2025高考数学考二轮专题突破练18 概率、随机变量及其分布-专项训练
一、单项选择题
1.(2024·广西南宁三中一模)某同学参加学校组织的数学知识竞赛,在5道四选一的单选题中有3道有思路,有2道完全没有思路,有思路的题目每道做对的概率为,没有思路的题目只好任意猜一个答案.若从这5道题目中任选2题,则该同学2道题目都做对的概率为( )
A. B. C. D.
2.马林·梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上深入地研究了2p-1型的数.人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献,将形如2p-1(其中p是素数)的素数,称为梅森素数.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,至少有一个为梅森素数的概率是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
3.红黄蓝被称为三原色,选取任意几种颜色调配,可以调配出其他颜色.已知同一种颜色混合颜色不变,等量的红色加黄色调配出橙色;等量的红色加蓝色调配出紫色;等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红黄蓝彩色颜料各两瓶,甲从六瓶中任取两瓶颜料,乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料,两人分别进行等量调配.A表
示事件“甲调配出红色”,B表示事件“甲调配出绿色”,C表示事件“乙调配出紫色”,则下列说法正确的是( )
A.事件A与事件C是独立事件
B.事件A与事件B是互斥事件
C.P(C|A)=
D.P(B)=P(C)
三、填空题
4.(2023·天津,13)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球,其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球,取到的三个球都是黑球的概率为 ;将三个盒子中的球混合后任取一个球,是白球的概率为 .
5.已知甲、乙、丙三位选手参加某次射击比赛,比赛规则如下:①每场比赛有两位选手参加,并决出胜负;②每场比赛获胜的选手与未参加此场比赛的选手进行下一场的比赛;③在比赛中,若有一位选手首先获胜两场,则本次比赛结束,该选手获得此次射击比赛第一名.若在每场比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙的概率为,乙胜丙的概率为,且甲与乙先参加比赛,则甲获得第一名的概率为 .
四、解答题
6.(2024·九省联考)盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个,随机一次取出3个小球.
(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率;
(2)记取出的3个小球上的最小数字为X,求X的分布列及数学期望E(X).
专题突破练18 概率、随机变量及其分布 答案
一、单项选择题
1.D 解析 设事件A表示“两道题全做对”,若两道题目都有思路,则P1=×()2=;
若两道题目中一个有思路一个没有思路,则P2=;
若两道题目都没有思路,则P3=×()2=.
故P(A)=P1+P2+P3=.
故选D.
2.C 解析 可知不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个,其中梅森素数有3,7,共2个,则在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数共有=28种,其中至少有一个为梅森素数有=13种,
所以至少有一个为梅森素数的概率是P=.
二、多项选择题
3.BD 解析 对于A,根据题意,A事件为两瓶均为红色颜料,C事件为一瓶红色、一瓶蓝色颜料,则A发生C必定不能发生,∴P(AC)=0,P(A)≠0,P(C)≠0,故A,C不为独立事件,为互斥事件,即A错误;对于B,若调出红色,需要两瓶颜料均为红色,若调出绿色,则需一瓶黄色和一瓶蓝色,此时甲调出红色和甲调出绿色不同时发生,故A,B为互斥事件,即B正确;对于C,P(C|A)==0,即C错误;对于D,P(B)=,若C事件发生,则甲有三种情况,分别为甲取两瓶黄色;甲取一瓶黄色和一瓶红色或蓝色;甲取一瓶红色,一瓶蓝色,则P(C)=,P(B)=P(C),即D正确.
三、填空题
4. 解析 第一空:三个盒子中黑球分别占比,所以从三个盒子中各取一个球,取到的三个球都是黑球的概率为.
第二空:由题意设三个盒子中球的总数分别为5n,4n,6n,n∈N*,则白球分别为3n,3n,3n,所以混合后任取一球是白球的概率为.
5. 解析 因为每场比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙的概率为,乙胜丙的概率为,所以甲选手获胜的概率是P(A)=.
四、解答题
6.解 (1)记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M,先确定3个不同数字的小球,有种方法,然后每种小球各取1个,有种取法,
所以P(M)=.
