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【押题密卷】2025年中考数学（苏州卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：130分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8题，每题3分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．如图，数轴上点（ ）表示的数是2的相反数．
A．点 B．点 C．点 D．点
2．下面4个标志中是轴对称图形的是（）
A． B． C． D．
3．2021年2月19日9：00时，我国首枚火星探测器“天问一号”距离地球2.05亿千米，其中2.05亿千米用科学记数法表示为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．若x＞y，则下列式子错误的是（ ）
A．2﹣x＞2﹣y B．x﹣3＞y﹣3 C．x+3＞y+2 D．＞
5．直角三角板和直尺如图放置，若∠1=30°，则∠2的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计如下表所示：
学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
7．如图、两点在函数的图象上，如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点为整点，图中阴影部分（不含边界）所含的整点个数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，，是的中点，动直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为（ ）
A．8 B． C． D．9
二、填空题（本大题共8题，每题3分，共24分.）
9．计算∶ ．
10．若当时，代数式的值是6，则当时，这个代数式的值为 ．
11．如图，某幅画的总面积为，该幅画平铺在地面上被墨汁污染了一部分，向画内随机投掷骰子（假设骰子落在画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在画内被污染部分上的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计画上被污染部分的面积约为 ．
12．如图，一块三角形透明胶片刚好在量角器上的位置，点、的读数分别是、，则 ．
13．函数与的图象如图所示，则的值为 ．
14．北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝ ．
15．如图所示为函数的图象，根据图象提供的信息，当时，y的取值范围是 ．
16．如图，已知中，，，，点 分别在线段 上，将沿直线折叠，使点A的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，线段的长为 ．
三、解答题（本大题共11题，第17-18每题5分，第19-21每题6分，第22-24每题8分，第25-27题10分，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（5分）（1）把下列各有理数填在相应的表示集合的括号内．
1，， | 3|，0，，2， 0.3，1.7， （ 1）．
整数：{_________________________…}
非负整数：{_________________________…}
正数：{_________________________…}
（2）画一条数轴，将（1）中的整数在数轴上表示出来．
18．（5分）解方程（组）：
(1)
(2)
19．（6分）先化简，再求值：，其中．
20．（6分）已知四边形是的角平分线，交射线于E，线段的延长线上取一点F使，直线交于点G．
(1)补全图形；
(2)猜想的形状，并证明你的猜想；
(3)求与的数量关系．
21．（6分）一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下：
实验次数 200 300 400 500 600 700 800 1000
摸到红球次数 151 221 289 358 429 497 571 702
摸到红球频率 0.75 0.74 0.72 0.72 0.72 0.71
(1)表格中__________，__________．（精确到0.01）
(2)估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为__________；（精确到0.1）
(3)如果袋子中有28个红球，4个白球，若干黄球，估计袋子中黄球的个数和摸到黄球的概率？
22．（8分）某校为了了解本校七年级学生课外阅读的喜好，随机抽取该校七年级部分学生进行问卷调查（每人只选一种书籍）．下图是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）这次活动一共调查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，“其他”所在扇形的圆心角等于 度；
（3）补全条形统计图；
（4）若该年级有600名学生，请你估计该年级喜欢“科普常识”的学生人数约是 ．
23．（8分）如图是投影仪安装截面图，投影仪A发出的光线夹角∠BAC＝30°，投影屏幕高BC＝m．固定投影仪的吊臂AD＝0.5m，且AD⊥DE，ADEF，∠ACB＝45°，求
(1)AC的长（结果保留根号）；
(2)屏幕下边沿C离教室顶部的距离CE．（结果精确到0.1m）（选用数据≈1.4，≈1.7）
24．（8分）如图，在中，．点是线段边上的一动点（不含、两端点），连结,作，交线段于点．
（1）求证：∽；
（2）设,,请写与之间的函数关系式，并求的最小值．
（3）点在运动的过程中，能否构成等腰三角形？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
25．（10分）如图，已知是直径，且．，是上的点，，交于点，连结，．
(1)求的度数．
