得结果．
【详解】解：，
，
，
故选：B．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心．
【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
作图得：
与的交点即为所求的的外心，
的外心坐标是．
故选：C．
二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．﹣4的相反数是 ，﹣2﹣（+5）的绝对值是 ．
【答案】4 7
【分析】根据相反数的定义，有理数的减法法则与绝对值的定义求解可得.
【详解】解：-4的相反数是4，
∵-2-（+5）=-2+（-5）=-7，
∴-2-（+5）的绝对值是7，
故答案为4，7.
8．计算4﹣3的结果是 ．
【答案】﹣
【分析】化简成最简二次根式，后合同类二次根式即可．
【详解】解：原式=4×﹣3
=2﹣3
=﹣．
9．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了函数值变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【详解】解：由题意得：，解得：，
故答案为：．
10．已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是___．
【答案】5
【分析】根据众数的定义求解即可．
【详解】解：这组数据中5出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数是5，
故答案为：5．
11．如图，在△ABC中，∠B=70°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，当点B的对应点D恰好落在AC边上时，∠CAE的度数为 .
【答案】50°
【分析】由旋转可得∠CDE=∠B=70°，∠CED=∠BAC=30°，CA=CE，则∠CAE=∠CEA，再由三角形的外角性质可得∠CDE=∠CAE+∠AED可求出∠CAE的度数．
【详解】∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC
∴∠CDE=∠B=70°，∠CED=∠BAC=30°，CA=CE，
∴∠CAE=∠CEA，
则∠AED=∠CEA-30°
又∵∠CDE=∠CAE+∠AED
即∠CAE+∠CAE-30°=70°
解得∠CAE=50°
故答案为：50°．
12．如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=2016，n2﹣n=2016，那么代数式n2+mn+m的值为 ．
【答案】1
【分析】由m、n是两个不相等的实数，且满足m2-m=2016，n2-n=2016，即可得出m、n是方程x2-x-2016=0的两个实数根，根据根与系数的关系即可得出m+n=1、mn=-2016，将其代入n2+mn+m=n2-n+mn+m+n中即可得出结论.
【详解】解：∵m、n是两个不相等的实数，且满足m2 m=2016，n2 n=2016，
∴m、n是方程x2 x 2016=0的两个实数根，
∴m+n=1，mn= 2016，
∴n2+mn+m=n2 n+mn+m+n=2016 2016+1=1.
故答案为1.
13．甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断：
①甲的成绩更稳定；
②乙的平均成绩更高；
③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①②/②①
【分析】本题考查了平均数、方差的意义．解答本题的关键是掌握它们的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差、平均数的意义进行判断即可求出答案．
【详解】解：根据图象可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定，故①正确；根据图象可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高，故②正确；如果每人再射击一次，但乙的成绩不一定比甲高，只能是可能性较大，因为乙的平均成绩更高，但是波动较大，故③错误．
故答案为：①②．
14．如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接，，，．若，，则的周长为 ．
【答案】
【分析】根据切线长定理和切线的性质可得，，，平分，则，为等边三角形，先计算出的长，即可得到的周长．
【详解】解：是的两条切线，
平分，
，
，为等边三角形，
在Rt中，，
的周长为：，
故答案为：．
15．如图，四边形是的内接四边形，对角线、交于点，，的半径为1，当时，则的取值范围 ．
【答案】/
【分析】连接，，过O作交于F，交于E，根据得到，得到，在、、中根据股定理即可得到答案．
【详解】解：连接，，过O作交于F，交于E，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，，，
∴，
在、、中根据股定理可得，
，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
16．如图，在矩形中，．分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和．作直线分别与交于点，则 ．
【答案】2．
【分析】连接DN，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，根据勾股定理可得BD的长，根据作图过程可得，MN是BD的垂直平分线，所以DN=BN，在Rt△ADN中，根据勾股定理得DN的长，在Rt△DON中，根据勾股定理得ON的长，进而可得MN的长．
【详解】如图，连接DN，
在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，
∴BD=，
根据作图过程可知：
MN是BD的垂直平分线，
∴DN=BN，OB=OD=2，
∴AN=AB-BN=AB-DN=8-DN，
在Rt△ADN中，根据勾股定理，得
DN2=AN2+AD2，
∴DN2=（8-DN）2+42，
解得DN=5，
在Rt△DON中，根据勾股定理，得
ON=，
∵CD∥AB，
∴∠MDO=∠NBO，
∠DMO=∠BNO，
∵OD=OB，
∴△DMO≌△BNO（AAS），
∴OM=ON=，
∴MN=2．
故答案为：2．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）化简：．
【答案】
【详解】试题分析：根据分式的运算性质，先对括号里的式子通分，后按同分母的分式计算，再根据除以一个数等于乘以这个数的倒数把除法变为乘法，把复杂的因式进行因式分解，再约分即可完成化简.