(2)由题意可知,X的可能取值为1,2,3,
当X=1时,分为两种情况:只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球,
所以P(X=1)=;
当X=2时,分为两种情况:只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球,
所以P(X=2)=;
当X=3时,分为两种情况:只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球,
所以P(X=3)=,
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E(X)=1×+2×+3×.2025高考数学考二轮专题突破练17 统计与统计案例-专项训练
1.甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营,为了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调查了甲、乙两城之间的500个班次,得到下面列联表:
公司 准点班次数 未准点班次数
A 240 20
B 210 30
(1)根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;
(2)依据小概率值α=0.100的独立性检验,分析数据,能否认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关
附:χ2=.
α 0.100 0.050 0.010
xα 2.706 3.841 6.635
2.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题,为了解声音强度D(单位:dB)与声音能量I(单位:W·cm-2)之间的关系,将测量得到的声音强度D和声音能量I的数据作了初步处理,得到的散点图如图所示:
参考数据:其中Wi=lg Ii,=1.04×10-11,=45.7,=-11.5,(Ii-)2=1.56×10-21,(Wi-)2=0.51,(Ii-)(Di-)=6.88×10-11,(Wi-)·(Di-)=5.1.
(1)根据散点图判断,D=a1+b1I与D=a2+b2lg I哪一个适宜作为声音强度D关于声音能量I的回归模型 (给出判断即可,不必说明理由)
(2)求声音强度D关于声音能量I的回归方程.
(3)假定当声音强度D大于60 dB时,会产生噪声污染.城市中某点P处共受到两个声源的影响,这两个声源的声音能量分别是Ia和Ib,且=1010.已知点P处的声音能量等于Ia与Ib之和.请根据(2)中的回归方程,判断点P处是否受到噪声污染,并说明理由.
参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β=,α=-β.
3.在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中,科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20,25
(1)请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合,并求y关于x的经验回归方程x(的计算结果保留两位小数);
(2)科学健身能降低人体脂肪含量,下表是甲、乙两款健身器材的使用年限(整年)统计表.
单位:台
款式 使用年限 合计
5年 6年 7年 8年
甲款 5 20 15 10 50
乙款 15 20 10 5 50
某健身机构准备购进其中一款健身器材,以使用年限的频率估计概率,请根据以上数据估计,该机构选择购买哪一款健身器材,才能使用更长久
参考公式:样本相关系数r==;
对于一组具有线性相关关系的数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),其经验回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为
专题突破练17 统计与统计案例 答案
1.解 (1)根据表中数据,A公司共有班次260次,准点班次有240次,
设A公司长途客车准点事件为M,则P(M)=.
B公司共有班次240次,准点班次有210次,
设B公司长途客车准点事件为N,则P(N)=.
所以A公司长途客车准点的概率为,B公司长途客车准点的概率为.
(2)列联表如下.
公司 准点班次数 未准点班次数 合计
A 240 20 260
B 210 30 240
合计 450 50 500
零假设为H0:甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司无关.
χ2==≈3.205>2.706=x0.100,
依据小概率值α=0.100的独立性检验推断H0不成立,认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.
2.解 (1)D=a2+b2lg I更适合.
(2)令W=lg I,则D=a2+b2W,b2==10,
a2=-b2=45.7-10×(-11.5)=160.7,
D关于W的回归方程是D=160.7+10W,则D关于I的回归方程是D=160.7+10lg I.
(3)设点P处的声音能量为I1,则I1=Ia+Ib.
因为Ia>0,Ib>0,=1010,
所以I1=Ia+Ib=10-10()(Ia+Ib)=10-10(5+)≥10-10(5+2)=9×10-10,
当且仅当Ib=2Ia,即Ia=,Ib=时等号成立,
所以D=160.7+10lg I1≥160.7+10lg(9×10-10)=10lg 9+60.7>60,
所以点P处会受到噪声污染.
3.解 (1)=2 304,=729,xiyi-20=1 300,-20=2 200,-20=900, r=≈0.92,
因为y与x的样本相关系数接近1,所以y与x之间具有较强的线性相关关系,可用线性回归模型进行拟合.