(2)求出的长度．
(3)求出图中阴影部分的面积（结果保留）．
26．（10分）半马，即半程马拉松，又称二分之一马拉松，目前国际上从众增长最快的赛跑项目，路程长度大约是21公里．如图为某次半马的路线，公里，E，E为折返点，拐弯路段EF的长度忽略不计，公里，为半圆路段，O为圆心，半径为1公里．根据选手报名人数和赛道宽度等情况，为保证赛道畅通和补给有序，组委会决定采取分区检录、分枪起跑、同地出发的发令方式，具体发令时间如下：◆第一枪发令时间，A区选手出发；◆第二枪发令时间，B区选手出发；◆第三枪发令时间，C区选手出发．若甲为B区选手，平均配速为5分钟/公里：乙为A区选手，平均配速为分钟/公里．（平均配速是指每公里所需要的时间）
(1)在整个赛程中，甲、乙共有________次相遇，并求甲、乙在距离起点多少公里处相遇；
(2)此次比赛，冠军用时1小时3分钟．已知丙为C区选手，甲出发17分钟时，甲、乙、丙三人所在的位置分别为S，R，T，当S，R，T三点中，有一点恰好是另外两点为端点的线段的中点时，求丙的平均配速．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，绕点顺时针旋转得到，，抛物线经过，，三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①点是抛物线的顶点，试判定的形状，并加以证明；
（3）如图②在第一象限的抛物线上，是否存在点，使？若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由．
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【押题密卷】2025年中考数学（苏州卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：130分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8题，每题3分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．如图，数轴上点（ ）表示的数是2的相反数．
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数、相反数，根据相反数的定义可得2的相反数，再根据点在数轴上的位置即可求解．
【详解】解：2的相反数是，
观察数轴可知，点A表示的数是，
故选：A．
2．下面4个标志中是轴对称图形的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形的概念。轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；
结合轴对称图形的概念进行求解即可如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形这条直线叫做对称轴．
【详解】解：几个选项中，其中是轴对称图形的是选项C．
故选：C．
3．2021年2月19日9：00时，我国首枚火星探测器“天问一号”距离地球2.05亿千米，其中2.05亿千米用科学记数法表示为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：2.05亿千米=205000000千米=205000000000米=2.05×1011米．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．若x＞y，则下列式子错误的是（ ）
A．2﹣x＞2﹣y B．x﹣3＞y﹣3 C．x+3＞y+2 D．＞
【答案】A
【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：A、不等式x＞y的两边都乘以﹣1，不等号的方向改变，得﹣x＜﹣y，不等式﹣x＜﹣y的两边都加上2，不等号的方向不变，得2﹣x＜2﹣y，原变形错误，故此选项符合题意；
B、不等式x＞y的两边都减去3，不等号的方向不变，得x﹣3＞y﹣3，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、不等式x＞y的两边都加上2，不等号的方向不变，得x+2＞y+2，所以x+3＞y+2，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、不等式x＞y的两边都除以3，不等号的方向不变，得＞，原变形正确，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
5．直角三角板和直尺如图放置，若∠1=30°，则∠2的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过E作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，过E作EF∥AB，
则AB∥EF∥CD，
∴∠3=∠1，∠2=∠4，
∵∠3+∠4=60°，
∴∠1+∠2=60°，
∵∠1=30°，
∴∠2=30°，
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
6．学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计如下表所示：
学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】C
【详解】∵学校采购校服要考虑大多数同学的意见，故利用了众数的知识.
故选C.
7．如图、两点在函数的图象上，如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点为整点，图中阴影部分（不含边界）所含的整点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先确定S1、S2和S3表示的范围，然后确定整点即可．
【详解】y=6x中，当x=1时，y=6；
当x=2时，y=3；
当x=3时，y=2，
当x=4时，y=
则S1表示：0则其中的整点有(1,4)和(1,5)；
S2表示：1S3表示3则图中阴影部分(不含边界)所含的整点个数是3.
