2024年安徽省合肥六中高新校区中考数学模拟试卷(含答案）

2024年安徽省合肥六中高新校区中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）2024的相反数是（　　）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
2．（4分）2024年政府工作报告中指出，截至2023年底，中国新能源汽车保有量为2041万辆，其中2041万用科学记数法表示为（　　）
A．2.041×108 B．0.2041×108
C．2041×107 D．2.041×107
3．（4分）如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（　　）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和俯视图
4．（4分）下面计算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．3a2﹣a2＝2
C．4a6÷2a3＝2a2 D．（a2）3＝a6
5．（4分）如图，数轴上的无理数a被挡住了，则数a可能是（　　）
A． B． C． D．
6．（4分）小华将一副三角板（∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°）按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为（　　）
A．100° B．105° C．110° D．120°
7．（4分）2024年春晚中的魔术节目备受瞩目，刘谦老师利用“魔术公式”让观众手中的碎牌合成完整的一张牌．小明受此启发，拿出两张背面完全相同的扑克牌（正面均不同），将这两张扑克牌分别对折撕成两部分，洗匀后将它们背面朝上放在桌面上，从中随机抽取两个半张，则小明抽到的两个半张扑克牌恰好合成完整的一张牌的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为E，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（4分）若函数y＝2x的图象与二次函数y＝x2﹣x+c（c为常数）的图象有两个交点，且交点的横坐标均满足﹣2＜x＜4，则c的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线AC、BD交于点O，且∠AOD＝120°，点E为BD上一个动点，点P为AE的中点，点F为OD的中点，则PB+PF的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）计算：＝　 　．
12．（5分）分解因式：xy2+6xy+9x＝　 　．
13．（5分）已知，正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，连结AG，CE交于点H，若AB＝2，，则CH的长为　 　．
14．（5分）在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）的图象如图所示，P（m，﹣6），Q（12，n）是反比例函数图象上的两点．
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）记反比例函数图象上P、Q两点之间（包含P、Q两点）的部分为PQ，若二次函数的图象与PQ有两个公共点，则k的取值范围是　 　．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）先化简再求值：（2x﹣）÷，其中x＝．
16．（8分）如图4×4是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，并写出简要说明）．
（1）在图1中作出△ABC的中线AM；
（2）图2中的线段AB上作点Q，使CQ最短，并求出的CQ长度．
四、本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B（0，3），并与的图象在第一象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，点B是AC的中点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点C′是点C关于x轴的对称点，请求出△ABC′的面积．
18．（8分）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．
（1）将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n＝　 　；
（2）图3中的圆圈有14层，我们自上往下，在每个圆圈中按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是　 　；
（3）图4中的圆圈有14层，我们自上往下，在每个圆圈中按图4的方式填上一串连续的整数﹣25，﹣24，﹣23，﹣22，…，求图4中所有圆圈中各数值之和．（写出计算过程）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）小王和小李负责某企业宣传片的制作，期间要使用无人机采集一组航拍的资料．在航拍时，小王在C处测得无人机A的仰角为45°，同时小李登上斜坡CF的D处测得无人机A的仰角为31°．若小李所在斜坡CF的坡比为1：3，铅垂高度DG＝3米（点E，G，C，B在同一水平线上）．
（1）小王和小李两人之间的距离CD；
（2）此时无人机的高度AB．（sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，结果精确到1米）
20．（10分）如图△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若，，求AF的长．
六、（本题满分12分）