由题意可得,≈0.591≈0.59,
=27-0.591×48≈-1.37,
所以=0.59x-1.37.
(2)以频率估计概率,设甲款健身器材使用年限为X(单位:年).
X 5 6 7 8
P 0.1 0.4 0.3 0.2
E(X)=5×0.1+6×0.4+7×0.3+8×0.2=6.6.
设乙款健身器材使用年限为Y(单位:年).
Y 5 6 7 8
P 0.3 0.4 0.2 0.1
E(Y)=5×0.3+6×0.4+7×0.2+8×0.1=6.1.
因为E(X)>E(Y),所以该健身机构购买甲款健身器材,才能使用更长久.2025高考数学考二轮专题突破练19 统计与概率解答题-专项训练
1.为促进农业发展,加快农村建设,某地政府扶持兴建了一批“超级蔬菜大棚”.为了解大棚的面积与年利润之间的关系,随机抽取了其中的7个大棚,并对当年的利润进行统计整理后得到了如下数据对比表.
大棚面积x/公顷 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5
年利润y/万元 6 7 7.4 8.1 8.9 9.6 11.1
(1)画出散点图,并求y关于x的经验回归方程;
(2)小明家的“超级蔬菜大棚”面积为8.0公顷,估计小明家的大棚当年的利润为多少
(3)另外调查了近5年的不同蔬菜每公顷平均利润(单位:万元),其中无丝豆为1.5,1.7,2.1,2.2,2.5;彩椒为1.8,1.9,1.9,2.2,2.2,请分析种植哪种蔬菜比较好
参考数据:xiyi=359.6,(xi-)2=7,
参考公式:.
2.(2024·广西名校模拟)随着《2023年中国诗词大会》在央视持续热播,它将经典古诗词与新时代精神相结合,使古诗词绽放出新时代的光彩,由此,它极大地鼓舞了人们学习古诗词的热情,掀起了学习古诗词的热潮.某省某校为了了解高二年级全部1 000名学生学习古诗词的情况,举行了“古诗词”测试.现随机抽取100名学生,对其测试成绩(满分:100分)进行统计,得到样本的频率分布直方图如图所示.
(1)根据频率分布直方图,估计这100名学生测试成绩的平均数(单位:分);(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
(2)若该校高二学生“古诗词”的测试成绩X近似服从正态分布N(μ,169),其中μ近似为样本平均数,规定“古诗词”的测试成绩高于87分的为“优秀”.据此估计该校高二年级学生中成绩为优秀的人数;(取整数)
(3)现该校为迎接该省的2023年第三季度“中国诗词大会”的选拔赛,在五一前夕举行了一场校内“诗词大会”.该“诗词大会”共有三个环节,依次为“诗词对抗赛”“画中有诗”“飞花令车轮战”.规则如下:三个环节均参与,在前两个环节中获胜得1分,第三个环节中获胜得4分,输了不得分.若学生甲在三个环节中获胜的概率依次为.假设学生甲在各环节中是否获胜是相互独立的.记学生甲在这次“诗词大会”中的累计得分为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望E(ξ).
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
3.某企业对生产设备进行优化升级,升级后的设备控制系统由2k-1(k∈N*)个相同的元件组成,每个元件正常工作的概率均为p(0(1)若p=,当k=2时,求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和均值;
(2)已知设备升级前,单位时间的产量为a件,每件产品的利润为1元,设备升级后,在正常运行状态下,单位时间的产量是原来的4倍,且出现了高端产品,每件产品成为高端产品的概率为,每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为Y(单位:元).
①请用pk表示E(Y);
②设备升级后,在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下,分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润.
专题突破练19 统计与概率解答题 答案
1.解 (1)画出散点图如图所示.
由散点图知,y与x具有线性相关关系.
根据题意,=6,=8.3,则7=348.6,
≈1.571,
≈8.3-1.571×6=-1.126,
所以经验回归方程为=1.571x-1.126.