故选A.
【点睛】本题考查反比例函数，解题的关键求解面积后根据面积求整点.
8．如图，在中，，，，是的中点，动直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为（ ）
A．8 B． C． D．9
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，可证得，再证明，从而得到，然后根据，可得，然后根据勾股定理可得，再由当时，与重合，则最大为，即可．作适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，
，，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是长方形，
，
，
，
在中，，
，，
，
在中，，
，
，
在中，，
当时，与重合，则最大为，
即的最大值为．
故选：B．
二、填空题（本大题共8题，每题3分，共24分.）
9．计算∶ ．
【答案】
【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，根据同底数幂相乘底数不变，指数相加，进行求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10．若当时，代数式的值是6，则当时，这个代数式的值为 ．
【答案】2
【分析】将x=1代入中，求出a的值，再将x=-1代入代数式计算即可．
【详解】解：将x=1代入中得：，
∴a=2，
将x=-1代入中得：
故答案为：2．
【点睛】本题考查了代数式的求值问题，解题的关键是根据已知条件求出a的值．
11．如图，某幅画的总面积为，该幅画平铺在地面上被墨汁污染了一部分，向画内随机投掷骰子（假设骰子落在画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在画内被污染部分上的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计画上被污染部分的面积约为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是利用频率估计概率．因为骰子落在画内被污染部分上的频率稳定在常数0.6附近，可估计画上被污染部分的面积约占整幅画面积的，由此计算即可．
【详解】∵骰子落在画内被污染部分上的频率稳定在常数0.6附近，
∴可估计画上被污染部分的面积约占整幅画面积的，
即画上被污染部分的面积约为．
故答案为：
12．如图，一块三角形透明胶片刚好在量角器上的位置，点、的读数分别是、，则 ．
【答案】25°
【分析】首先设半圆的圆心为O，连接OA，OB，由A点的读数为80°，B点的读数为30°，即可求得圆心角∠AOB的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠ACB的大小．
【详解】解：设半圆的圆心为O，连接OA，OB，
∵A点的读数为80°，B点的读数为30°，
∴∠AOB=80°-30°=50°，
∴∠ACB=∠AOB=25°．
故答案为：25°．
【点睛】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，正确的作出辅助线是解题的关键．
13．函数与的图象如图所示，则的值为 ．
【答案】2
【分析】将x=1代入可得交点纵坐标的值，再将交点坐标代入y=kx可得k．
【详解】解： 把x=1代入得：y=2，
∴与的交点坐标为（1，2），
把x=1，y=2代入y=kx得k=2．
故答案是：2．
【点睛】本题主要考查两条直线的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
14．北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝ ．
【答案】
【分析】由正六边形的性质得AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，再由等边三角形的性质得∠ABC＝60°，则∠ABE＝∠ABC＝30°，即可得出结论．
【详解】连接BC、AC，
∵点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，
∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵BE⊥AC，
∴∠ABE＝∠ABC＝30°，
∴tan∠ABE＝tan30°＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及特殊角的锐角三角函数，熟练掌握正六边形的性质、等边三角形的判定与性质是本题的关键．
15．如图所示为函数的图象，根据图象提供的信息，当时，y的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】根据函数的图象经过点求出函数解析式，再次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性求出最小值和最大值即可．
【详解】解：∵函数的图象经过点，
∴，解得：，
∴函数，
∴当时，函数有最小值，
当时，
，
当时，
，
所以，当时，的取值范围是 ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是熟记二次函数的性质并根据函数图象判断出二次函数取值范围内的增减性．
16．如图，已知中，，，，点 分别在线段 上，将沿直线折叠，使点A的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，线段的长为 ．
【答案】4或．
【分析】由为直角三角形，分两种情况进行讨论：①；②．分别依据含角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕的长．