21．（12分）自深化课程改革以来，某校开设了：A．利用影长求物体高度，B．制作视力表，C．设计遮阳棚，D．制作中心对称图形，四类数学实践活动课．规定每名学生必选且只能选修一类实践活动课，学校对学生选修实践活动课的情况进行抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息解决下列问题；
（1）本次共调查 　 　名学生，扇形统计图中B所对应的扇形的圆心角为 　 　度；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校现有3600名学生，根据以上统计数据估计该校选择制作中心对称图形实践活动课的学生人数．
七、本题满分12分）
22．（12分）如图，△ABC中，BC边上的中线AE与∠ABC的平分线BD交于F点，AD＝AF．
（1）求证：△ABF∽△CBD；
（2）求证：CD＝2EF；
（3）若AF＝1，求CD．
八、（本题满分14分）
23．（14分）综合与探究．
如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，﹣4）．
（1）求二次函数的表达式和点B的坐标．
（2）若P为直线l上一点，Q为抛物线上一点，当四边形OBPQ为平行四边形时，求点P的坐标．
（3）如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接AD，BD，在抛物线上是否存在点M，使∠MAB＝∠ADB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年安徽省合肥六中高新校区中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．解：2024的相反数是﹣2024
故选：B．
2．解：2041万＝20410000＝2.041×107．
故选：D．
3．解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图．
故选：B．
4．解：对于A，a2 a3＝a5，故A错误；
对于B，3a2﹣a2＝2a2，故B错误；
对于C，4a6÷2a3＝2a3，故C错误；
对于D，（a2）3＝a6，故D正确．
故选：D．
5．解：∵
∴1＜＜2，2＜＜3
∵数轴上的无理数a的取值范围为1＜a＜2
∴a＝
故选：A．
6．解：∵AB∥EF
∴∠BME＝∠E＝45°
∵∠B＝30°
∴∠1＝180°﹣∠B﹣∠BME＝105°．
故选：B．
7．解：依题意，设半张牌分别为：A，B，C，D
且A和B，C和D可以合成一张完整的牌
可画树状图如下：
，
由树状图可得：
总共有12种结果，满足条件的结果有4种
∴恰好合成完整的一张牌的概率为：
故选：D．
8．解：∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB
∴∠BCE＝
∵BE⊥CD
∴∠E＝90°
∴∠ECB＝∠EBC＝45°
∴CE＝BE＝BC＝
过D作DH⊥BC于H
则△CDH是等腰直角三角形
∴DH＝CH
∵∠ACB＝∠DHB＝90°
∴△BDH∽△BAC
∴
∴
∴DH＝
∴CD＝＝
∴DE＝CE﹣CD＝﹣＝
故选：C．
9．解：联立方程组
消去y整理得x2﹣3x+c＝0
当Δ＞0时，方程有两个不相等的解，函数图象就有两个交点
即：（﹣3）2﹣4×1×c＞0
解得：c＜．
当x＝4时，y＝2x＝8
∵交点的横坐标均满足﹣2＜x＜4
当x＝4时，y＝x2﹣x+c＞8，即16﹣4+c＞8
∴c＞﹣4
∴c的取值范围是﹣4．
故选：C．
10．解：取AB的中点M，作直线PM
∵点P是AE的中点
∴PM∥BE
作点B关于直线PM的对称点H，连接BH交直线PM于点G，连接FH
∵PG垂直平分BH
∴PB＝PH，∠PGB＝90°
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4
∴BM＝AM＝2，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD
∴OA＝OB
∵∠AOD＝120°
∴∠AOB＝180°﹣∠AOD＝60°
∴△AOB是等边三角形
∴OB＝AB＝4，∠BMG＝∠ABO＝60°
∴∠BPG＝30°
∴MG＝BM＝1
∴HG＝BG＝＝
∴BH＝2BG＝2
∴FH＝＝＝4
∵PF+PH≥FH
∴PF+PB≥4
∴PF+PB的最小值为4
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．解：
＝1+2
＝3
故答案为：3．
12．解：xy2+6xy+9x
＝x（y2+6y+9）
＝x（y+3）2．
故答案为：x（y+3）2．
13．解：连接AC，CG，设AG与CD交于P
∵四边形DEFG和四边形ABCD是正方形
∴AD＝CD，DG＝DE，∠ADC＝∠EDG＝90°
∴∠ADG＝∠CDE＝90°
在△ADG与△CDE中
∴△ADG≌△CDE（SAS）
∴∠DAG＝∠DCE
∵∠APD＝∠CPH
∴∠AHC＝∠ADC＝90°
∵AB＝2，
∴
∴CD＝DF
∵∠ADC＝90°，∠FDG＝45°
∴∠CDG＝45°＝∠FDG
∵DG＝DG
∴△CDG≌△FDG（SAS）
∴∠DGC＝∠DGF＝90°，∠DCG＝∠DFG＝45°
∴C，G，F三点共线，∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°
∴CG＝DG＝FG＝
∴AG＝＝＝
∵S△ACG＝
∴CH＝＝＝
故答案为：．
14．解：（1）∵P（m，﹣6），Q（12，n）是反比例函数图象上的两点
∴﹣6m＝12n＝﹣12
解得m＝2，n＝﹣1
故答案为：2，﹣1；
（2）∵二次函数y＝﹣x2+2kx+1﹣k2
∵Δ＝（2k）2﹣4×（﹣1）×（1﹣k2）＝4＞0
∴抛物线y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）与x轴有两个交点