(2)将x=8.0代入方程得=1.571×8.0-1.126=11.442,即小明家的“超级蔬菜大棚”当年的利润大约为11.442万元.
(3)近5年来,无丝豆每公顷平均利润的平均数为m==2,
方差[(1.5-2)2+(1.7-2)2+(2.1-2)2+(2.2-2)2+(2.5-2)2]=0.128.
彩椒每公顷平均利润的平均数为n==2,
方差[(1.8-2)2+(1.9-2)2+(1.9-2)2+(2.2-2)2+(2.2-2)2]=0.028.
因为m=n,,所以种植彩椒比较好.
2.解 (1)由频率分布直方图估计平均数为0.005×10×45+0.010×10×55+0.020×10×65+0.030×10×75+0.025×10×85+0.010×10×95=74(分).
(2)由题意可得测试成绩X近似服从正态分布N(74,132),所以P(61≤X≤87)≈0.682 7,则P(X>87)=[1-P(61≤X≤87)]≈(1-0.682 7)=0.158 65,所以1 000×0.158 65=158.65≈159(人),故该校高二年级学生中成绩为优秀的人数约为159.
(3)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,4,5,6,则P(ξ=0)=(1-)×(1-)×(1-)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=4)=,P(ξ=5)=,P(ξ=6)=,
所以ξ的分布列如下
ξ 0 1 2 4 5 6
P
所以E(ξ)=0×+1×+2×+4×+5×+6×.
3.解 (1)因为k=2,所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为0,1,2,3.
因为每个元件的工作相互独立,且正常工作的概率均为p=,
所以X~B(3,),
所以P(X=0)=×()0×()3=,
P(X=1)=×()1×()2=,
P(X=2)=×()2×()1=,
P(X=3)=×()3×()0=,
所以控制系统中正常工作的元件个数X的分布列为
X 0 1 2 3
P
控制系统中正常工作的元件个数X的均值为E(X)=3×=2.
(2)①升级改造后单位时间内产量的分布列为
产量 4a 0
设备运行概率 pk 1-pk
所以升级后单位时间内产量的期望为4apk.
所以
产品类型 高端产品 一般产品
产量/件 apk 3apk
利润/元 2 1
设备升级后单位时间内的利润为2apk+3apk=5apk,即E(Y)=5apk.
②由题意知控制系统中元件总数为奇数,若增加2个元件,
则第一类:原系统中至少有k+1个元件正常工作,其概率为P1=pk-pk(1-p)k-1;
第二类:原系统中恰好有k个元件正常工作,新增2个元件中至少有1个正常工作,
其概率为P2=pk(1-p)k-1·[1-(1-p)2]=pk+1(1-p)k-1(2-p);
第三类:原系统中有k-1个元件正常工作,新增2个元件全部正常工作,
其概率为P3=pk-1(1-p)k·p2=pk+1(1-p)k.
所以pk+1=pk-pk(1-p)k-1+pk+1·(1-p)k-1(2-p)+pk+1(1-p)k=pk+pk(1-p)k(2p-1),
则pk+1-pk=pk(1-p)k(2p-1).