【详解】解：分两种情况：
如图，当时，是直角三角形，
在中，，，，
，，
由折叠可得，，
，
，
，
，
如图，当时，是直角三角形，
由题可得，，，
，，
，，
设，则，，
又，
，
解得：，
，
故答案为：4或．
【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、解答题（本大题共11题，第17-18每题5分，第19-21每题6分，第22-24每题8分，第25-27题10分，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（5分）（1）把下列各有理数填在相应的表示集合的括号内．
1，， | 3|，0，，2， 0.3，1.7， （ 1）．
整数：{_________________________…}
非负整数：{_________________________…}
正数：{_________________________…}
（2）画一条数轴，将（1）中的整数在数轴上表示出来．
【答案】（1） 1， | 3|，0，2， （ 1）；0，2， （ 1）；，2，1.7， （ 1）； （2）整数在数轴上表示见解析
【分析】（1）根据有理数的分类方法解答即可；
（2）画出数轴表示即可．
【详解】解：（1）整数：{ 1， | 3|，0，2， （ 1）…}，
非负整数：{0，2， （ 1）…}，
正数：{，2，1.7， （ 1）…}；
（2）整数有： 1， | 3|，0，2， （ 1）， 在数轴上表示如图所示：
【点睛】本题考查了有理数的分类，用数轴上的点表示有理数，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．
18．（5分）解方程（组）：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：，
开平方得：，
解得：，．
（2）解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
【点睛】本题主要考查了利用平方根解方程和解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程的一般步骤，准确计算．
19．（6分）先化简，再求值：，其中．
【答案】．
【分析】先利用分式的运算法则化简，再将a的值代入计算即可．
【详解】解：
．
当时，
原式．
【点睛】本题考查二次根式的运算法则，分式的运算法则，零次幂的运算法则，解题的关键是熟练掌握以上相关运算法则．
20．（6分）已知四边形是的角平分线，交射线于E，线段的延长线上取一点F使，直线交于点G．
(1)补全图形；
(2)猜想的形状，并证明你的猜想；
(3)求与的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)是等边三角形．理由见解析
(3)
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识．
（1）根据要求画出图形即可；
（2）结论：是等边三角形．想办法证明，推出，可得结论；
（3）结论：．过点A作交于点T．证明四边形是平行四边形，推出，再利用全等三角形的性质证明，可得结论．
【详解】（1）解：图形如图所示：
（2）结论：是等边三角形．
理由：∵平分，
∴垂直平分线段，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形；
（3）解：结论：．
理由：过点A作交于点T．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．（6分）一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下：
实验次数 200 300 400 500 600 700 800 1000
摸到红球次数 151 221 289 358 429 497 571 702
摸到红球频率 0.75 0.74 0.72 0.72 0.72 0.71
(1)表格中__________，__________．（精确到0.01）
(2)估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为__________；（精确到0.1）
(3)如果袋子中有28个红球，4个白球，若干黄球，估计袋子中黄球的个数和摸到黄球的概率？
【答案】(1)；
(2)
(3)黄球有8个，
【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．也考查了概率的计算．
（1）用摸到红球的次数除以试验次数即可求出摸到红球的频率；
（2）找到多次试验频率逐渐稳定到的常数即可求得概率；
（3）根据题意列出方程求求出黄球的个数，再根据概率公式求概率即可．
【详解】（1）解：；
；
故答案为：；；
（2）解：观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定在常数附近，
所以计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为，
故答案为：；
（3）解：设袋子中有黄球x个，
根据题意得，
，
解得，
∴黄球有8个，
∴摸到黄球的概率为．
22．（8分）某校为了了解本校七年级学生课外阅读的喜好，随机抽取该校七年级部分学生进行问卷调查（每人只选一种书籍）．下图是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）这次活动一共调查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，“其他”所在扇形的圆心角等于 度；
（3）补全条形统计图；
（4）若该年级有600名学生，请你估计该年级喜欢“科普常识”的学生人数约是 ．
【答案】（1）200；（2）36；（3）补图见解析；（4）180名.
