人教版数学中考第二十七章第二节《相似三角形》课时训练
一、选择题
1．如图，，且，，则的长为（ ）
A．6 B．9 C．3 D．4
2．如图，D、E分别是的边、上的点，下列各比例式不一定能推得的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在和中，，要使与相似，还需要添加一个条件，这个条件是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，如果对角线AC与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是 （ ）
A．S1=S3 B．S2=2S1
C．S2=2S4 D．S1S3=S2S4
5．如图，正方形的边在的边上，顶点D、G分别在边 上，已知的边长15厘米，高为10厘米，则正方形的边长是（ ）
A．4厘米 B．5厘米 C．6厘米 D．8厘米
6．图，电灯在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，米，米，点到的距离是2.4米，则到的距离为（ ）
A．3.6米 B．4米 C．5米 D．5.4米
7．路边有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC=5米，长方形广告牌的长HF=4米，高HC=3米，DE=4米，则电线杆AB的高度是（ ）
A．6.75米 B．7.75米 C．8.25米 D．10.75米
8．如图，在矩形ABCD的外部有四个全等的直角三角形，分别为△AEB，△BFG，△CGD，△DHE，连结EC，DF交于点O，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，已知L1L2L3，cm，cm，cm，那么 cm．
10．如图，直线，若，，则的值是 ．
11．如图，将正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG， 则＝ ．
12．如图，正方形ABCD的边长为8，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且BE＝CF，连接AE，BF交于点G，点H为AG上一点，且BG＝GH，连接DH，则DH的最小值为 ．
13．如图，小亮同学跳起来把一个排球打在离他2米（即CO＝2米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即AC＝1.8米），排球落地点离墙的距离是7米（即OD＝7米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是 米．
14．如图，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，同时量得小艺与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为10米．则旗杆的高度为 米．
15．如图，、相交于点O，点E、F分别在、上，，如果，，，，那么 ．
三、解答题
16．如图，在中，点分别在边上，连接与交于点．已知四边形是平行四边形，且．
（1）若，求线段的长．
（2）若四边形的面积为48，求的面积．
17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．
18．如图，在中，点E在上，，和相交于点F，过点F作，交于点G．
（1）求的值．
（2）若，
①求证：．
②求证：．
19．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△AOC∽△ACB；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P使得PC+PA的最小值？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
20．【基础巩固】
（1）如图1，在中，是的中点，是的一个三等分点，且．连结，交于点，则_________；_________．
【尝试应用】
（2）如图2，在中，为上一点，，，若，，，求的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在中，为上一点，为中点，与，分别交于点，，若，，，，求的长．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，D是BC边上一点，连接AD，CD=1，AD=BD，点E，F分别在AD、BD上，EF∥AB，连接CE．
（1）求AB的长；
（2）如图1，若5DE-5AE=3，过点F作FG∥DA，交AB于点G，求S四边形AEFG：S△DEF的值；
（3）如图2，若EF=时，过点F作FH⊥CE，垂足为H，求HF的长．
22．已知：如图，在中，，点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为：若设运动的时间为，解答下列问题：
图① 图② 图③
（1）如图①，连接，当为何值时，并说明理由；
（2）如图②，当点运动时，是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上，请说明理由；
（3）如图③，当点运动时，线段上是否存在一点，使得四边形为荾形？若存在，试求出长：若不存在，请说明理由．
23．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对四边形做了如下探究．
（1）如图1，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接、，，则的值为______．
（2）如图2，在矩形中，，，点、分别是、上的两点，连接、，，求的值．
（3）如图3，在四边形中，，为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，且，，．求的长．
24．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．
（1）请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．
（2）估计路灯的高，并求影长的步数．
（3）无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．测得，，，小明眼睛到地面的距离为，则树高为 m．
25．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是抛物线上异于点的一个动点，直线与直线交于点．
（1）求直线的函数解析式；
（2）在点运动的过程中，当时，求的面积；；
（3）当点在第一象限抛物线上运动时，连接，设的面积为，的面积为，求的最大值及此时点的坐标．
答案
1-8 ACBCC BCA
9．
10．
11．
12．4﹣4
13．6.3
14．8
15．10
16．（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴ DE∥BC，DE=FC
∴△ADE∽△ABC
∴
∴
∴AE=10，CE=15
∵FG∥CE
∴△BFG∽△BCE
∴
∵
∴
∴
∴FG=9.
（2）解：由（1）知： △BFG∽△BCE，
∴
∴
∴
∴S△BFG=27
∴S△EBC=S△BFG+S四边形GFCE=27+48=75.
17．（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
∴△ACD∽△BFD．
（2）解：∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°
∴ =1，
∴AD=BD，
∵△ACD∽△BFD，
∴ = =1，
∴BF=AC=3．
18．（1）解：因为在中，，，
又∵，
∴，
∴，
（2）解：①证明：∵，
可设，则，
由（1）知：，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
②证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
19．（1）解：∵直线y＝-x+2过B、C两点，
当x＝0时，代入y＝-x+2，得y＝2，
即C（0，2），
当y＝0时，代入y＝-x+2，得x＝4，
即B（4，0），
把B（4，0），C（0，2）分别代入y＝-x2+bx+c，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝-x2+x+2；
（2）证明：∵抛物线y＝-x2+x+2与x轴交于点A，
则y＝-x2+x+2＝0，
解得x1＝-1，x2＝4，
∴点A的坐标为（-1，0），
∴AO＝1，AB＝5，
在Rt△AOC中，AO＝1，OC＝2，
∴AC＝，
∴，
而，
又∵∠OAC＝∠CAB，
∴△AOC∽△ACB；
（3）解：存在，理由：
点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，则AC和抛物线对称轴的交点即为点P，
理由：PA+PC＝PB+PC＝BC为最小，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝-x+2，
当x＝时，y＝-x+2＝-+2＝，
即点P（，）．
20．（1）；；（2）；（3）
21．（1）AB的长为；
（2）S四边形AEFG：S△DEF=4：3；
（3）HF的长为．
22．（1）解：在中，，，
由运动知，，，
，，，；
（2）解：存在，
理由：如图②，
由运动知，，，
点在的垂直平分线上，过点作，
，
，，，，．
（3）解：不存在，
理由：由运动知，，
假设线段上是存在一点，使得四边形为平行四边形，
，，，，
，，，
平行四边形不可能是菱形．
即：线段上不存在一点，使得四边形为菱形．
23．（1）
（2）
（3）
24．（1）解：路灯O和影子端点Q的位置如图所示．
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
解得．
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴路灯的高为，影长为步．
（3）9
25．（1）
（2）的面积为2.5或7.5
（3）的最大值为，此时，点D