试题解析：解：原式=
=
=
18．（7分）解方程：．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：方程两边同时乘以，得，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的根．
19．（8分）如图，平行四边形中，点E，F分别在的延长线上，且，连接．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．先证明四边形是平行四边形，从而得到，从而即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点E，F分别在边上，，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
20．（8分）某人的钱包内有10元、20元和50元的纸币各1张，从中随机取出2张纸币．
（1）求取出纸币的总额是30元的概率；
（2）求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率．
【答案】（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）先列表得到所有3种等可能的结果数，再找出总额是30元所占结果数，然后根据概率公式计算；
（2）找出总额超过51元的结果数，然后根据概率公式计算．
试题解析：（1）列表：
共有3种等可能的结果数，其中总额是30元占1种，所以取出纸币的总额是30元的概率=；
（2）共有3种等可能的结果数，其中总额超过51元的有2种，所以取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率为．
21．（8分）小明、小亮和小丽想要了解他们所生活的小区里小朋友的年龄情况，小明调查了当天在院子里玩耍的小朋友，情况如图1；小亮调查了他所居住的二单元的小朋友，情况如图2；
小丽调查了每个单元一楼的两家住户家中小朋友的年龄，数据（单位：岁）如下：
3，16，14，15，17，8，4，6，9，7，17，12，2，13，6，5，12，14，3，15，5，16，1，1．
这个小区中小朋友的年龄情况到底如何？你认为的调查方式好一些？为什么？如果你去调查的话，你有没有更好的方式？
【答案】详见解析.
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图以及题目中的数据即可得出小朋友的年龄情况；
（2）根据三人各自采用的调查方式分别分析所选的样本是否具有广泛性和代表性即可；
（3）结合小区的总人数，先确定出采用全面调查还是抽样调查，如果是抽样调查，选取的样本要更具有广泛性和代表性即可．
【详解】(1)这个小区中小朋友的年龄情况大致为：0 7岁的占42%，7 14岁的有25%，14 17岁的有23%；
(2)相比之下，小丽的调查方式好一些，因为她调查了每个单元一楼的两家住户中小朋友的年龄，所以她的样本最具有广泛性和代表性，而小明调查了当天在院子里玩耍的小朋友，一般不具有代表性；小亮调查了他所居住的二单元的小朋友，调查对象较少，不具有广泛性；
(3)更好的调查方式是先了解小区的总人数，如果总人数较少就采用全面调查，如果总人数较多就采用抽样调查，选取的样本要更具有广泛性和代表性.
22．（8分）如图，中，，以为直径的半圆与交于点D，与交于点E．
(1)求证：点D为的中点；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质：
（1）连接，利用等腰三角形的“三线合一”性质即可求证结论；
（2）方法一：根据圆内接四边形的性质及等腰三角形的判定即可求证结论；
方法二：利用等腰三角形的性质及圆周角定理即可求证结论；
熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】（1）证明：连结，如图：
为半圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴点D为AB的中点．
（2）方法一：证明：∵，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∴，
∴．
方法二：证明：连结，，
∵，，
∴，
∵，，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
23．（8分）“车祸猛于虎”数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在学校某路段公路旁边选取一点 A，再在笔直的车道 l上确定点 D，使 与l 垂直，测得 的长为 15 米，在l上点D的两侧取点B，C（如图），测得 （参考数据：
(1)求的长．（结果保留一位小数）
(2)学校路段车辆限速为40千米/时，若某车从D到B用时3秒，该车是否超速 并说明理由．
【答案】(1)40.8米
(2)没有超速，见详解
【分析】此题考查了解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．
（1）分别在与中，利用正切函数，即可求得与的长，继而求得的长；
（2）算出从D到B用时，与3秒比较，即可确定这辆校车是否超速．
【详解】（1）解：在 中，，
（米）
在中，，
∴，
∴（米）
（米）．
（2）（2）没有超速．理用如下：40千米/小时=（米/秒）
该车的时间为为 （秒），
∵，
故该车没有超速．
24．（9分）某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元．
(1)求两种客房每间定价分别是多少元？
(2)酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？
【答案】（）设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元，根据题意，列出方程组即可求解；
（）设种客房每间定价为元，根据题意，列出与的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和二次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元，
由题意可得，，
解得，
答：种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元；
（2）解：设种客房每间定价为元，
则，
∵，
∴当时，取最大值，元，