【分析】（1）根据条形图可知喜欢阅读“小说”的有80人，根据在扇形图中所占比例得出调查学生总数；
（2）根据条形图可知阅读“其他”的有20人，根据总人数可求出它在扇形图中所占比例；
（3）求出第3组人数画出图形即可；
（4）根据喜欢阅读“科普常识”的学生所占比例，即可估计该年级喜欢阅读“科普常识”的人数．
【详解】解：（1）80÷40%=200（人），
故这次活动一共调查了200名学生.
（2）20÷200×360°=36°，
故在扇形统计图中，“其他”所在扇形的圆心角等于36°.
（3）200－80－40－20＝60（人），
即喜欢阅读“科普常识”的学生有60人，
补全条形统计图如图所示：
（4）60÷200×100%＝30%，
600×30%＝180（人），
故估计该年级喜欢阅读“科普常识”的人数为180.
23．（8分）如图是投影仪安装截面图，投影仪A发出的光线夹角∠BAC＝30°，投影屏幕高BC＝m．固定投影仪的吊臂AD＝0.5m，且AD⊥DE，ADEF，∠ACB＝45°，求
(1)AC的长（结果保留根号）；
(2)屏幕下边沿C离教室顶部的距离CE．（结果精确到0.1m）（选用数据≈1.4，≈1.7）
【答案】(1)AC＝（+1）m
(2)屏幕下边沿C离教室顶部的距离CE为2.4m
【分析】（1）过B作BH⊥AC于H，过点A作AP⊥EF，垂足为P，分别计算CH、AH的长，就可以计算出AC；
（2）在（1）的基础上，在等腰直角三角形ACP中，求出PC的长即可解决问题．
【详解】（1）过B作BH⊥AC于H，过A作AP⊥EF于P，
∴四边形ADEP是矩形，
∴PE＝AD＝0.5m，
在Rt△BCH中，BC＝m，∠ACB＝45°，
∴BH＝HC＝1m，
在Rt△ABH中，∠BAH＝30°，
∴AB=2m，AH＝m，
∴AC＝（+1）m．
（2）在等腰直角三角形ACP中，
∵AC＝（+1）m，
∴PC＝×（+1）m，
∴CE＝PC+PE＝×（+1）+0.5≈2.4（m）．
答：屏幕下边沿C离教室顶部的距离CE约为2.4m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．（8分）如图，在中，．点是线段边上的一动点（不含、两端点），连结,作，交线段于点．
（1）求证：∽；
（2）设,,请写与之间的函数关系式，并求的最小值．
（3）点在运动的过程中，能否构成等腰三角形？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）证明两个三角形相似，可以证明两个角相等．
（2）当，有最小值是
（3）
【详解】试题分析：（1）证明：
又
∴
∴
∴∽
（2）∵∽
∴
即
∴（）
∴当，有最小值是
（3）∵是的外角
∴
∵
∴
∴
当时，
得≌
∴
当时，
∴∽
∴
即：
∴
∴为等腰三角形时，．
考点：相似三角形的性质，全等三角形的性质，二次函数求最值的问题，等腰三角形的性质
点评：此题比较综合，难度相对较难．动点问题在中考中，是压轴题，是出卷者区分优秀学生的题目，学生可以在平时的练习加强训练中，提升解此类题的能力．
25．（10分）如图，已知是直径，且．，是上的点，，交于点，连结，．
(1)求的度数．
(2)求出的长度．
(3)求出图中阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】(1)∠COA=60°
(2)CE=2
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠OCB=∠CBD=30°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠OBC=30°，即可求得∠COA=60°；
（2）根据平行线的性质得到∠AEO=∠ADB=90°，由∠AOC=60°，求得∠A=30°，即可得到OE=OA=OC，即可求得CE=OC=2；
（3）根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：∵OCBD，
∴∠OCB=∠CBD=30°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠COA=∠OCB+∠OBC=60°；
（2）∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵OCBD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
∵∠AOC=60°，