所以当0,pk单调递增,即增加元件个数设备正常工作的概率变大,
当0又因为E(Y)=5apk,所以当当0一、单项选择题
1.(2024·广东广州实验中学一模)已知点A(2,3),B(4,1),直线x-2y+4=0与y轴相交于点C,则△ABC中AB边上的高CE所在直线的方程是( )
A.x+y-2=0 B.x+y+2=0
C.x-y+2=0 D.x-y-2=0
2.(2024·新高考Ⅱ,5)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为( )
A.=1(y>0)
B.=1(y>0)
C.=1(y>0)
D.=1(y>0)
3.(2024·九省联考)已知Q为直线l:x+2y+1=0上的动点,点P满足=(1,-3),记点P的轨迹为E,则( )
A.E是一个半径为的圆
B.E是一条与l相交的直线
C.E上的点到l的距离均为
D.E是两条平行直线
4.已知点M,N分别在圆C1:(x-1)2+(y-2)2=9与圆C2:(x-2)2+(y-8)2=64上,则|MN|的最大值为( )
A.+11 B.17
C.+11 D.15
5.已知直线l:mx+y+m-1=0与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=( )
A.2 B. C.2 D.4
6.已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0及直线l:y=kx-k+2(k∈R),设直线l与圆C相交所得的最长弦为MN,最短弦为PQ,则四边形PMQN的面积为( )
A.4 B.2 C.8 D.8
7.由点P(-3,0)射出的两条光线与☉O1:(x+1)2+y2=1分别相切于点A,B,称两射线PA,PB上切点右侧部分的射线和优弧AB右侧所夹的平面区域为☉O1的“背面”.若☉O2:(x-1)2+(y-t)2=1处于☉O1的“背面”,则实数t的取值范围为( )
A.-2≤t≤2
B.-+1≤t≤-1
C.-1≤t≤1
D.-≤t≤
二、多项选择题
8.已知直线l:kx-y-k=0与圆M:x2+y2-4x-2y+1=0,则下列说法正确的是( )
A.直线l恒过定点(1,0)
B.圆M的圆心坐标为(2,1)
C.存在实数k,使得直线l与圆M相切
D.若k=1,直线l被圆M截得的弦长为2
9.已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的交点为A,B,则( )
A.圆O1和圆O2有两条公切线
B.直线AB的方程为x-y+1=0
C.圆O2上存在两点P和Q,使得|PQ|>|AB|
D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+
三、填空题
10.若直线x-y+m=0(m>0)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m,则m= .
11.(2022·新高考Ⅰ,14)写出与圆x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程: .
12.(2024·天津,12)(x-1)2+y2=25的圆心与抛物线y2=2px(p>0)的焦点F重合,A为两曲线的交点,则原点O到直线AF的距离为 .
四、解答题
13.如图,在平面直角坐标系Oxy中,已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且|BC|=|OA|,求直线l的方程;
(3)设点T(t,0),在圆M上存在两点P,Q,使得,求实数t的取值范围.
专题突破练20 直线与圆 答案
一、单项选择题
1.C 解析 ∵直线x-2y+4=0与y轴相交于点C,令x=0,得y=2,∴C(0,2).
由题知CE⊥AB,∴kCE×kAB=-1,∵直线AB的斜率kAB==-1,∴kCE=1,
易知点C在直线CE上,根据点斜式得y-2=x,即x-y+2=0.故选C.
2.A 解析 设P(x0,y0)(y0>0),则P'(x0,0),设M(x,y),则x=x0,y=,
又=16,所以x2+4y2=16,即=1(y>0),故选A.
3.C 解析 设P(x,y),由=(1,-3),得Q(x-1,y+3),因为Q在直线l:x+2y+1=0上,所以x-1+2(y+3)+1=0,化简得x+2y+6=0,即P的轨迹E为直线,且与直线l平行,所以轨迹E上的点到直线l的距离d=,故A,B,D错误,C正确.故选C.
4.C 解析 依题意,圆C1:(x-1)2+(y-2)2=9,圆心C1(1,2),半径r1=3.
圆C2:(x-2)2+(y-8)2=64,圆心C2(2,8),半径r2=8,
故|MN|max=|C1C2|+r1+r2=+11.
5.B 解析 直线过定点(-,1),该点在圆上.圆半径为r=2,且|AB|=2,所以△OAB是等边三角形,圆心O到直线AB的距离为,所以,m=-,
直线斜率为k=-m=,倾斜角为θ=,
所以|CD|=.
6.A 解析 将圆C的方程整理为(x-2)2+(y-1)2=4,则圆心C(2,1),半径r=2.
将直线l的方程整理为y=k(x-1)+2,则直线l恒过定点(1,2),且(1,2)在圆C内.
最长弦MN为过(1,2)的圆的直径,则|MN|=4,最短弦PQ为过(1,2),且与最长弦MN垂直的弦,
∵kMN==-1,∴kPQ=1.
直线PQ方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.
圆心C到直线PQ的距离为d=,|PQ|=2=2=2.
四边形PMQN的面积S=|MN|·|PQ|=×4×2=4.