把Q（12，﹣1）代入y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）得．﹣144+24k+1﹣k2＝﹣1
解得，k＝12﹣或k＝12+（较大值舍去）
把P（2，﹣6）代入y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）得．﹣4+4k+1﹣k2＝﹣6
解得k＝2+或k＝2﹣（较小值，舍去）
∴二次函数的图象与PQ有两个公共点，则k的取值范围是2+≤k≤12﹣．
故答案为：2+≤k≤12﹣．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解：原式＝ ＝ ＝x+1
当x＝时，原式＝+1．
16．解：（1）如图1中，线段AM即为所求；
（2）如图2中，线段CQ即为所求．
∵S△ABC＝ AB CQ＝3﹣×2×3﹣×1×2﹣×1×3
又∵AB＝＝
∴CQ＝．
四、本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．解：（1）∵直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B（0，3）
∴把A（﹣4，0）B（0，3）代入y＝kx+b中
得k＝，b＝3。
∴一次函数的解析式为：y＝x+3
∵CD⊥x轴，垂足为D，点B是AC的中点
∴△ABO∽△ACD
∴AO＝OD
∴C点的横坐标为4，把横坐标代入y＝x+3
∴C点坐标为（4，6）
把C（4，6）代入y＝
∴求得k2＝24
∴反比例函数的解析式为：y＝．
（2）若点C′是点C关于x轴的对称点
∴C′的坐标为（4，﹣6）
设直线BC′的解析式为y＝k1x+b1
把B（0，3），C′（4，﹣6）点代入y＝k1x+b1
∴k1＝﹣，b1＝3
BC′的解析式为y＝﹣x+3
BC′交x轴于M点
∴M点的坐标为（，0）
∴△ABC′面积＝△ABM面积+△AMC′面积＝AM×OB+AM×CD
∴△ABC′面积＝×（4+）×3+（4+）×6＝24．
18．解：（1）由题知
图2中有n层圆圈，每层圆圈的个数为（n+1）个
所以图2中圆圈的总个数为n（n+1）个．
又因为图2中圆圈的总个数是图1中的2倍
所以图1中圆圈的总个数为个
即1+2+3+…+n＝．
故答案为：．
（2）当n＝13时
即图3中第13层最右边一个数为91
所以图3中第14层最左边这个圆圈中的数是92．
故答案为：92．
（3）当n＝14时
（个）
所以图4中共有105个圆圈．
因为这一串连续的整数为﹣25，﹣24，﹣23，…
所以这105个数中有25个负数，1个0，79个正数
所以图4中所有圆圈中各数值之和为：﹣25+（﹣24）+（﹣23）+…+（﹣1）+0+1+2+3+…+79＝＝2835．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．解：（1）∵小李所在斜坡CF的坡比为1：3，铅垂高度DG＝3米
∴GC＝3DG＝9（米）
∴（米）；
（2）解：设AB＝x米，如图所示，过点D作DH⊥AB于点H
∴DH＝GB，BH＝DG＝3，则AH＝AB﹣BH＝（x﹣3）米
∵∠ACB＝45°
∴AB＝BC＝x米
∴DH＝GB＝（9+x）米
在Rt△ADH中，∠ADH＝31°
∴
解得：x≈21
∴AB≈21米．
答：无人机的高度约为21米．
20．（1）证明：连接OD，则OD＝OB
∴∠B＝∠ODB
∵DE与⊙O相切于点D
∴DE⊥OD
∵DE⊥AC
∴AC∥OD
∴∠C＝∠ODB
∴∠C＝∠B
∴AB＝AC．
（2）解：连接AD、FD，则∠F＝∠B
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB＝∠ADC＝90°
∵∠AED＝90°
∴∠ADE＝90°﹣∠CAD＝∠C
∴∠ADE＝∠F
∵∠AED＝∠DEF
∴△AED∽△DEF
∴＝
∵AE＝，DE＝2
∴EF＝＝＝4
∴AF＝EF﹣AE＝4﹣＝3
∴AF的长是3．
六、（本题满分12分）
21．解：（1）本次调查的学生人数为12÷20%＝60（名）
则扇形统计图中B所对应的扇形的圆心角为360°×＝144°．
故答案为：60，144°．
（2）A类别人数为60×15%＝9（名），则D类别人数为60﹣（9+24+12）＝15（名）
补全条形图如下：
（3）估计该校选择制作中心对称图形实践活动课的学生人数为3600×＝900（名）．
七、本题满分12分）
22．（1）证明：∵BD平分∠ABC
∴∠1＝∠2
∵AD＝AF
∴∠3＝∠4
∵∠3＝∠1+∠5，∠4＝∠2+∠C
∴∠5＝∠C
∴△ABF∽△CBD；
（2）证明：过E点作EM∥BD交AC于M点，如图
∵AE为中线
∴BE＝CE
∵EM∥BD
∴＝＝1
即CM＝DM
∵DF∥EM
∴＝
而AD＝AF
∴FE＝DM
∴CD＝2DM＝2EF；
（3）解：∵DF∥EM
∴△ADF∽△AME
∴＝
∵AD＝AF＝1，EM＝BD，DM＝CD
∴＝
即＝①
∵△ABF∽△CBD
∴＝
即＝②
①+②得+＝1
解得CD＝．
八、（本题满分14分）
23．解：（1）由题意得：
解得：
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣6①
令y＝x2﹣x﹣6＝0
解得：x＝﹣2或3
即点B（3，0）；
（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣3
设点P（m，m﹣3）
∵四边形OBPQ为平行四边形，则PQ＝OB＝3
则点Q（m﹣3，m﹣3）
将点Q的坐标代入抛物线表达式得：m﹣3＝（m﹣3）2﹣（m﹣3）﹣6
解得：m＝4
故点P的坐标为（4，1+）或（4﹣，1﹣）；
（3）存在，理由：
由抛物线的表达式知，点D（0，﹣6）
由点A、B、D的坐标得，AD＝2，BD＝3
过点A作AN⊥BD于点N
则S△ABD＝，即5×6＝3×AN
解得：AN＝
则sin∠ADN＝＝，即∠ADN＝45°＝∠MAB
则直线AM的表达式为：y＝x+2或﹣x﹣2②
联立①②得：
解得：（不合题意的值已舍去）
则点M的坐标为：（4，6）或（2，﹣4）．