∴∠OAE=30°，
∴OE=OA，
∴CE=OC=×4=2；
（3）连接OD，
∵∠CBD=∠OBC=30°，
∴∠BOD=60°，
∵OB=OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴S阴影=S扇形BOD-S△BOD ==．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
26．（10分）半马，即半程马拉松，又称二分之一马拉松，目前国际上从众增长最快的赛跑项目，路程长度大约是21公里．如图为某次半马的路线，公里，E，E为折返点，拐弯路段EF的长度忽略不计，公里，为半圆路段，O为圆心，半径为1公里．根据选手报名人数和赛道宽度等情况，为保证赛道畅通和补给有序，组委会决定采取分区检录、分枪起跑、同地出发的发令方式，具体发令时间如下：◆第一枪发令时间，A区选手出发；◆第二枪发令时间，B区选手出发；◆第三枪发令时间，C区选手出发．若甲为B区选手，平均配速为5分钟/公里：乙为A区选手，平均配速为分钟/公里．（平均配速是指每公里所需要的时间）
(1)在整个赛程中，甲、乙共有________次相遇，并求甲、乙在距离起点多少公里处相遇；
(2)此次比赛，冠军用时1小时3分钟．已知丙为C区选手，甲出发17分钟时，甲、乙、丙三人所在的位置分别为S，R，T，当S，R，T三点中，有一点恰好是另外两点为端点的线段的中点时，求丙的平均配速．
【答案】(1)1，甲、乙在距离起点10公里处相遇
(2)丙的平均配速为分钟/公里或分钟/公里
【分析】本题考查了一元一次函数的应用，分情况讨论是几天的关键；
（1）设甲、乙在距离起点x公里处相遇，列方程，进而得出答案；
（2）先求出冠军的平均配速约为3分钟/公里，则丙的平均配速分钟/公里，设丙的平均配速为y分钟/公里，在分别求出，，进而得出，画图，分3中情况进行讨论即可。
【详解】（1）设甲、乙在距离起点x公里处相遇，
，
解得：，
答：甲、乙在距离起点10公里处相遇．且共有1次相遇，
故答案为：1；
（2）冠军用时1小时3分钟，
冠军的平均配速约为3分钟/公里，
丙的平均配速分钟/公里．
（法一）设丙的平均配速为y分钟/公里，
，，
．
①如图，当S为中点时，得，
即，
，
丙的平均配速为分钟/公里．
②如图，当T为中点时，得，
即，
，
∴丙的平均配速为分钟/公里．
③如图，当R为中点时，得，
即
（舍去）．
综上，丙的平均配速为分钟/公里或分钟/公里．
（法二）设丙的平均速度为y公里/分，
，，，
，．
①如图，当S为中点时，得，
即，
，，
丙的平均配速为分钟/公里．
②如图，当T为中点时，得，
即
，，
∴丙的平均配速为分钟/公里，
③如图，当R为中点时，得，
即
，
（舍去）．
综上，丙的平均配速为分钟/公里或分钟/公里．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，绕点顺时针旋转得到，，抛物线经过，，三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①点是抛物线的顶点，试判定的形状，并加以证明；
（3）如图②在第一象限的抛物线上，是否存在点，使？若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）是等腰直角三角形，理由见解析；（3）存在点，使
【分析】（1）由，可得出点B、C的坐标，然后将点B、C的坐标代入二次函数进行求解即可；
（2）过点作轴于点，根据与轴相交于、B两点，顶点为，即可求出A、D的坐标，然后可证明，从而得出，即可判断；
（3）连接，设点的坐标为，根据即可求解；
【详解】解：（1），
，，
抛物线经过、两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）是等腰直角三角形，理由如下：
过点作轴于点，
与轴相交于、B两点，顶点为，
，，
，，
，
，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
（3）连接，设点的坐标为，
，，，
，
，
解得：，（不合题意舍去）
，
即存在点，使
（方法有很多的，比如过点作轴交于等等，正确的请按步骤给分）
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数与几何图形的结合、以及求面积的问题，正确掌握知识点是解题的关键；
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