7.D 解析 设过点P的切线方程为y=k(x+3),如图所示,
∴=1,∴k=±,∴直线AP的方程为y=(x+3),即x-y+3=0,
直线PB的方程为y=-(x+3),即x+y+3=0.
∵☉O2:(x-1)2+(y-t)2=1处于☉O1的“背面”,
∴与PB相切时t取最小值,由=1,解得t=-或t=-2,
结合图形可得t的最小值为-,
同理与PA相切时可得t的最大值为t=,
∴-≤t≤.
二、多项选择题
8.AB 解析 直线l:kx-y-k=0变形为y=k(x-1),故恒过定点(1,0),A正确;圆M:x2+y2-4x-2y+1=0变形为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心坐标为(2,1),B正确;令圆心(2,1)到直线l:kx-y-k=0的距离=2,整理得3k2+2k+3=0,由Δ=4-36=-32<0可得,方程无解,故不存在实数k,使得直线l与圆M相切,C错误;若k=1,直线l方程为x-y-1=0,圆心(2,1)在x-y-1=0上,故直线l被圆M截得的弦长为直径4,D错误.
9.ABD 解析 对于A,因为两个圆相交,所以有两条公切线,故A正确;
对于B,将两圆方程作差可得-2x+2y-2=0,即得公共弦AB的方程为x-y+1=0,故B正确;
对于C,直线AB经过圆O2的圆心(0,1),所以线段AB是圆O2的直径,故圆O2中不存在比AB长的弦,故C错误;
对于D,圆O1的圆心坐标为(1,0),半径为2,圆心到直线AB:x-y+1=0的距离为,
所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+,D正确.
三、填空题
10.2 解析 圆(x-1)2+(y-1)2=3的圆心坐标为(1,1),半径为.
圆心到直线x-y+m=0(m>0)的距离为.
由勾股定理可得()2+()2=3,又m>0,解得m=2.
11.x=-1(或y=-x+,或y=x-)
解析 在平面直角坐标系中,画出圆x2+y2=1和圆(x-3)2+(y-4)2=16.设点O(0,0),O1(3,4),
由图得两圆外切,则☉O与☉O1有两条外公切线和一条内公切线,易得其中一条外公切线l的方程为x=-1.由图可知,内公切线l1与另一条外公切线l2的斜率均存在.
∵l1与直线OO1垂直,直线OO1的斜率,∴直线l1的斜率=-,直线OO1的方程为y=x.可设直线l1的方程为y=-x+b(b>0).
又圆心O到直线l1的距离d1==1,解得b=(负值舍去).
故内公切线l1的方程为y=-x+.
由得直线l与直线OO1的交点为A.
则可设直线l2的方程为y+=k(x+1).
又圆心O到直线l2的距离d2==1,解得k=,故直线l2的方程为y=x-.
由上可知,与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的直线的方程为x=-1,或y=-x+,或y=x-.
12. 解析 由题意可知,圆(x-1)2+y2=25的圆心为F(1,0),则=1,p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.
由可得x2+2x-24=0,解得x=4或x=-6(不符合题意,舍去),则点A的坐标为(4,4)或(4,-4).
当点A的坐标为(4,4)时,直线AF的方程为4x-3y-4=0,原点O到直线AF的距离为;
当点A的坐标为(4,-4)时,直线AF的方程为4x+3y-4=0,原点O到直线AF的距离为.
综上可知,原点O到直线AF的距离为.
四、解答题
13.解 (1)圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,圆心为M(6,7),半径为r=5.由题意,设圆N的方程为(x-6)2+(y-b)2=b2(b>0),且=b+5.
解得b=1.故圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.
(2)因为kOA=2,所以可设l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0.
又|BC|=|OA|==2,由题意,圆M的圆心到直线l的距离为d==2,所以=2,解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为y=2x+5或y=2x-15.
(3)由,可知,
因为P,Q为圆M上的两点,
所以|PQ|≤2r=10.
所以|TA|=|PQ|≤10,即≤10,解得2-2≤t≤2+2.故实数t的取值范围为[2-2,2+2】