答：当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元．
25．（8分）如图，已知，点M是上的一个定点．
(1)尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N；
(2)在（1）的条件下，若，则所作的的半径是 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定与性质、直角三角形的性质．
（1）先作的平分线，再过M点作的垂线交于点O，接着过O点作于N点，然后以O点为圆心，为半径作圆，则满足条件；
（2）由（1）作图知，利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出的半径．
【详解】（1）解：如图，即为所求作；
（2）解：由（1）作图知，，,
在中，，，
，即，
∴，
故答案为：．
26．（8分）如图①，正方形ABCD的边长为2，点P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PD，△PAB为等边三角形．
（1）求点P到边AD，AB的距离之和；
（2）如图②，连结BD交PA于点E，求△PBD的面积以及的值．
【答案】【分析】（1）过P作PM⊥AD于M，PN⊥AB于N，便可证得四边形ANPM是矩形，再通过等边三角形的性质求出PM，PN的长度即可．
（2）运用面积差S△PBD＝S四边形ABPD﹣S△ABD列式计算即可求得S△PBD，过P作PG⊥BD于G，过A作AH⊥BD于H，便可求得△PGE∽△AHE，再利用和三角形面积比列式计算即可．
【详解】解：（1）如图①，过P作PM⊥AD于M，PN⊥AB于N
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DAB＝90°
∴∠PMA＝∠DAB＝∠PNB＝90°
∴四边形ANPM是矩形
∴PM＝AN，AM＝PN
∵△ABP是等边三角形
∴AN＝AB＝1，PN＝
∴PM＝AN＝1
∴PM+PN＝+1
即点P到边AD，AB的距离之和为+1．
（2）S△PBD＝S四边形ABPD﹣S△ABD＝AD（PM+PN）﹣AD AB＝×2×（1+）﹣×2×2＝﹣1；
如图②，过P作PG⊥BD于G，过A作AH⊥BD于H
∴∠PGE＝∠AHE＝90°
∵∠PEG＝∠AEH
∴△PGE∽△AHE
∴
∵
∴
27．（10分）如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，－1），另一顶点B坐标为（－2，0），已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A'D'∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A'D'与y轴重合时运动停止．
（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；
（2）若运动过程中直尺的边A'D'交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；
（3）如图②，设点P为直尺的边A'D'上的任一点，连接PA、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ＝时，线段PA、PB、PC之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系．
（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D'在抛物线外．）
【答案】（1）C（-1，-3）．y=x2+x-3．（2）．（3）PB-PC=PA．
【详解】试题分析：（1）求C点坐标，考虑作x，y轴垂线，表示横纵坐标，易得△CDA≌△AOB，所以C点坐标易知．进而抛物线解析式易得．
（2）横坐标相同的两点距离，可以用这两点的纵坐标作差，因为两点分别在直线BC与抛物线上，故可以利用解析式，设横坐标为x，表示两个纵坐标．作差记得关于x的二次函数，利用最值性质，结果易求．
（3）计算易得，BC=，因为Q为BC的中点，PQ=恰为半径，则以作圆，P点必在圆上．此时连接PB，PC，PA，因为BC为直径，故BP2+CP2=BC2为定值，而PA不固定，但不超过BC，所以易得结论BP2+CP2≥PA2，题目要求考虑三种情况，其中P在抛物线上时，P点只能与B或C重合，此时，PA，PB，PC可求具体值，则有等量关系．
试题解析：（1）如图1，过点C作CD⊥y轴于D，此时△CDA≌△AOB，
∵△CDA≌△AOB，
∴AD=BO=2，CD=AO=1，
∴OD=OA+AD=3，
∴C（-1，-3）．
将B（-2，0），C（-1，-3）代入抛物线y=x2+bx+c，
解得 b=，c=-3，
∴抛物线的解析式为y=x2+x-3．
（2）设lBC：y=kx+b，
∵B（-2，0），C（-1，-3），
∴，
解得 ，
∴lBC：y=-3x-6，
设M（xM，-3xM-6），N（xN，xN2+xN-3），
∵xM=xN（记为x），yM≥yN，
∴线段MN长度=-3x-6-（x2+x-3）=-（x+）2+，（-2≤x≤-1），
∴当x=-时，线段MN长度为最大值．
（3）答：P在抛物线外时，BP2+CP2≥PA2；P在抛物线上时，BP+CP=AP；P在抛物线内，BP2+CP2≥PA2．
分析如下：
如图2，以Q点为圆心，为半径作⊙Q，
∵OB=2，OA=1，
∴AC=AB==，
∴BC=，
∴BQ=CQ=，
∵∠BAC=90°，
∴点B、A、C都在⊙Q上．
①P在抛物线外，
如图3，圆Q与BD′的交点即为点P，连接PB，PC，PA，延长PC交y轴于点D
∵BC为直径，
∴∠BPC=90°
∵BD′与y轴平行
∴∠ADC=90°，且D点为抛物线与y轴交点
∴PD∥x轴
易得PC=1，PB=3，PA=2
∴BP+CP=AP．
②P在抛物线上，此时，P只能为B点或者C点，
∵AC=AB=，
∴AP=，
∵BP+CP=BC=，
∴BP+CP=AP．
③P在抛物线内，有两种情况，如图4，5，
如图4，在PC上取BP=PT，
∵BC为直径，
∴∠BPC=90°
∴△BPT为等腰直角三角形
∴∠PBT=45°=∠1+∠2
∵∠ABC=∠3+∠2=45°
∴∠1=∠3
∵∠BAP=∠BCP（同弧BP）
∴△BPA∽△BTC
∴
∵PC=PT+CT
∴PC=PT+PA=PB+PA
∴PC-PB=PA
同理，如图5，也可得PB-PC=PA．
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